2.2 基本不等式（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第一课时） 人教A版2019必修第一册 1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性. 教学目标 温故知新 01 情景导入 在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类 重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. 基本不等式及其推导 02 概念讲解 思考：如果a>0, b>0, 我们用分别代替a,b,可得到什么结论呢？ 由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式） 当且仅当时，等号成立 等号成立条件 算术平均数 几何平均数 前提 条件 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 概念讲解 基本不等式的证明 法一：用分析法证明： 显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ ）2≥0 （4） 只要证 a+b≥ （2） 要证 （1）         概念讲解 法二：作差法 当且仅当时，等号成立 概念讲解 解：可证，因此CD=，由于CD 小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为： 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ A B D C E 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立. 基本不等式的几何意义 概念讲解 常用结论 1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 注意：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”． “一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． (2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 概念讲解 概念辨析 × × × × 利用基本不等式求最值 03 概念讲解 例1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正：各项必须为正 二定：各项之和或各项之积为定值 三相等：必须验证取等号时的条件是否具备 概念讲解 练习1.已知，求的最值. 解：因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此所求的最大值为 一正 二定 三相等 概念讲解 练习2：快问快答： 2 2 概念讲解 例2.已知x，y都是正数，求证： (１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２； (２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 证明：所以 （1）当等于定值P时， ，∴ 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）当时， ，两边平方， 当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 最值定理 概念讲解 C 基本不等式的实际应用 04 概念讲解 例3.（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以篱笆的周长为米 当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米 概念讲解 （2）由题意设菜园的长和宽分别为米， 且 所以为平方米，根据基本不等式， ，即 当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米. 课堂小结 05 课堂小结 2．几个重要的结论 (1)eq \f(a2＋b2,2) ≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up22(2). (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)． (3)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)． (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) (2)函数f(x)＝cos x＋eq \f(4,cos x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.(　　) (3)“x＞0且y＞0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．(　　) (4)若a＞0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).(　　) （1） 的最小值为 . （2） 若，则的最小值为 . 练习：设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)　 A．80　　　　　　　　　 B．77 C．81 D．82 解：选C．∵x＞0，y＞0，∴eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)， 即xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up22(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,2))) eq \s\up22(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. $$