7 第1节 第1课时 基本立体图形及其表面积、体积(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第七章　　　　立体几何与空间向量 第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [课标要求]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．　3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 第一课时　基本立体图形及其表面积、体积　　► 对应学生用书P150 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线 交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， 垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等 的矩形 全等的等 腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 [思考]　有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 提示： 不一定．如图所示的几何体满足条件，但不是棱柱． [点拨]　(1)多面体的关系 (2)特殊的四棱柱 2．直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： ①夹角：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直． ②方向：原图形中与x轴、y轴、z轴平行的，在直观图中与x′轴、y′轴、z′轴平行． ③长度：原图形中与x轴、z轴平行的，在直观图中长度不变，原图形中与y轴平行的，长度变成原来的． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l [点拨]　一些几何体表面上的最短距离问题，常常“化曲为直”，利用几何体的侧(表)面展开解决． 4．空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [点拨]　柱体、锥体、台体体积公式之间的关系： 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)菱形的直观图仍是菱形．(　　) (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　) (3)用两个平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　) (4)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(人教A版必修二·P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被一个平面截成两个几何体，其中EH∥B′C′∥FG. 则左下方部分几何体是(　　 ) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．既不是棱柱，也不是棱台 解析：选C.根据棱柱的定义，可知几何体是以五边形ABFEA′为底面的五棱柱. 3.(人教A版必修二·P119例4改编)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为(　　 ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．4∶5 解析：选B.设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高2R. 则球的体积V1＝πR3，圆柱的体积V2＝πR2·2R＝2πR3， ∴V1∶V2＝πR3∶2πR3＝2∶3. 4．(人教B版必修四·P91习题11－1BT14)已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，则这个正四棱锥的体积为________. 解析：如图所示： 因为PC＝，△PAB为等边三角形，所以AC＝1，PA＝2，所以OC＝AC＝1， 在Rt△POC中，PO＝＝，所以V＝Sh＝×22×＝. 答案： 5.(人教A版必修二·P118例3)如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg. 解析：一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6＋4π×0.152≈0.847 8(m2)， 所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg). 答案：423.9 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　基本立体图形 　结构特征 [例1] (1)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A.①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． (2)给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； ③正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形； ④正确，由棱台的概念可知． 答案：②③④ 【思维升华】　辨别空间几何体的两种方法 　直观图 [例2] (1)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝O′C′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　 ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．非等边的等腰三角形 D．钝角三角形 解析：选A.根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系的图形，如图． 则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝，由勾股定理得AC＝AB＝＝2， 所以△ABC是一个等边三角形． (2)已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为(　　 ) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析：选A.法一　根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示． 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a. 作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a， S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝a×a＝a2. 法二　易得原图形△ABC的面积S＝ a2，所以S直观图＝S原图形＝a2. [变式] (交换条件与结论)例题(2)变为：已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________． 解析：法一　如图所示， 在直观图中，正△A′B′C′的边长为a，故点A′到底边B′C′的距离是a，作A′D′⊥x′轴于点D′，则△A′D′O′是等腰直角三角形，故可得O′A′＝a. 由此可得在平面图中△ABC的高为a，原△ABC的面积为×a×a＝a2. 法二　易得直观图的面积S＝a2，所以S原图形＝2S直观图＝a2. 答案：a2 【思维升华】　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．注意直观图与原图形中的“三变”“三不变”： “三变” 坐标轴的夹角改变， 与y轴平行的线段的长度改变减半， 图形改变 “三不变” 平行性不变， 与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变 　展开图 [例3] (1)《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长得和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为(　　 ) A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 解析：选C.如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF， 由题意得AB＝2丈＝20尺，圆周长BE＝3尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为BD＝＝＝29尺． (2)(2024·湖南郴州三模)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　 ) A．30 B．40 C．50 D．60 解析：选C.圆台上底面半径为10，下底面半径为5，母线长为l， 所以S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π，解得l＝20， 将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O. 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离， 设OA＝R，圆心角是α，则由题意知10π＝αR①，20π＝α(20＋R)　②， 由①②解得α＝，R＝20， ∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，则M1B＝＝50. 【思维升华】　在解决空间折线(段)最短问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方体)，一定先观察立体图形每个面的形状，全面考虑问题，借助展开图，培养直观想象素养． 跟踪训练1 (1)(2024·河北张家口模拟)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是(　　 ) A．面积为6的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为6的菱形 D．面积为的菱形 解析：选C.∠D′O′A′＝45°，O′C′＝C′D′＝1，所以O′D′＝， 故在原图中，OD＝2，CD＝C′D′＝1，OC＝＝＝3， 所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA＝3， 则原图形面积为S＝OA×OD＝6. (2)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC＝2, S△ABC＝1，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为(　　 ) A．2 B．2 C．－ D．＋ 解析：选D.根据题意，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC＝2，S△ABC＝1， 则有S△ABC＝AB·AC·sin A＝1， 可得sin A＝，又0°<A<180°，则A＝30°， 而△ABC≌△PBC，则∠CPB＝30°，又△PAB，△PAC为正三角形， 将三棱锥沿侧棱PA展开，得到如图所示的多边形，其中∠APA′＝60°＋60°＋30°＝150°， 根据余弦定理，最短距离d＝AA′＝＝＋. 考点2　简单几何体的侧(表)面积 [例4] (1)(2024·安徽马鞍山模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.设圆锥和圆柱的底面半径为r， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为l＝2r， 则圆锥和圆柱的高为h＝＝r，所以圆锥的侧面积为S1＝×2πr×l＝2πr2， 圆柱的侧面积为S2＝2πr×h＝2πr2， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为＝. (2)(2024·甘肃兰州模拟)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为(　　 ) A．34＋8 dm2 B．34＋44 dm2 C．34＋48 dm2 D．34＋8 dm2 解析：选A.由题可得正三棱柱的底面积为×2×2×sin 60°＝ dm2， 正三棱柱的外露表面积为2×＋2×2×2＝8＋2 dm2， 四棱台侧面梯形的高为＝2 dm， 四棱台外露表面积为4××(2＋6)×2＝32 dm2， 故该结构表面积为32＋8＋2＝34＋8(dm2). 【思维升华】　求解几何体表面积的类型及求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 跟踪训练2 (1)(2024·山东济南一模)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为(　　 ) A．2 B． C．4 D．2 解析：选D.设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3π， 则由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3π，所以l＝， 设截去的圆锥的母线长为l′，由三角形相似可得＝， 则2l′＝l′＋，解得l′＝， 所以原圆锥的母线长l′＋l＝＋＝2. (2)如图1是文祥塔，位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上，初名象山塔，后人重修时易名为文祥塔．已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高2.8 m、底面边长为2 m的正六棱柱，塔顶可近似地视为一个高1 m的正六棱锥，如图2所示，则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为(　　 ) A．45.6 m2 B．(45.6＋6)m2 C.(33.6＋6)m2 D．(33.6＋6＋6)m2 解析：选A.如图，设正六棱锥的底面正六边形的中心为O，则△OAB为等边三角形，连接点O与边AB的中点H，连接PH，由已知可得OH⊥AB，PH⊥AB，因为正六边形的边长为2，所以OH＝＝.又正六棱锥的高PO＝1，故正六棱锥的侧面的高为PH＝＝2，则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和为(2.8×2＋2×2×)×6＝45.6(m2). 考点3　简单几何体的体积 [例5] (1)(2023·广东佛山二模)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9 050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(　　 ) (参考数据：9.52≈90，9.53≈857，315×1 005≈316 600，π≈3.14) A.9 064 m3 B．9 004 m3 C．8 944 m3 D．8 884 m3 解析：选A.由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝＝9.5(m)， 而圆台一个底面的半径为r＝1(m)， 则V半球＝××π×9.53≈π(m3)，V圆柱＝π×9.52×14≈1 260π(m3)， V圆台＝×(9.52π＋＋π)×31.5≈π(m3)， 所以V＝V半球＋V圆柱＋V圆台≈π＋1 260π＋π≈9 064(m3). (2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 解析：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高， 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝， 则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝， 故AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝＝＝， 所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝. 答案： 【思维升华】　求空间几何体的体积的三种方法 跟踪训练3 (1)(2023·广东汕头三模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积)(　　 ) A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸 解析：选C.如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为(18＋6)＝12寸， 则盆中水的体积为π×9×(62＋122＋6×12)＝756π(立方寸). ∴平地降雨量等于＝(寸). (2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　) A. 1 B． C. 2 D. 3 解析：选A.取AB中点E，连接PE，如图， ∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2， ∴PE⊥AB，CE⊥AB，又PE，CE⊂平面PEC，PE∩CE＝E，∴AB⊥平面PEC， 又PE＝CE＝2×＝，PC＝， 故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE， 所以V＝VB­PEC＋VA­PEC＝S△PEC·AB＝××××2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$