7 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系► 对应学生用书P156 [课标要求]　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理．　2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α ①确定平面； ②证明点、线共面； ③证明两个平面重合 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒ l⊂α 判断直线是否在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判断两个平面是否相交； ②证明点共线和线共点问题 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥ c⇒a∥c 判断两条直线是否平行 (2)基本事实的3个推论 自然语言 图形语言 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 [提醒]　三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线的三点才能确定一个平面．同理，推论1中必须是直线和直线外一点，如果点在直线上，也不能确定一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 [点拨]　(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，又不相交． (2)异面直线不具有传递性．即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 [点拨]　线面相交、线面平行统称为直线在平面外，记作a⊄α. 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [点拨]　如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反，则两角相等；若一边同向，另一边反向则互补． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90o的角称为异面直线a，b的夹角. (2)范围：．当异面直线所成角为时，称两直线垂直． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (2)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人教A版必修二·P128练习T2)下列命题正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 解析：选D.对于A，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，若点在直线上，则它们不能确定平面，故B不正确；对于C，当圆上两点为一直径的两个端点时，它们与圆心三点共线，不能确定平面，故C不正确；对于D，梯形的两个底边所在直线平行，可确定一个平面，故D正确． 3．(人教A版必修二·P132习题8.4T2(2))若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线与a是异面直线 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一一条直线与a平行 D．α内的所有直线与a都相交 解析：选B.由题意可知直线a与平面α相交，所以平面α内所有直线与a相交或异面，且α内不存在与直线a平行的直线，故A，C，D不正确． 4．(北师大版必修二·P226练习T3改编)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.正方体中，A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为，所以异面直线A1D与D1C所成的角为. 5．(人教B版必修四·P100练习AT2改编)已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝________． 解析：根据等角定理知：α＝β或α＋β＝180°， 若α＝70°，则β＝70°或110°. 答案：70°或110° 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　基本事实的应用 [例1] 已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明：(1)如图所示，连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1， 在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平面BDEF为β， 因为Q∈A1C1，所以Q∈α， 又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交，设交点为M， 则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1，又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1， 所以DE，BF，CC1三线交于点M. 【思维升华】　共面、共线、共点问题的证明方法 1．证明共面方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合． 2．证明共线方法：①先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明线共点方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 跟踪训练1 如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点． 求证：(1)E，F，G，H四点共面； (2)GE，FH，BB1相交于一点． 证明：(1)连接AC，A1C1，如图所示， 因为ABCD­A1B1C1D1为正四棱台，所以A1C1∥AC， 又E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，所以EF∥A1C1，GH∥AC， 则EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面． (2)因为A1C1≠AC， 所以EF≠GH， 所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交． 设EG∩FH＝P，因为EG⊂平面AA1B1B， 所以P∈平面AA1B1B， 因为FH⊂平面BB1C1C， 所以P∈平面BB1C1C， 又平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1， 所以P∈BB1， 则GE，FH，B1B交于一点． 考点2　空间两条直线的位置关系判断 [例2] (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　 ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：选D.法一(反证法)　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交． 法二(模型法)　如图①l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确． (2)(多选)(2023·陕西西安高一期中)如图所示，在正方体中ABCD­A1B1C1D1，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是(　　 ) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：选CD.对于A，因为点A在平面C1D1DC外，点M在平面C1D1DC内，直线CC1在平面C1D1DC内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错误； 对于B，因为AM与BN不同在任一平面内，所以AM与BN是异面直线，故B错误； 对于C，因为B与AM都在平面ABC1D1内，N在平面ABC1D1外，AM不过点B，所以BN与MB1是异面直线，故C正确； 对于D，因为M与DD1都在平面C1D1DC内，A在平面C1D1DC外，DD1不过点M，所以AM与DD1是异面直线，故D正确． 【思维升华】　空间两直线位置关系的判定方法 跟踪训练2 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　 ) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析：选B.过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易知EQ＝，QN＝1，则EN＝＝＝2，BE＝＝＝2.易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝＝＝，∴BM＝>2＝EN，∴BM≠EN. 又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线． 考点3　异面直线所成的角 [例3] (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.如图，连接BC1，PC1，PB，因为AD1∥BC1， 所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角， 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1， 所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB， 设正方体棱长为2，则BC1＝2，PC1＝D1B1＝，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝. (2)(2024·云南昆明模拟)已知三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠ABC＝∠B1BA＝∠B1BC＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.将三棱柱补成如图所示的四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BC1， 由四棱柱的性质知，AB1∥C1D， 所以异面直线AB1与BC1所成角即为C1D与BC1所成角， 则所求角为∠BC1D，设AB＝2，则AD＝2，∠BAD＝120°， 由余弦定理可得：BD＝＝＝2， 同理可得BC1＝2，因为∠B1BA＝60°，BB1＝BA＝2，所以AB1＝DC1＝2， 所以cos ∠BC1D＝＝＝. 【思维升华】　求两条异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 跟踪训练3 (2024·山东新泰模拟)如图，在四棱锥S­ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝BC＝2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D. 解析：选B.如图所示：分别取SB，BC，CD的中点F，G，H，连接EF，FG，GH，FH，BD，AC. 由∠ABC＝60°且AB＝BC＝2可得△ABC是等边三角形， 则EF∥AB且EF＝AB，DH∥AB且DH＝AB，故EF∥DH且EF＝DH， 所以四边形EFHD为平行四边形，故ED∥FH， 因为FG∥SC，所以∠GFH为异面直线SC与DE所成的角(或其补角)， 因为SA⊥平面ABCD，AD，AC⊂平面ABCD，所以SA⊥AD，SA⊥AC， 故△SAC和△EAD均为直角三角形， 所以FG＝SC＝＝＝，FH＝ED＝＝，GH＝BD＝×2＝，由余弦定理得cos ∠GFH＝＝， 则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$