精品解析：云南省曲靖市麒麟区第六中学2024-2025学年九年级上学期数学开学试题

2024-2025学年度上学期九年级数学开学考试试卷 一、选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 已知与是同类项，则 的值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 4. 已知下列方程：①；②；③；④；⑤ ，其中一元一次方程有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 点，分别在直线， 上，且 ，点到 的距离为，则点到的距离（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不能确定 6. 已知 是关于的方程的解，则常数 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，要把河流中的水引到水池中，应过点作 于河岸 ，这样做依据的几何学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 8. 点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，， ， 平分且与交于点O，那么与相等的角有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 11. 如图，点D是 的外角平分线上一点，且满足，过点D作 于点E ， 交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点出发以个单位长度 秒的速度沿 循环爬行，问第秒瓢虫在（    ）处． A. B. C. D. 13. 已知a，b，c，d是正整数，且，则 （ ） A. 1 B. C. D. 14. 分式的值为零，则的值为（　　） A. B. C. D. 15. 如图，点F是矩形的边 上一点，连结 ，作 于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 已知，则________． 17. 一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为___________． 18. 如图，在菱形中，点 为对角线 上一点，且，连接，若，，则______． 19. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. （1）计算： ； （2）计算： 21. 如图， ，求证： ． 22. 如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形 的形状？请说明理由． 23. 我校为了解学生对卫生安全知识的掌握情况，从七、八年级各取20名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行收集、整理和分析，部分信息如下． 收集数据： 七年级：99 90 92 85 80 67 83 87 87 79 56 87 85 84 68 66 62 60 76 59 八年级：97 95 80 96 88 79 92 78 86 83 86 86 75 72 60 77 78 76 58 65 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.6 c 87 八年级 80.35 79.5 86 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ______．并补全频数分布直方图； （2）若该校七年级学生共有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的人数． （3）分析哪个年级对卫生安全知识的掌握较好，并说明理由． 24. 2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． （1）求点A的坐标； （2）如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 26. 问题情境：已知正方形是对角线 上任意一点． 思考发现：（1）如图1，若连接 ，则线段与的数量关系为___________． 探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G． ①判断 的形状并说明理由； ②连接 ，若G是的中点，且，求线段 的长． 拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长． 27. 在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使 与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点，沿 折叠，使点落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点 在上时，图1中等于 的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交 于点，连接 ． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是 上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想 与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级数学开学考试试卷 一、选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 3. 已知与是同类项，则 的值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念、解一元一次方程等，同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式．解题的关键是理解同类项的概念求出 的值． 根据同类项的概念列出关于 的一元一次方程，解得 的值后，代入式子即可得出结论． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得： ，， 故选：B． 4. 已知下列方程：①；②；③；④；⑤ ，其中一元一次方程有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是， 是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤ 是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 5. 点，分别在直线 ， 上，且 ，点到 的距离为，则点到 的距离（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵ ，点到 的距离为， ∴到 的距离等于． 故选C． 6. 已知 是关于的方程的解，则常数 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 把 代入即可求出a的值． 【详解】解：把 代入得， 解得： ， 故选：C． 7. 如图，要把河流中的水引到水池 中，应过点 作 于河岸 ，这样做依据的几何学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”，即可求解． 【详解】解：过点 作 于河岸 ，这样做依据的几何学原理是垂线段最短． 故选：A 8. 点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，根据第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选A． 9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【解答】解：∵点A的坐标为，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点的横坐标是，纵坐标为 ，即． 故选：A． 10. 如图，， ，平分且与交于点O，那么与相等的角有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等． 先根据角平分线的定义得出，，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，点D是 的外角平分线上一点，且满足，过点D作 于点E ， 交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到 ，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到 ． 【详解】解：如图所示， ∵ 平分， ， ， ∴， 在和中， ∴，故①不符合题意； ∴ ， 在和 中， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴ ，故④符合题意； 故选B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点 出发以个单位长度 秒的速度沿 循环爬行，问第秒瓢虫在（    ）处． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点 、 、 、 的坐标可得 ， 的长，从而求出长方形的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要 秒，然后再进行计算即可解答． 本题考查了点的坐标规律问题，两点间距离，根据点的坐标求出长方形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，， ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要 秒， ， ， ， 第秒瓢虫在处． 故选：D． 13. 已知a，b，c，d是正整数，且，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件及等式分析可得只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立，从而确定，代入求值即可． 本题考查分式的化简求值，利用已知等式分析出只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立是解题的关键． 【详解】解：∵a，b，c，d是正整数，且， ∴只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立， ∴， ∴． 故选：D 14. 分式的值为零，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选： ． 15. 如图，点F是矩形的边 上一点，连结 ，作 于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明 ，推出，，可证③，④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 在 和中，， ， 故②正确； ，， ， 在 和中，， ， ，， ， 故③，④正确； 现有条件不能证明，故①错误， 综上可知，正确的有②，③，④，共3个， 故选C． 二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得 即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 解得： ， ∴ ∴ 故答案为： 17. 一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为___________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质．根据非负数的性质求出 、 ，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当 ， 是两直角边， ， ，， 解得， ，， 当a，b都是直角边时，由勾股定理得，斜边， 当为斜边时，第三边， 故答案为：或1． 18. 如图，在菱形中，点 为对角线上一点，且，连接 ，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接交于点，由四边形是菱形，得，，，则有 ，，，再通过勾股定理求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴ ，， ∴， 在中，由勾股定理可知：， 在 中，由勾股定理可知：， ∴， 故答案为：． 19. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线 的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. （1）计算： ； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算与分式的混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）按零次幂、乘方运算法则及完全平方公式计算再相加减即可； （2）先算括号里的，再算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21. 如图， ，求证： ． 【答案】 证明： ， ，即 ． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明 ，再利用 即可证明 ． 【详解】略 22. 如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形 的形状？请说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，首先可证四边形 是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得，即可证明平行四边形 是矩形． 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：，， 四边形 是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形 是矩形． 23. 我校为了解学生对卫生安全知识的掌握情况，从七、八年级各取20名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行收集、整理和分析，部分信息如下． 收集数据： 七年级：99 90 92 85 80 67 83 87 87 79 56 87 85 84 68 66 62 60 76 59 八年级：97 95 80 96 88 79 92 78 86 83 86 86 75 72 60 77 78 76 58 65 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.6 c 87 八年级 80.35 79.5 86 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ______．并补全频数分布直方图； （2）若该校七年级学生共有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的人数． （3）分析哪个年级对卫生安全知识的掌握较好，并说明理由． 【答案】（1），图见详解 （2）估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的大约为960人 （3）八年级，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据中位数的意义可求出 的值，再用20人减去各个成绩的人数，即可补全频数分布直方图； （2）超过77.6分的人有12人，然后除以20，再根据样本估计总体计算，即可作答．； （3）根据平均数的意义，结合学生的成绩得分进行判断即可； 本题考查频数分布直方图，中位数、平均数的意义，频率是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ， 因此中位数是81.5， 即， （人）， 补全的频数分布直方图如解图所示： 【小问2详解】 解：依题意，超过77.6分的人有12人， （人）． 答：估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的大约为960人． 【小问3详解】 解：八年级的学生对卫生安全知识的掌握较好，因为八年级的学生的平均数大于七年级． 24. 2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？ 【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨； （2）共有2种租车方案，方案1：租用A型车4辆，B型车2辆；方案2：租用A型车1辆，B型车4辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设辆 型车装满货物一次可运货吨，辆 型车装满货物一次可运货吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次运完14吨货物且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出各租车方案. 【小问1详解】 解：设辆 型车装满货物一次可运货吨，辆 型车装满货物一次可运货吨， 根据题意得： ， 解得： ， 答：辆 型车装满货物一次可运货吨，辆 型车装满货物一次可运货 吨. 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵均为正整数， 或 ， ∴共有种租车方案， 方案：租用 型车4辆， 型车2辆； 方案：租用 型车辆， 型车辆. 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． （1）求点A的坐标； （2）如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 【答案】（1） （2）面积为42，点、 【解析】 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出 坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，设出 与 坐标，表示出，由已知与关系，及的长求出的长，求出 的值，过 作 垂直于，求出三角形 面积；由 的值确定出 与 坐标即可； 【小问1详解】 解：联立得：， 解得：， 则点 的坐标为 ； 【小问2详解】 解：根据勾股定理得：， ， ， 设点， ， 解得： ， 过点 作 ，如图所示， ， 当 时，， ． 26. 问题情境：已知正方形是对角线上任意一点． 思考发现：（1）如图1，若连接 ，则线段与 的数量关系为___________． 探究应用：（2）如图2，经过点B作与 的延长线交于点与 交于点G． ①判断 的形状并说明理由； ②连接 ，若G是 的中点，且，求线段 的长． 拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长． 【答案】（1）；（2）① 是等腰三角形，见解析；②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到，进而得到 ，即可得出结论； ②过点作，三角形的中线平分面积得到，得到，利用三角形的面积公式求出 的长，利用勾股定理求出 的长即可； （3）勾股定理求出的长，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴； 故答案为：； （2）① 为等腰三角形，理由如下： 由（1）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 为等腰三角形； ②过点作， ∵ ， ∴， ∵ ，点为 的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在 中，； （3）∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 27. 在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使 与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点，沿折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点 在上时，图1中等于 的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交 于点，连接 ． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是 上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想 与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）或或或（任写一个即可） (2)①15；②，理由见解析 （3） 或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ， ，， ，即可求解； （2）①由“”可证 ，可得； ②由“”可证 ，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）对折矩形纸片， ， ， 沿折叠，使点 落在矩形内部点 处， ，， ， ， ， ， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）①由（1）可知， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得： ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：15； ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得： ， ， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段 上时，， ，， ， ， ， 当点在线段 上时，， ，， ， ， ， 综上所述：的长为 或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $