7 第4节 空间直线、平面的垂直(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第4节　空间直线、平面的垂直　► 对应学生用书P164 [课标要求]　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直的关系．　2.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间基本图形的垂直关系的简单命题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点叫垂足． [提醒]　“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)点到平面的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，这点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离． (3)直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b [思考]　空间中任意一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？ 提示：存在，如图． 2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性 质 定 理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α [点拨]　在性质定理中要注意两点：一是“在平面内”，二是“垂直于交线”，缺一不可．它是作平面垂线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 3．三垂线定理及逆定理 (1)在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人教A版必修二·P162练习T2)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是(　　) ①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线； ②平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线； ③平面α内的任一条直线必垂直于平面β； ④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选C.α内存在不与β垂直的直线，故①错误，②正确；α内取与l平行的直线，不垂直于β，故③错误；若α内的任意一点取在交线l上，则所作垂线不一定垂直于β，故④错误． 3．(人教A版必修二·P158例7改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA, 平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：7 4．(人教A版必修二·P152T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点． (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心． 解析：(1)∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴点O是△ABC的外心． (2)由(1)知，点O是△ABC的外心，又∠ACB＝90°，如图，∴点O是斜边AB的中点． (3)连接AO并延长交BC于一点E. ∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA， ∴PA⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA， ∵PO⊥平面ABC于点O，BC⊂平面ABC， ∴PO⊥BC， 又PO∩PA＝P，PO，PA⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵AE⊂平面APE，∴BC⊥AE， 同理可证HC⊥AB，BG⊥AC， ∴O是△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)中　(3)垂 5．(人教B版必修四·P124习题11－4BT2)如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C为圆上任意一点． 求证：BC⊥平面PAC. 证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， ∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC， ∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平行、垂直关系命题的真假 [例1] (1)(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ 解析：选AD.因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，故A正确；当α，β，γ是某三棱柱的三个侧面时，可以满足α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，但是α与β相交，故B错误；垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故C错误；因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为β∥γ，所以m⊥γ，故D正确． (2)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论： ①PA⊥BC，②PB⊥AC，③PC⊥AB，④AB⊥BC. 其中正确的有________．(填序号) 解析：如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确．由已知条件无法得到④. 答案：①②③ 【思维升华】　判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法 (1)借助几何图形来说明线面关系． (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明． 跟踪训练1 下列命题中错误的是(　　 ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：选D.对于A，设平面α∩平面β＝a，直线b⊂α，直线b⊄平面β，且b∥a, 根据线面平行的判定定理可得直线b∥β，故A正确； 对于B，如果α内存在直线与β垂直，则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β，与已知矛盾，故B正确； 对于C，设平面α∩平面γ＝a，平面β∩平面γ＝b，在γ内作直线m⊥a，n⊥b，由面面垂直的性质定理可得m⊥α，n⊥β，∵直线l⊂α，l⊂β，∴m⊥l，n⊥l，∵α∩β＝l，∴m，n为相交直线，又∵m，n⊂平面γ，∴l⊥平面γ，故C正确； 对于D，平面α⊥平面β，设平面α∩平面β＝a，在平面α内与a平行的直线都不与平面β垂直，故D错误． 考点2　线面垂直的判定与性质 [例2] (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F­EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 解：(1)如图所示，连接AF， 由题意可得，BF＝＝＝， 因为AA1B1B为正方形，且BF⊥A1B1，所以AB∥A1B1，AB⊥BF. 从而有AF＝＝＝3， 从而AC＝＝＝2， 则AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，△ABC为等腰直角三角形， S△BCE＝S△ABC＝×＝1，VF­EBC＝×S△BCE×CF＝×1×1＝. (2)证明：由(1)的结论可将几何体补为一个棱长为2的正方体ABCM­A1B1C1M1，如图所示，取棱AM，BC的中点H，G，连接A1H，HG，GB1， 正方形BCC1B1中，G，F为中点，易知△FCB≌△GBB1，所以∠FBC＝∠GB1B，又∠GB1B＋∠B1GB＝90°，所以∠FBC＋∠B1GB＝90°，则BF⊥B1G， 又BF⊥A1B1，A1B1∩B1G＝B1，A1B1，B1G⊂平面A1B1GH， 故BF⊥平面A1B1GH， 而DE⊂平面A1B1GH， 从而BF⊥DE. 【思维升华】　证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为： 跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝ ；③AA1＝ . 解：(1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，即△A1C1B1是等腰直角三角形， ∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D， ∵A1B1∩AA1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.如图，连接DF，A1B， ∵D，F分别为A1B1，BB1的中点， ∴DF∥A1B， 在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝ ， 又AA1＝ ，则四边形AA1B1B是正方形， ∴A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1， ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1， ∵DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF， ∴AB1⊥平面C1DF. 考点3　面面垂直的判定与性质 [例3] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 因为BC⊂平面BCC1B1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 所以四棱锥A1­BB1C1C的高为A1O， 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC， 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以O为CC1中点，OC1＝AA1＝1，又因为A1C⊥AC， 所以A1C2＋AC2＝AA，即x2＋x2＝22，解得x＝， 所以A1O＝＝＝1，即四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 【思维升华】　利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法 跟踪训练3 (2023·河南郑州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，平面APD⊥平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，AB＝BC＝AD，PA＝PD＝AD. (1)求证：平面CEF⊥平面PAD； (2)若AB＝2，求几何体PABCEF的体积． 解：(1)证明：因为F为AD的中点， 所以AF＝AD，又BC＝AD，所以AF＝BC， 因为AD∥BC，所以四边形ABCF为平行四边形，所以AB∥CF， 因为AB⊥AD，所以CF⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CF⊂平面ABCD， 所以CF⊥平面PAD， 又CF⊂平面CEF，所以平面CEF⊥平面PAD. (2)连接PF， 因为PA＝PD，F为AD的中点， 所以PF⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面PAD， 所以PF⊥平面ABCD， 因为AB＝2，所以AD＝4， 所以在△PAD中，AF＝FD＝2，PA＝PD＝2，又PF⊥AD， 所以PF＝＝2，梯形ABCD的面积为S1＝×2＝6， 所以四棱锥P­ABCD的体积V1＝S1·PF＝×6×2＝4. 因为E为棱PD的中点， 所以三棱锥E­FCD的高为PF＝， 所以三棱锥E­FCD的体积V2＝S△CFD·＝××2×2×＝， 故所求几何体的体积V＝V1－V2＝4－＝. 考点4　平行与垂直的综合问题 [例4](2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积． 解：(1)证明：连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋， 因为BF⊥AO， 所以·＝[(1－t)＋t]·(－＋)＝(t－1)BA2＋tBC2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点，由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， 于是DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF，则四边形ODEF为平行四边形， 所以EF∥DO，EF＝DO， 又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M， 因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC， 在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝， 所以PO＝＝＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB， 所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF， 所以BC⊥PM， 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC， 即三棱锥P­ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以PM＝PO sin 60°＝2×＝， 又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2， 所以VP­ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝. 【思维升华】　立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化 跟踪训练4 (2023·陕西安康质检)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PA＝PD，∠BAD＝45°，AD＝2，AB＝4，DC＝1，PB＝2. (1)求四棱锥P­ABCD的体积； (2)在线段PB上是否存在点M，使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示． 在△PAD中，PA＝PD，G是AD的中点， 所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， 所以PG⊥平面ABCD，即PG为四棱锥P­ABCD的高． 又GB⊂平面ABCD，所以PG⊥GB. 在△AGB中，由余弦定理得GB2＝AG2＋AB2－2AG·AB·cos ∠GAB＝()2＋42－2××4×＝10，故GB＝. 在△PGB中，PB＝2，GB＝，PG⊥GB，所以PG＝. 在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AD＝2，易知四边形的高为2， 所以VP­ABCD＝PG·SABCD＝××＝. (2)过点C作CN∥AD交AB于点N，则＝， 过点N作NM∥AP交PB于点M，连接CM，则＝. 又因为CN∥AD，AD⊂平面PAD，CN⊄平面PAD，所以CN∥平面PAD. 因为MN∥PA，PA⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. 又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CNM， 所以平面PAD∥平面CMN. 又CM⊂平面CMN，所以CM∥平面PAD. 所以在PB上存在点M，使得CM∥平面PAD，且＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$