6 第5节 数列中的综合问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版2019）

第5节　数列中的综合问题　► 对应学生用书P145 [课标要求]　1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决一些等差与等比数列之间、数列与函数、不等式之间的综合应用问题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用相关知识解决． 考点1　等差数列、等比数列的综合运算 [例1] (2024·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n－1， 又∵当n＝1时，a1＝S1＝2符合上式， ∴an＝3n－1. ∵b2b3＝b1b4， ∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的两根， 又∵b4>b1， ∴解得b1＝2，b4＝16， ∴q3＝＝8， ∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n. (2)∵an＝3n－1，bn＝2n， 则cn＝(3n－1)·2n， ∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n， 2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1， 将两式相减得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3[]－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8， ∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8. 【思维升华】　数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化． 跟踪训练1 (2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①， 当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1， 即2an－2an－1＝2，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9， 即＝·，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝－， 所以当n＝12或n＝13时，＝－78. 考点2　公共项问题 [例2] (1)(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm， 则2n－1＝3m－2， 得n＝＝＝＋1， 于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N， 则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N， 得an＝6n－5，n∈N*. 故Sn＝＝3n2－2n. 答案：3n2－2n (2)将数列{2n}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为__________． 解析：因为数列{an}是由{2n}和{2n}的公共项从小到大排列得到，所以数列{an}的前10项为2，22，23，…，210，即{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列{an}的前10项和为2＋22＋23＋…＋210＝＝211－2＝2 046. 答案：2 046 【思维升华】　求两个数列的公共项的两种方法 不定方程法 列出两个项相等的不定方程，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式 周期法 寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式 跟踪训练2 (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(　　 ) A．an＝5n B．an＝5n C．{an}的前n项和为 D．{an}的前n项和为 解析：选BC.令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝＝＝∈N*(m＝2，3，…)，当m＝1时，n＝1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3，…)，所以{an}的前n项和为＝. 考点3　奇偶项问题 [例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝求Sn. 解：法一　当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝(1＋3＋…＋n－1)＋＝＋＝＋1－. 当n为奇数时，n－1是偶数，Sn＝Sn－1＋an＝＋1－＋n＝＋1－. 综上，Sn＝ 法二　∵an＝ ∴a2n－1＝2n－1，a2n＝， ∴S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋[＋＋…＋]＝＋＝n2＋1－. S2n－1＝S2n－a2n＝n2＋1－－＝n2＋1－. 综上，Sn＝ 【思维升华】　1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和； 2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1. 跟踪训练3 (1)设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：bn＝＝(－1)n(＋)， 所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－＋－＋(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝－＋＝－. (2)设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：当n为偶数时， Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n＝＝[1－(－2)n]＝(1－2n)； 当n为奇数时，n－1为偶数， 所以Sn＝Sn－1＋cn＝(1－2n－1)＋2n－1＝， 综上所述，Sn＝ 考点4　数列与其他知识的交汇问题 　数列与不等式的交汇 [例4] (1)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足：bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n，① 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2＋(n－1)，② ①－②得an＝2n，故an＝2n2，当n＝1时，a1＝2也满足上式． 故bn＝＝＝[－]， 则Tn＝[1－＋－＋…＋－]＝， 由于Tn<λ(n∈N*)恒成立， 故<λ，整理得λ>， 因为y＝＝在n∈N*上单调递减， 故当n＝1时，＝， 所以λ>. (2)已知数列{an}满足a1＝，3an，2an＋1，anan＋1成等差数列． ①证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式； ②记{an}的前n项和为Sn，求证：[1－]≤Sn<. 解：①由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因为a1＝≠0，所以由递推关系可得an≠0恒成立， 所以＝＋1，所以－4＝－3， 即－1＝. 又因为－1＝－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以－1＝，所以an＝. ②证明：由①可得an＝≥＝×， 所以Sn≥＋×＋…＋×＝[1－]， an＝<＝，S1＝<， 当n≥2时，Sn<＋＋…＋＝＋＝－3×<. 综上所述，≤Sn<成立． 【思维升华】　数列与不等式的综合问题及求解策略 ①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小． ②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值． ③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明． 　数列与函数的交汇 [例5] (1)(2024·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x3＋4x，记等差数列{an}的前n项和为Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，则S2 022等于(　　 ) A．－4 044 B．－2 022 C．2 022 D．4 044 解析：选A.因为f(－x)＝－x3－4x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数， 因为f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，所以f(a1＋2)＝－f(a2 022＋2)， 所以a1＋2＋a2 022＋2＝0，所以a1＋a2 022＝－4，所以S2 022＝＝－4 044. (2)数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为________． 解析：因为a4＋λa10＋a16＝15，所以a1＋3d＋λ(a1＋9d)＋a1＋15d＝15， 令λ＝f(d)＝－2，因为d∈[1，2]，所以令t＝1＋9d，t∈[10，19]，因此λ＝f(t)＝－2， 当t∈[10，19]时，函数λ＝f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－. 答案：－ 【思维升华】　数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形． 跟踪训练4 (1)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2 023的两个零点是a2，a3，则a1a4等于(　　 ) A.2 023 B．1 C．－1 D．－2 023 解析：选D.由题意a2，a3是x2－x－2 023＝0的两根，由根与系数的关系得a2a3＝－2 023， 又a1a4＝a2a3，所以a1a4＝－2 023. (2)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3. ①求数列{an}，{bn}的通项公式； ②设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. 解：①由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， 所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ②证明：因为log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1， 所以cn＝＝＝(－)， 所以Tn＝(1－＋－＋…＋－)， 因为n∈N*，所以Tn＝<， ＝. 当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0， 所以数列{Tn}是一个递增数列，所以Tn≥T1＝. 综上所述，≤Tn<. 学科网（北京）股份有限公司 $$