6 培优拓展（14）数列中的构造问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

培优拓展(十四)　数列中的构造问题 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． 题型突破 题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a) [例1] (2024·河南许昌模拟)数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝4an＋6(n∈N*)，令bn＝log2(an＋2)，则等于(　　 ) A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023 解析：选D.∵an＋1＝4an＋6(n∈N*)，∴an＋1＋2＝4an＋6＋2＝4(an＋2)>0， 即＝4且a1＝2，∴数列{an＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列， 故an＋2＝4n，由bn＝log2(an＋2)，得bn＝log24n＝2n， 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则S2 022＝2(1＋2＋3＋…＋2 021＋2 022)＝2 022×2 023， ∴＝＝2 023. 　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) [例2] 已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，求{an}的通项公式． 解：设an＋pn＋q＝[an－1＋p(n－1)＋q]， 即an＝an－1－pn－p－q， 与原式比较，对应项系数相等得 解得 首项a1－4＋6＝3， 所以{an－4n＋6}是3为首项，为公比的等比数列， 所以an－4n＋6＝3·， 所以an＝＋4n－6. 　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) [例3] 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项公式． 解：法一　原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1).① 比较系数得λ＝－4，①式即是an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)， 则数列{an－4·3n－1}是以首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1. 法二　将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋， 令bn＝，则bn＋1＝bn＋，设bn＋1＋k＝(bn＋k)，比较系数得k＝－，则＝， ∴是以－为首项，为公比的等比数列， ∴bn－＝·， 则bn＝－·， ∴an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1. 【思维升华】　 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1) [例4] 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)， 设bn＝an＋1＋an， 所以＝＝＝3， 又因为b1＝a2＋a1＝3， 所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列． 所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n， 从而＋·＝， 不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝， 故cn＋1－＝－，即＝－， 又因为c1－＝－＝， 所以数列是首项为，公比为－的等比数列， 故cn－＝×＝－， 从而an＝. 法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3， 可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1， 由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝， 所以an＝. 答案： 【思维升华】　可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 题型三　倒数为特殊数列 [例5] (多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．＝＋ B．是等比数列 C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49 解析：选ABC.由an＋1＝， 可得＝＝＋2，所以－＝2，且＝1， 所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对； ＝22＝4，所以数列是等比数列，故B对； 由等差中项的性质可得＝＋，故A对； 由上可知an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以3a5a17≠a49，故D错． 【思维升华】　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an. [对点练]　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于(　　 ) A．47 B．48 C．49 D．410 解析：选C.由题意得a1＋a2＝4， 由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)， 得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)， 即＝4(n≥3)， 所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49. (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大取值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C.因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1， 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝，由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9. (3)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 024等于(　　 ) A．22 023－1 B．42 023－1 C．22 023＋1 D．42 023＋1 解析：选B.∵an＝4an－1＋3(n≥2)， ∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)， ∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2 024＝42 023－1. (4)(2024·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2 023(S2 023＋2 023)的值为(　　 ) A．22 023－2 B．22 023－1 C．2 D．1 解析：选C.(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝，即＝＋1， 得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，＝2n－1，an＝， S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2， ∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2. (5)(2024·福州调研)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则a5＝________． 解析：∵an＋1＝3an＋3n，∴－＝， ∴数列是等差数列，公差为， 又＝，∴＝＋(n－1)×＝， ∴an＝n·3n－1，a5＝5×34＝405. 答案：405 (6)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________． 解析：由题意知，an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∵a2－a1＝2，∴数列{an－an－1}是以首项为2，公比为2的等比数列，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)， 当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1， 显然n＝1时满足上式，∴an＝2n－1. 答案：2n－1 学科网（北京）股份有限公司 $$