精品解析：福建省三明市永安市第九中学2025届高三8月月考数学试题

永安九中2025届高三8月份考试 数学试题 完卷时间120分钟；满分150分 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其导函数部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 11. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是2 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为__________米/秒． 13. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 17. 函数 （1）当时，求函数零点 （2）函数有两个零点，求m的取值范围； （3）函数在上有两个零点，求m取值范围； 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求出极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知（且）是上的奇函数，且.设. （1）求，的值，并求的值域； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永安九中2025届高三8月份考试 数学试题 完卷时间120分钟；满分150分 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 2. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A. 与 B 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 3. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得. 【详解】函数、在R上单调递增，AB不是； 函数在上单调递增，C不是； 函数在上单调递减，D是. 故选：D 4. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 5. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 7. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 8. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【详解】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上递减，且， 所以，所以A错误， 对于B，因在上递减，且， 所以，所以B正确， 对于C，因为在上递增，且， 所以， 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为在上递增，且， 所以，所以， 所以， 因为在上递增，， 所以，所以， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的图象可判断导函数值的正负，从而求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值点. 【详解】由的图象可得 当或时，， 当或时，， 所以在和上递增，在和上递减， 所以和为极大值点，为极小值点. 所以AD错误，BC正确. 故选：BC 11. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是2 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，故A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C正确； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为__________米/秒． 【答案】 【解析】 【分析】由瞬时速度的概念结合导数运算即可求得答案. 详解】由题意得，则． 故答案为：. 13. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由与结构一样，借助的解集，即可得出答案. 【详解】与等价， 所以，所以. 故此答案为：. 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法将题给不等式转化为，构造函数，并利用导数研究其单调性，可得不等式成立，再构造函数，利用导数求得其最大值，进而求得的最大值. 【详解】存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 上述问题存在正实数，使得不等式成立， 因为，结合在单调递增， 易得存在正实数使得成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以，所以，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解； （2）分析可知，根据包含关系分析求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要条件，则， 因为，则，可知， 可得，解得， 所以实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的增区间为，，减区间为；的极小值为 【解析】 【分析】（1）由切点为，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 17. 函数 （1）当时，求函数零点 （2）函数有两个零点，求m的取值范围； （3）函数在上有两个零点，求m的取值范围； 【答案】（1）1； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出零点. （2）利用判别式大于0，解不等式即得. （3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，，由，解得， 所以函数零点为1. 【小问2详解】 由函数有两个零点，得方程有两个不等实根， 因此，解得或， 所以m的取值范围是或. 【小问3详解】 由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围是. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求出极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 19. 已知（且）是上的奇函数，且.设. （1）求，的值，并求的值域； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）存在，1，2或3 【解析】 【分析】（1）由是上的奇函数，且求出可得及，利用分离常量求出的值域； （2）得出的图象关于对称，所以，利用对称性求出可得答案. 【小问1详解】 因为（且）是上的奇函数，且， 所以，解得， 则， 因为定义域为，， 所以是上的奇函数，故， ， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 又时，， 所以，即的值域为； 【小问2详解】 把区间等分成份，则等分点的横坐标为，， ，为奇函数， 所以的图象关于对称，所以，， 所以 所以，即. 故存在正整数或3，使不等式有解. 【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出，的图象关于对称，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$