8 第2节 两条直线的位置关系(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第2节　两条直线的位置关系　　　　　► 对应学生用书P185 [课标要求]　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)斜截式方程：已知两条直线l1：y＝k1x＋b1，与l2：y＝k2x＋b2. 条件 位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2 平行 k1＝k2 斜率都不存在 垂直 k1·k2＝－1 一条直线的斜率不存在， 另一条直线的斜率为0 (2)一般式方程：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； ②垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0． 2．两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有唯一解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间 的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) |P1P2|＝ 点到直线 的距离 点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0 d＝ 两条平行线 间的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0 d＝ [提醒]　应用两条平行直线的距离公式时，直线方程必须是一般式，且x，y 的对应系数分别对应相等． 4．中点坐标公式 若已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(，). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　 (4)× 2．(人教B版选择性必修一·P97练习BT5改编)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　 ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 解析：选B.若l1⊥l2，则(3－a)×(－)＝－1，解得a＝1或a＝2，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 3．(人教A版选择性必修一·P79练习T1改编)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________________． 解析：利用两平行线间的距离公式得d＝＝＝. 答案： 4．(人教A版选择性必修一·P77练习T3改编)已知点(a，2)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a＝____________． 解析：由题意得＝1，解得a＝－1＋或a＝－1－. 答案：－1± 5．(北师大版选择性必修一·P17例17)经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程是____________. 解析：依据条件，可知所求直线存在斜率，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2). 依题意可知直线l：2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1， 因为所求直线平行于直线l，所以k＝－2， 所以所求直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0. 答案：2x＋y－7＝0 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　两条直线的位置关系 [例1] (1)(2023·河南周口模拟)“m＝4”是“直线(3m－4)x＋my－2＝0与直线mx＋2y－2＝0平行”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.当m＝4时，两直线方程分别为4x＋2y－1＝0和4x＋2y－2＝0，两直线平行； 当直线(3m－4)x＋my－2＝0与直线mx＋2y－2＝0平行时，有2(3m－4)＝m2， 解得m＝4或m＝2，其中m＝2时两直线重合，舍去，故m＝4. 所以“m＝4”是“直线(3m－4)x＋my－2＝0与直线mx＋2y－2＝0平行”的充分必要条件． (2)(2023·内蒙古赤峰模拟)已知直线mx＋4y－2＝0与直线4x－2y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p等于(　　 ) A．6 B．2 C．－2 D．－6 解析：选A.因为直线mx＋4y－2＝0与直线4x－2y＋n＝0互相垂直， 所以m×4＋4×(－2)＝0，解得m＝2， 所以原直线mx＋4y－2＝0为2x＋4y－2＝0， 又因为垂足(1，p)在两直线上，所以代入得解得 所以m－n＋p＝2＋4＋0＝6. (3)已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为________________． 解析：法一　由 解得即点P的坐标为(2，1)， 因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1， 由点斜式得l的方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0. 法二　由解得即点P的坐标为(2，1)， 因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋C＝0， 把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－y－1＝0. 法三　直线l的方程可设为2x－y－3＋λ(4x－3y－5)＝0(其中λ为常数)， 即(2＋4λ)x－(1＋3λ)y－5λ－3＝0，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直， 所以·(－1)＝－1，解得λ＝－1，故直线l的方程为x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 【思维升华】　(1)解决两直线平行与垂直求参数的问题要“前思后想” (2)求过两直线交点的直线方程的两种方法 跟踪训练1 (1)(2023·山东济南模拟)直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－ay－1＝0的位置关系是(　　 ) A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 解析：选A.当a＝0时，直线l1：y－1＝0，直线l2：x－1＝0，此时两直线垂直， 当a≠0时，直线l1的斜率k1＝－a，直线l2的斜率k2＝，因为k1·k2＝－1，则两直线垂直， 综上，两直线位置关系是垂直． (2)经过直线l1：2x－y＋4＝0与直线l2：x－y＋5＝0的交点M，且与直线x－2y－1＝0平行的直线的方程是______________． 解析：设所求直线为(2x－y＋4)＋λ(x－y＋5)＝0， 故(2＋λ)x－(1＋λ)y＋4＋5λ＝0，因为此直线与直线x－2y－1＝0平行， 故(2＋λ)·(－2)＝－(1＋λ)·1，故λ＝－3， 故所求直线为x－2y＋11＝0. 答案：x－2y＋11＝0 考点2　两条直线的距离问题 [例2] (1)在平面直角坐标系中，已知点A(cos 15°，sin 15°)，B(cos 75°，sin 75°)，则|AB|＝(　　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选A.∵点A(cos 15°，sin 15°)，B(cos 75°，sin 75°)， ∴|AB|＝ ＝ ＝＝＝＝1. (2)若两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：x＋ay－5＝0平行，则l1与l2间的距离是(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选B.由l1：x＋2y－6＝0与l2：x＋ay－5＝0平行，可得－＝－⇒a＝2， 当a＝2时，两直线不重合，故a＝2，进而l1与l2间的距离为＝. (3)点(1，1)到x＋my＋1＝0的距离是，则m＝__________． 解析：点(1，1)到x＋my＋1＝0的距离d＝＝，即m2－4m－2＝0，解得m＝2＋或m＝2－. 答案：2＋或2－ 【思维升华】　距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式求解，一般用来判断三角形的形状等． (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在． (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题． 跟踪训练2 (1)到两条直线l1：x－2y＋1＝0与l2：2x－y－2＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程(　　) A．x＋y－3＝0或3x－3y＋1＝0 B．x－y－3＝0或3x－3y－1＝0 C．x＋y－3＝0或3x－3y－1＝0 D．x＋y＋3＝0或3x－3y－1＝0 解析：选C.由题意可得＝，即x－2y＋1＝±(2x－y－2)，化简得x＋y－3＝0或3x－3y－1＝0. (2)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝______． 解析：直线Ax－2y－1＝0，即2Ax－4y－2＝0， ∵直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，∴2A＝6，解得A＝3， ∴直线6x－4y－2＝0与6x－4y＋C＝0的距离为.∴＝，解得C＝11或－15. 答案：11或－15 考点3　对称问题 　中心对称问题 [例3] (1)直线2x＋3y－6＝0关于点(－1，2)对称的直线方程是(　　 ) A．3x－2y－10＝0 B．3x－2y－23＝0 C．2x＋3y－4＝0 D．2x＋3y－2＝0 解析：选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)， 则其关于点(－1，2)对称的点的坐标为(－2－x，4－y)， 因为点(－2－x，4－y)在直线2x＋3y－6＝0上， 所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0，即2x＋3y－2＝0. (2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为____________． 解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为＋y＝1，即x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 【思维升华】　两类中心对称问题及解法 (1)点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)直线关于点对称的两种求解方法 　轴对称问题 [例4] (1)(2024·四川遂宁模拟)已知点A与点B(2，1)关于直线x＋y＋2＝0对称，则点A的坐标为(　　 ) A．(－1，4) B．(4，5) C．(－3，－4) D．(－4，－3) 解析：选C.设A(x，y)，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线x＋y＋2＝0上且直线AB与直线x＋y＋2＝0垂直， 则解得即点A坐标为(－3，－4). (2)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(　　 ) A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0 C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0 解析：选A.联立解得 取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)， 则解得 所以直线l2的斜率k＝＝－，故直线l2的方程为y＝－(x－2)，整理为11x＋2y－22＝0. 【思维升华】　1.点关于直线对称的点坐标的求法 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标． 2．直线关于直线对称的两种求解方法 跟踪训练3 (1)直线2x－y＋3＝0关于点P(3，2)对称的直线的一般式方程为____________． 解析：设对称直线为2x－y＋C＝0， 根据点P(3，2)到两条直线的距离相等， 则有＝，即|4＋C|＝7，解得C＝3(舍)或C＝－11. 所以对称直线的方程为2x－y－11＝0. 答案：2x－y－11＝0 (2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________． 解析：由题意可知，反射光线经过的点M(－3，4)关于直线l的对称点P(9，4)，如图所示， 直线PN的方程即为反射光线所在的直线方程， 由N(2，6)，P(9，4)可得kPN＝＝－， 根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为y－6＝－(x－2)，整理得2x＋7y－46＝0. 答案：2x＋7y－46＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$