8 第1节 直线的方程(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第八章　　　　平面解析几何 第1节　直线的方程　　　　　► 对应学生用书P182 [课标要求]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线的倾斜角 (1)定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0°． (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． [点拨]　倾斜角从“形”的方面直观地描述，体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. [提醒]　斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2. [思考]　直线的倾斜角越大，斜率就越大，这种说法对吗？ 提示：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 － 随α的增 大而增大 － 随α的增 大而增大 记忆口诀：斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论． ②设P1(x1y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量P1P2＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． 3．直线方程的5种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不含垂直于坐标 轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面内所有直线 [提醒]　求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　) (2)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　) (3)倾斜角相等的两条直线的斜率不一定相等．(　　) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人教A版选择性必修一·P55练习T3改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　 ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 解析：选A.由题意得＝1，解得m＝1. 3．(人教A版选择性必修一·P67习题2.2T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　 ) A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝x－1 D．y＝x＋1 解析：选C.因为直线的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1. 4．(人教B版选择性必修一·P101习题2－2AT2改编)直线x－y＋a＝0(a为常实数)的倾斜角的大小是________． 解析：设直线倾斜角为α，直线x－y＋a＝0可化为y＝x＋a，斜率为k＝，则k＝tan α＝，所以α＝. 答案： 5．(北师大版选择性必修一·P13练习T3改编)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为__________． 解析：由题知，若在x轴、y轴上截距均为0， 即直线过原点，又过(3，－2)，则直线方程为y＝－x； 若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为＋＝1，又直线过点(3，－2)，则＋＝1，解得a＝1，所以此时直线方程为x＋y＝1. 答案：2x＋3y＝0或x＋y＝1 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　直线的倾斜角与斜率 [例1] (1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1， ]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]， 又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是. (2)已知点A(2，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－1)－2与线段AB有公共点，则k的取值范围是(　　 ) A．[－，5] B．(－∞，－] C.[5，＋∞) D．(－∞，－]∪[5，＋∞) 解析：选D.直线l：y＝k(x－1)－2过定点P(1，－2)， 又kPA＝＝5，kPB＝＝－，如图所示， 若直线l：y＝k(x－1)－2与线段AB有公共点，则k的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞). 【思维升华】　1.斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． 2．斜率取值范围的两种求法 (1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定． (2)函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 跟踪训练1 (1)(2024·广东深圳模拟)已知A(2，－3)、B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(　　 ) A.(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1，1] 解析：选D.过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示， 设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且kPA＝＝－1，kPB＝＝1， 当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线l的倾斜角逐渐增大， 此时－1＝kPA≤k<0； 当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤kPB＝1. 综上所述，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. (2)直线l过相异两点A(－sin θ，cos2θ)和B(0，1)，则l的倾斜角的范围是______． 解析：当sinθ＝0时，cos2θ＝1－sin2θ＝1，此时A，B重合，不合题意，∴直线l斜率存在； 设直线l斜率为k，倾斜角为α，则k＝＝sin θ∈[－1，0)∪(0，1]，∴tan α∈[－1，0)∪(0，1]，又α∈[0，π)，∴α∈(0，]∪[，π). 答案：(0，]∪[，π) 考点2　直线的方程 [例2] 求符合下列条件的直线方程： (1)过点(1，2)，且斜率为3； (2)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)； (3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (4)过点P(2，4)且在坐标轴上的截距相等． 解：(1)直线的点斜式方程为y－2＝3(x－1)，化简得3x－y－1＝0. (2)由两点式得＝，即x＋y－1＝0. (3)斜率k＝tan 45°＝1，截距b＝2，所以斜截式方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. (4)当直线过原点时，设y＝kx，过点(2，4)，则k＝2，即2x－y＝0； 当直线不过原点时，设＋＝1，过点(2，4)，则a＝6，即x＋y－6＝0. 综上所述，直线方程为2x－y＝0或x＋y－6＝0. 【思维升华】　求直线方程的两种方法 跟踪训练2 求下列直线的方程． (1)过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍； (3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0； 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1， 将P(2，3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0. 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1 ＝0. (2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α， 因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－， 又直线经过点A(－1，－3)，由直线的点斜式方程得所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. (3)由题意可知，所求直线的斜率为±1， 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)， 即所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 考点3　直线方程的综合应用 [例3]已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解：法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝[4＋(－4k)＋]≥×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立， 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 法二　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)， 所以＋＝1， 则1＝＋≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当＝＝时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. [变式] 1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：由本例法二知，＋＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·(＋)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：法一　由本例法一知A，B(0，1－2k)(k<0)， 所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4， 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 法二　由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1. 所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2(＋)≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 【思维升华】　与直线方程有关的最值问题的解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $$