3.4 简单几何体的表面展开图 学案 2023--2024学年浙教版九年级数学下册

浙教版数学九年级专题培优 专题14　简单几何体的表面展开图 【知识梳理】 1．将几何体沿着某些棱“剪”开，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图． 2．圆柱的表面展开图及侧面积计算公式 (1)圆柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的一条边长等于圆柱的母线长，也就等于圆柱的高，另一条与它相邻的边长等于底面圆的周长．一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面展开图如图所示． (2)计算公式：S圆柱侧＝_________；S圆柱全＝_________. 3．圆锥的表面展开图及侧面积计算公式 (1)一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长2πr的扇形，如图所示． (2)计算公式： l2＝_________，θ＝_________，S圆锥侧＝_________，S圆锥全＝_________，S轴截面＝_________. 4．把立体图形转化为平面图形是解决展开图问题的关键．当空间想象受阻时，动手操作可以帮助解决问题． 【例题探究】 【例1】　如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5，12，13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】　可对选项中的平面图形逐个折叠，即可作出判断． 【例2】　一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是(　　) 图①　　　　　　　　 　 图② A．31 B．32 C．33 D．34 【思路点拨】　先由展开图得出小立方块各面上的数字，再分别求出3个小立方块能看得到的面上数字之和的最小值，即可得出答案． 【例3】　如图，在□ABCD中，AB＝＋1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为点H，AH＝.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1－r2＝________．(结果保留根号) 【思路点拨】　根据平行四边形的性质以及锐角三角函数定义求出∠D＝60°，得出∠DAH＝30°，∠BAC＝45°，再利用圆锥侧面展开图圆心角计算公式分别求出r1，r2，即可得出答案． 【例4】　如图，长方形地面ABCD的长AB＝20，宽AD＝10，中间竖有一堵砖墙，高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走(　　) A．20 B．24 C．25 D．26 【思路点拨】　把中间的一堵砖墙展开得到平面图形，根据两点之间线段最短可以求得蚂蚁所走的最短路线长度． 【例5】　“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图，是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是(　　) A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2 【思路点拨】　陀螺的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和上底面圆的面积三部分组成． 【例6】　如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2. (1)若把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． (2)如图②，若绕边AB所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 【思路点拨】　(1)易得此几何体为圆锥，那么表面积＝底面积＋侧面积；(2)所得几何体的表面积为2个底面半径为2，母线长为2的圆锥侧面积的和． 【例7】　如图，在圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m．在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m(容器厚度忽略不计)． 【思路点拨】　在圆柱侧面上确定最短路径，根据两点之间线段最短，往往画出它的侧面展开图，此题由于壁虎在离容器上沿0.3 m处爬上顶部再去捕捉蚊子，所以由轴对称的性质需作出A关于上沿的对称点，然后利用勾股定理求解． 【答案解析】 【知识梳理】 1．将几何体沿着某些棱“剪”开，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图． 2．圆柱的表面展开图及侧面积计算公式 (1)圆柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的一条边长等于圆柱的母线长，也就等于圆柱的高，另一条与它相邻的边长等于底面圆的周长．一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面展开图如图所示． (2)计算公式：S圆柱侧＝2πrl；S圆柱全＝2πrl＋2πr2. 3．圆锥的表面展开图及侧面积计算公式 (1)一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长2πr的扇形，如图所示． (2)计算公式：l2＝h2＋r2，θ＝·360°，S圆锥侧＝πrl，S圆锥全＝πrl＋πr2，S轴截面＝rh. 4．把立体图形转化为平面图形是解决展开图问题的关键．当空间想象受阻时，动手操作可以帮助解决问题． 【例题探究】 【例1】　如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5，12，13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是(　　) A． B． C． D． 【解题过程】　对选项中的平面图形逐个折叠，发现只有选项D符合题意．故选D. 【方法归纳】　本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【例2】　一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是(　　) 图①　　　　　　　　 　 图② A．31 B．32 C．33 D．34 【解题过程】　由题意得，若数字6为底面，则上面数字为5，侧面数字依次为1，2，3，4，所以最右边的那个小立方块能看得到的4个面上数字之和最小为1＋2＋3＋5＝11，左上方的那个小立方块能看得到的5个面上数字之和最小为1＋2＋3＋4＋5＝15，左下方的那个小立方块能看得到的3个面上数字之和最小为1＋2＋3＝6，所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11＋15＋6＝32. 故选B. 【方法归纳】　本题考查了立方体的展开图，弄清小立方块各面上的数字排列是解题的关键． 【例3】　如图，在□ABCD中，AB＝＋1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为点H，AH＝.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1－r2＝________．(结果保留根号) 【解题过程】　在□ABCD中，AB＝＋1，BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝＋1，AB∥CD. ∵AH⊥CD，AH＝， ∴sinD＝＝， ∴∠D＝60°， ∴∠DAH＝90°－∠D＝30°， ∴DH＝AD＝1. ∵CD＝＋1， ∴CH＝＋1－1＝， ∴CH＝AH， ∴∠ACH＝∠CAH＝45°＝∠BAC， ∴×360°＝45°，×360°＝30°， ∴r1＝，r2＝， ∴r1－r2＝－＝. 故填. 【方法归纳】　本题考查了圆锥的计算、平行四边形的性质、解直角三角形，熟练掌握圆锥侧面展开图圆心角计算公式是解题的关键． 【例4】　如图，长方形地面ABCD的长AB＝20，宽AD＝10，中间竖有一堵砖墙，高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走(　　) A．20 B．24 C．25 D．26 【解题过程】　展开图如图所示，则蚂蚁所走的最短路线长为线段AC的长． ∵∠B＝90°，AB＝20＋2×2＝24，BC＝AD＝10， ∴AC＝＝＝26， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26的路程． 故选D. 【方法归纳】　立体图形中最短路线长的计算通常可以考虑它的展开图． 【例5】　“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图，是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是(　　) A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2 【解题过程】　∵圆锥的底面圆的直径为8 cm，高为3 cm，∴母线长为5 cm. ∴陀螺的表面积＝π×4×5＋π×42＋2π×4×6＝84π (cm2)． 故选C． 【方法归纳】　本题考查简单几何体表面积的计算，熟练掌握圆锥、圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． 【例6】　如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2. (1)若把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． (2)如图②，若绕边AB所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 【解题过程】　(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB2＝BC2＋AC2＝16，∴AB＝4. ∴Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周所得几何体的表面积为π×2×4＋π×(2)2＝8π＋8π. (2)∵AB边上的高为AB＝2，即圆锥底面的半径为2， ∴绕边AB所在直线旋转一周，所得几何体的表面积为2×(π×2×2)＝8π. 【方法归纳】　本题主要考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是要想象出Rt△ABC绕直线旋转一周所得几何体的形状． 【例7】　如图，在圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m．在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________m(容器厚度忽略不计)． 【解题过程】　如图，将容器侧面展开，作点A关于MN的对称点A′，连结A′B，交MN于点P，则A′B的长即为最短距离．过点B作BC⊥A′C，垂足为点C，则△A′BC是直角三角形． 由题意知A′C＝1.2 m，BC＝0.5 m， 由勾股定理，得A′B＝＝＝1.3 (m)． 故填1.3. 【方法归纳】　求圆柱(或圆锥)表面上的最短路径，往往先画出它的侧面展开图，把立体图形转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短确定最值． 学科网（北京）股份有限公司 $$