8 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系　► 对应学生用书P191 [课标要求]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判定方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定 方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 位置关系 方法 几何法：圆心距d与 r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程， 消元得一元二次方程 相离 d>r1＋r2 无解(Δ<0) 外切 d＝r1＋r2 一组实数解(Δ＝0) 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解(Δ>0) 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解(Δ＝0) 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解(Δ<0) [点拨]　两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人教A版选择性必修一·P96例5改编)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 解析：选A.圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1. 圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝. |O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交． 3．(人教A版选择性必修一·P93练习T3)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长l＝2＝2＝. 答案： 4．(人教B版选择性必修一·P120练习BT2)已知圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值是________． 解析：设⊙O1：x2＋y2＝1，⊙O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25， 故O1(0，0)，r1＝1，O2(－4，a)，r2＝5. (1)当两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2， 即＝6，解得a＝±2. (2)当两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|， 即＝4，解得a＝0. 综上所述，a的值为±2或0. 答案：±2或0 5．(人教A版选择性必修一·P92例2改编)已知圆C的方程为x2＋(y－3)2＝4，则过点P(2，－1)的圆C的切线方程为____________． 解析：当过点P的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2， 圆心C(0，3)到直线x＝2的距离为2，此时直线x＝2与圆C相切． 当过点P的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0，则圆心C(0，3)到切线的距离为＝2，解得k＝－， 所以切线方程为－x－y－2×(－)－1＝0，即3x＋4y－2＝0. 综上所述，切线方程为x＝2或3x＋4y－2＝0. 答案：x＝2或3x＋4y－2＝0 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　直线与圆的位置关系 [例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A.法一(代数法)　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交． 法二(几何法)　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交． 法三　易得直线l过定点(1，1)，把点(1，1)代入圆的方程有1＋0＜，所以点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交． (2)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离d＝≤1， 即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈[，]. 答案：[，] 【思维升华】　判断直线与圆的位置关系的两种方法 跟踪训练1 (1)(2023·广东茂名二模)已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0<k<”是“直线l与圆C相交”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1， 所以直线l与圆C相交⇔圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1， 解得0<k<，所以“0<k<”是“直线l与C圆相交”的充分不必要条件． (2)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　 ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD.圆心C(0，0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|， 直线l与圆C相切，故D正确． 考点2　圆的切线、弦长问题 　切线问题 [例2] (1)(2024·江苏南京师大附中一模)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为__________. 解析：将圆C方程化为圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，得圆心C(1，2)，半径为r＝2， 当过点P(3，－2)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3是圆C的切线，满足题意； 当过点P(3，－2)的直线斜率存在时，可设直线方程为y＋2＝k(x－3)， 即kx－y－3k－2＝0，利用圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－， 即此直线方程为3x＋4y－1＝0. 所以切线方程为x＝3或3x＋4y－1＝0. 答案：x＝3或3x＋4y－1＝0 (2)(2024·吉林通化模拟)由直线x＋y＋6＝0上一点P向圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4引切线，则切线长的最小值为______． 解析：设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，CP，则PE⊥CE， 圆C的圆心为C(3，－5)，半径为r＝2， 则|PE|＝， 当PC与直线x＋y＋6＝0垂直时，|PC|取最小值，且最小值为＝2， 所以|PE|＝≥＝2，即切线长的最小值为2. 答案：2 【思维升华】　解决直线与圆相切问题的策略 　弦长问题 [例3] (1)(2020·新课标Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.圆x2＋y2－6x＝0化为(x－3)2＋y2＝9，所以圆心C坐标为C(3，0)，半径为3， 设P(1，2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|＝＝2， 根据弦长公式得最小值为2＝2＝2. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值______． 解析：由条件知圆心C(1，0)，点C到直线x－my＋1＝0的距离d＝， |AB|＝2＝. 由△ABC的面积为，得××＝，整理，得2m2－5|m|＋2＝0， 解得m＝±2，或m＝±，不妨取m＝2. 答案：2(答案不唯一，可以是± ，±2中的任意一个) 【思维升华】　直线被圆截得的弦长的两种求法 跟踪训练2 (1)(2023·湖北黄冈中学三模)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选D.由题意得m＝1＋3＝4， 当l的斜率不存在时，此时直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不合题意； 当l的斜率存在时，设切线l的方程为y－＝k(x－1)， 则＝2，解得k＝－，又l的倾斜角为0°≤θ≤180°，故l的倾斜角为150°. (2)(2021·天津高考)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝____________． 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)， 由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0，1)，半径为1， 则＝1，解得b＝－1或b＝3， 所以|AC|＝2， 因为|BC|＝1，故|AB|＝＝. 答案： (3)(多选)(2023·浙江杭州二模)若直线y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选CD.已知直线y＝kx＋1恒过点P(0，1)，圆C：(x－2)2＋y2＝9的圆心坐标为C(2，0)，半径r＝3. 当直线经过圆心时，所得弦长|AB|最大，|AB|max＝2r＝6； 当直线与PC所在直线垂直时，所得弦长|AB|最小，|AB|min＝2＝2＝4， 因此可得：4≤|AB|≤6，故|AB|的长度可能等于4或5. (4)(2022·天津高考)若直线x－y＋m＝0(m>0)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝3相交所得的弦长为m，则m＝______． 解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝3的圆心坐标为(1，1)，半径为， 圆心到直线x－y＋m＝0(m>0)的距离为＝， 由勾股定理可得()2＋()2＝3，因为m>0，解得m＝2. 答案：2 考点3　圆与圆的位置关系 [例4] (1)(多选)(2023·广东珠海模拟)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　 ) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：选BD.由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误； 做差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误； 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确． (2)(2023·河南五市二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(　　 ) A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0 C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0 解析：选D.将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0， 即2ax＋2by－a2－b2＝0， 因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1， 则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为， 所以＝＝，解得a2＋b2＝3， 所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0. 【思维升华】　1.判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． 2．两圆公共弦所在直线方程的求法 两圆相交时，公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 3．两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 跟踪训练3 (1)(2024·四川遂宁模拟)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m有且仅有3条公切线，则m＝(　　 ) A．14 B．28 C．9 D．－11 解析：选A.圆C1：(x－1)2＋y2＝1的圆心C1(1，0)，半径r1＝1， 圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m的圆心C2(5，3)，半径r2＝， 因为圆C1与圆C2有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 则|C1C2|＝r1＋r2，即解得m＝14. (2)(2023·山东济宁二模)在平面直角坐标系中，过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B.则直线AB的方程为(　　 ) A．x－y＋3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋3＝0 D．x＋y＋3＝0 解析：选A.圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O(1，2)，半径为2， 以P(3，0)、O(1，2)为直径，则PO的中点坐标为N(2，)，|PO|＝＝4， ∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4， 因为圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4过点P(3，0)的两条切线切点分别为A，B， 所以AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$