专题1.1 三角形的初步知识（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 三角形的初步知识（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】三角形的基本概念  三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。  【知识点2】三角形的分类 1.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。 2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。  【知识点3】三角形的基本性质  1.三角形的内角和：三角形内角和是180°； 2.三角形三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）; 三角形的任何两边的差小于第三边；  3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角； 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和 【知识点4】几条重要的线  1.三角形角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点的线段; 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。  4. 线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  线段垂线平分线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 线段垂线平分线逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 5. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  角平分线的性质定理逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【知识点5】全等三角形  1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；   2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形; (1)对应顶点：能够相互重合的顶点； (2)对应边： 相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；  (3)对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；  3.性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。  4.全等三角形的判定条件 (1). SSS——三边对应相等的两个三角形全等；  (2).SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等； (3).ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等； (4).AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。  问题：为什么SSA不可以判定？ (5)HL.——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。  （二）灵活运用全等判定定理  1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  （1）已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  （2）已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 【知识点6】尺规作图 尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、 3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高  作法：有规定名称时需格外注意字母的标注 注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。  【知识点7】定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】构成三角形的条件与确定三角形第三边取值范围 【例1】（23-24八年级上·广西梧州·期中）如图,,点分别在射线上运动,平分,的反向延长线与的平分线交于点,若三边长分别为． (1)化简; (2)求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）三角形的两边长分别为2和7，另一边长a为偶数．且，这个三角形的周长是（   ） A．13 B．15 C．15或17 D．17 【变式2】（24-25八年级上·吉林·开学考试）若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ． 【题型2】与三角形三条重要线段有关的求值与证明 【例2】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．  (1)求的长度； (2)求的度数． 【变式1】（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中，已知点分别是的中点，且（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【题型3】与三角形内角和有关的求值与证明 【例3】（23-24七年级下·四川内江·开学考试） 已知，且，点C是射线上一动点（不与点A重合），，分别平分和，交射线于点B，D．如图： (1)求的度数； (2)当点C运动到使时，求的度数； (3)在点C运动过程中，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 【题型4】全等的性质与SSS综合证明三角形全等 【例4】（23-24八年级上·河南许昌·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 请结合所学将如下证明过程补充完整： 已知：如图，与，，是的中线，是的中线，① ． 求证： 证明：∵是的中线，是的中线， ∴， 又∵， ∴② 在和中 ∴ ∴③ 在和中 ∴⑤ 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ． 【题型5】全等的性质与SAS综合证明三角形全等 【例5】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知和均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【变式2】（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 【题型6】全等的性质与ASA(AAS)综合证明三角形全等 【例6】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．   (1)若，求的度数． (2)若是上的一点，且，求证：． 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【题型7】线段垂直平分线性质与判定进行求值与证明 【例7】（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【变式1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·吉林松原·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是 ．    【题型8】角平分线性质与判定进行求值与证明 【例8】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 【题型9】尺规作图中的求值与证明 【例9】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.    (1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴2 ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴. 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图所示是作图后的痕迹．在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点C的长为半径作弧，交于一点，过该点和点C作直线交于点D．以点D为圆心画弧交BC于两点，再以这两点分别为圆心，以大于这两点长的为半径画弧交于一点，过该点和点D作直线交于点E．若，，则的长为 ． 【题型10】全等三角形综合问题 【例10】（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，交于点，，连接． (1)求证：； (2)线段与之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)若，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【例2】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 三角形的初步知识（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】三角形的基本概念  三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。  【知识点2】三角形的分类 1.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。 2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。  【知识点3】三角形的基本性质  1.三角形的内角和：三角形内角和是180°； 2.三角形三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）; 三角形的任何两边的差小于第三边；  3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角； 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和 【知识点4】几条重要的线  1.三角形角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点的线段; 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。  4. 线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  线段垂线平分线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 线段垂线平分线逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 5. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  角平分线的性质定理逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【知识点5】全等三角形  1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；   2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形; (1)对应顶点：能够相互重合的顶点； (2)对应边： 相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；  (3)对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；  3.性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。  4.全等三角形的判定条件 (1). SSS——三边对应相等的两个三角形全等；  (2).SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等； (3).ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等； (4).AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。  问题：为什么SSA不可以判定？ (5)HL.——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。  （二）灵活运用全等判定定理  1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  （1）已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  （2）已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 【知识点6】尺规作图 尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、 3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高  作法：有规定名称时需格外注意字母的标注 注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。  【知识点7】定义、命题与证明 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】构成三角形的条件与确定三角形第三边取值范围 【例1】（23-24八年级上·广西梧州·期中）如图,,点分别在射线上运动,平分,的反向延长线与的平分线交于点,若三边长分别为． (1)化简; (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形构成条件可以将化简,继而得出答案; （2）利用角平分线性质及外角和定理,先利用角平分线性质得出角度相等的结论,再利用外角进行角的转换,继而得到本题答案． 解：（1）解:∵两边之和大于第三边,两边之差小于第三边, ∴, ∴, ∴,, ∴,, ∴, 故答案为:． （2）解:根据题意知:, ∵平分,平分, ∴, ∴, ∵, ∴． 故答案为:． 【点睛】本题考查三角形构成条件,绝对值化简,角平分线性质及外角和定理． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）三角形的两边长分别为2和7，另一边长a为偶数．且，这个三角形的周长是（   ） A．13 B．15 C．15或17 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系．此题属于易错题，解题时，往往根据取的值为4或6，而忽略了三角形的三边关系，致使解答错误．根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．求得相应范围后，根据另一边长是偶数舍去不合题意的值即可． 解：，， ． 又， ． 为偶数， ． 周长为． 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·吉林·开学考试）若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ． 【答案】第三边 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴它第三边的取值范围是， 故答案为：第三边． 【题型2】与三角形三条重要线段有关的求值与证明 【例2】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等.（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可． 解：（1）解：∵点F是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴, ∵为的角平分线， ∴， ∴. 【变式1】（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中，已知点分别是的中点，且（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键． 解：点是的中点， ，， ， ， 为的中点， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型3】与三角形内角和有关的求值与证明 【例3】（23-24七年级下·四川内江·开学考试） 已知，且，点C是射线上一动点（不与点A重合），，分别平分和，交射线于点B，D．如图： (1)求的度数； (2)当点C运动到使时，求的度数； (3)在点C运动过程中，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【答案】(1) (2) (3)存在，且；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的应用，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的应用是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补计算出，再运用角的平分线的定义计算即可； （2）根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义计算即可； （3）根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义，平行线的性质证明即可． 解：（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在，且．理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 解：， ， 平分， ， ， 于， ， ． 故答案为：． 【题型4】全等的性质与SSS综合证明三角形全等 【例4】（23-24八年级上·河南许昌·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 请结合所学将如下证明过程补充完整： 已知：如图，与，，是的中线，是的中线，① ． 求证： 证明：∵是的中线，是的中线， ∴， 又∵， ∴② 在和中 ∴ ∴③ 在和中 ∴⑤ 【答案】①；②；③；④；⑤ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先根据题意可得①处的条件为，再根据全等三角形的性质与判定定理结合已给推理过程证明即可． 解：由题意得，①处的条件为 证明：∵是的中线，是的中线， ∴， 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．证明，可得，，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 解：在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【题型5】全等的性质与SAS综合证明三角形全等 【例5】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知和均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： (1)； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可． 解：（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ， ， 即， 在和中， ， （）， ； （2）解：， ， 和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， （）． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，及角平分线的定义，三角形的内角和定理，在上找到使得，连接，由，是的角平分线， 得，然后证明，即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：证明：如图，在上找到使得，连接，   ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6】全等的性质与ASA(AAS)综合证明三角形全等 【例6】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．   (1)若，求的度数． (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． （1）由可求的大小，因是其角平分线，即，由，可得 （2）可得，进而得出，又有可推出，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 解：如下图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【题型7】线段垂直平分线性质与判定进行求值与证明 【例7】（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 解：（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 【变式1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，是的垂直平分线，是的垂直平分线，则，；根据的周长为，即可． 解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（2023·吉林松原·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是． 解：由已知可得，是线段的垂直平分线，    设与的交点为， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【题型8】角平分线性质与判定进行求值与证明 【例8】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 解：（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 【题型9】尺规作图中的求值与证明 【例9】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.    (1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴2 ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴. 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F； （2）先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案． 解：（1）解：如图所示． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴≌（）， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．根据尺规作图可得垂直平分，再由角平分线的性质可得点M到的距离等于点M到的距离等于， 解：由作法得垂直平分， ∵是的角平分线， ∴点M到的距离等于点M到的距离等于， ∴的面积． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图所示是作图后的痕迹．在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点C的长为半径作弧，交于一点，过该点和点C作直线交于点D．以点D为圆心画弧交BC于两点，再以这两点分别为圆心，以大于这两点长的为半径画弧交于一点，过该点和点D作直线交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查对作角平分线和作垂线的理解，以及角平分线性质，作于点，由题干作图过程可知，平分，，利用角平分线性质得到，再利用等面积法求解，即可解题． 解：作于点， 由题干作图过程可知，平分，， ， 在中，，，， ， ， 解得， 故答案为：． 【题型10】全等三角形综合问题 【例10】（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，交于点，，连接． (1)求证：； (2)线段与之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)若，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)（2）中结论不成立 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）结合题意证明，结合，即可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）（2）中结论不成立．因为无法证明，故不能判断，所以（2）中结论不成立． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）结论： ． 理由：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）结论：（2）中结论不成立． 理由：∵， ∴无法证明， ∴不能判断， ∴（2）中结论不成立． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，，再证明，推出，即可得出结果． 解：过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角． 先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，根据全等三角形的对应边相等证明，则． 解：于点，于点， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， 的长是． 故选：A． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 解：在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 【例2】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 解：连接ED 是的中线， ， 设， 与是等高三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ②延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 【例2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知是的高，过作一直线，是直线上一点，是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，的面积是面积的3倍．求线段的长； (3)若，，，请直接写出的面积与面积的比值（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. （1）延长至点， 由得出得到 ； （2）过点作交的延长线于点，证明 根据面积得到的长； （3）设则 ， 由（2）得， 得到根据 得出． 解：（1）证明：延长至点， 为的外角， ， ， ， ； （2）过点作 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积是面积倍， ， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）设，， 则，， 由 (2) 得， ∴， ∴， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$