精品解析：福建省安溪第八中学2024届高三下学期4月份质量检测数学试题

福建省安溪第八中学2024届高三年4月份质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 某市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据（），经过分析、计算，得，，，之间的经验回归方程是：，则相应于点的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据经验回归直线过样本点的中心求出，然后求出时的预测值，进而求得残差. 【详解】因为，，所以样本点的中心为， 又因为经验回归直线过样本点的中心，所以，所以，所以经验回归方程是：， 当时，， 所以残差为. 故选：A. 2. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解. 【详解】连接，，如图，可知. 由，即，可得. 从而，，所以. 故选：B. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 4. 已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可. 【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误； 对于③和④，与也可能相交，均错误； 对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知． 故选：A． 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 【答案】C 【解析】 【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解. 【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种， 当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种. 综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是. 同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50. 故不同的分配方法数是. 故选：C 6. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点和斜率列方程，利用构造函数法结合导数来求得的取值范围. 【详解】设切点为，因为，所以． 又因为切点在直线上， 所以，解得，所以． 令，则， 所以在区间上，单调递减， 在区间上单调递增， 所以，故的取值范围为． 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 8. 古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） ①椭圆的标准方程可以为 ②若，则 ③存在点，使得 ④的最小值为 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为锐角，从而判断C；由基本不等式判断D. 【详解】对于①：由，解得， 则椭圆的标准方程为，故①正确； 对于②：由定义可知， 由余弦定理可得： ，整理得， 则，故②错误； 对于③：设， ， ，由于， ， 则不存在点，使得，故③错误； 对于④：，当且仅当， 即时，等号成立，故④正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，为纯虚数，令，则，B正确； 对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误； 对于D，集合所构成区域是复平面内以为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质. 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 进一步可得：， 又，，故， 故，依次有, 所以，故C正确； 对D：令可得：; 用代替，得：， 结合C的结果，可得：，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 13. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】表示个相乘，再结合组合即可得解. 【详解】表示个相乘， 则常数项，应为个，个，个，个相乘， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解； （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A， 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有： ， ， 可得的分布列为 0 1 2 3 所以. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 17. 如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. （1）求证：平面； （2）若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【答案】（1）证明如下： 因为四边形为梯形，，，， 所以，，则，即 又因为平面，面ABCD，所以. 因为、都在平面内，， 所以面. （2）点为线段的靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）利用梯形的性质及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理即可求解； （2）利用线线角的定义，根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角与线面角的关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连结，，由，知， 由（1）知，共面且不共线，所以， 故直线与所成角为. 由平面，面ABCD，所以，又， 在面内，且，故面， 所以面，面，则， 在中，，，所以， 在，易得， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示， 则，，， ，， 设为平面的法向量，则 ，即，取，则. 所以 由题可知，是平面的一个法向量， 所以. 因为，解得或（舍去）. 当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线：，直线，且点在抛物线上． （1）若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程； （2）若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及菱形的几何性质来求得直线的方程. （2）先求得点的坐标，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及矩形的几何性质求得直线的斜率.或设出以及中点的坐标，根据矩形的几何性质求得直线的斜率. 【小问1详解】 由题意知，设直线． 联立得， 则，， 则的中点在直线上， 代入可解得，，满足直线与抛物线有两个交点， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 当直线的斜率为或不存在时，均不满足题意． 由得或（舍去），故． 方法一：当直线的斜率存在且不为时，设直线． 联立得，所以． 所以．同理得． 由的中点在直线上， 得， 即． 令，则，解得或． 当时，直线的斜率； 当时，直线的斜率不存在． 所以直线的斜率为． 方法二：设，线段的中点， 则． 由，得，即． 所以． 又 ， 故可转化为， 即．解得或． 所以直线的斜率． 当时，斜率不存在；当时，斜率． 所以直线的斜率为． 【点睛】关键点点睛：垂直关系的转化，包括了菱形的几何性质、矩形的几何性质，菱形的对角线相互垂直，矩形的邻边相互垂直，利用垂直关系转化已知条件，列出等量关系式，从而对问题进行求解. 19. 记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. （1）若在上为“凸函数”，求的取值范围； （2）若，判断在区间上的零点个数. 【答案】（1） （2）1个 【解析】 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【小问1详解】 由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； 【小问2详解】 若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省安溪第八中学2024届高三年4月份质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 某市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据（），经过分析、计算，得，，，之间的经验回归方程是：，则相应于点的残差为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 4. 已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 6. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） ①椭圆的标准方程可以为 ②若，则 ③存在点，使得 ④的最小值为 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 13. 展开式中的常数项为__________. 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 17. 如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. （1）求证：平面； （2）若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线：，直线，且点在抛物线上． （1）若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程； （2）若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率． 19. 记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. （1）若在上为“凸函数”，求的取值范围； （2）若，判断在区间上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $