专题强化02：集合与逻辑用语解答题必刷题（25题 培优）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化02：集合与逻辑用语解答题必刷题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 3．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 4．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N；(2)求；(3)求；(4)求． 6．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 8．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知全集为实数集，集合， (1)分别求，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 10．（23-24高一上·广东广州·期末）设全集为，集合， (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设全集，集合，集合，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)若，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 13．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知集合 (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围． 14．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集R. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)在①；②．这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·湖南·期末）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·四川南充·期末）设集合，. (1)若时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 21．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 22．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 23．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 24．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 25．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 试卷第22页，共22页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：集合与逻辑用语解答题必刷题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案； （2）将必要条件转化为集合包含关系，进而直接列式求解. 【详解】（1）由，得，则， 即， 比较的大小，由，则， 所以， 因为， 所以或， 所以或，即实数a的取值范围为 （2）因为命题p:，命题q:，若q是p的必要条件， 所以， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）用集合的新定义求解即可； （2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可. 【详解】（1）， 当时，， 所以， ． （2）因为“”是“”的必要条件， 所以， 故， 解得， 即实数a的取值范围是． 3．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解， （2）根据包含关系即可列不等式求解. 【详解】（1）由解得， 所以， 当时，， 所以． （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为． 4．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出命题为真命题的范围，再求出公共部分即得. （2）求出命题为真命题的范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得. 【详解】（1）当时，不等式为，解得，即， 由，得，即， 由和都是真命题，得， 所以实数的取值范围是. （2）由，，得，即命题，由（1）知命题， 因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即， 所以实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）由集合中的描述，列举集合中的元素，解集合中的方程，列举集合中的元素； （2）由交集的定义计算； （3）由并集和补集的定义计算； （4）由补集和并集的定义计算. 【详解】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 6．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 7．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 8．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知全集为实数集，集合， (1)分别求，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出集合，，再结合补集、交集、并集的定义，即可求解； （2）由已知条件，分集合是否为空集讨论，即可求解． 【详解】（1）全集为实数集，集合，， ，，故得集合， ，故得集合，， ，；； （2）集合，， 当时，满足题意，此时， 当时，要使成立， 则需，即， 可得的取值范围是． 9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算得解； （2）讨论，由建立不等式求解即可. 【详解】（1），， 所以. （2）由（1）知， 因为， 当时，，解得， 当时，则 或，解得， 综上，实数的取值范围为. 10．（23-24高一上·广东广州·期末）设全集为，集合， (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出集合，，再利用交并补运算求解即可； （2）讨论和两种情况，再利用交并补运算求解即可. 【详解】（1）， 当时，，， ，； （2）， 当时，，即，符合； 当时，或 解得， 综上或. 实数的取值范围为. 11．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设全集，集合，集合，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分表示的集合为，分别求解两个集合，求解集合的运算； （2）由题意可知，根据包含关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）当时，， ，解得：，即， 则或，所以阴影部分表示的集合为； （2）由（1）可知， 若，则，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）解绝对值不等式得集合A，利用交集与补集的概念计算即可； （2）根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【详解】（1）由知，解得， 当时，， 故{或}， ∴； （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴B是A的真子集， ∴当时，，解得，显然成立； 当时，，且及中等号不能同时取得， 解得， 综上，m的取值范围是{或}． 13．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知集合 (1)若，求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入不等式，即可求出. （2）由求出集合的表示，然后求出集合，根据集合算出，再由建不等式组，解不等式组即可得出结果. 【详解】（1）若，由， ，解得， 所以：则. （2） 由，解得， ，或 又， 所以 所以实数的取值范围. 14．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 15．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集R. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）解不等式，得到，利用并集和补集的概念进行求解； （2）根据交集结果得到包含关系，由定义域得到，分三种情况，得到不等式的解集，并根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1），解得，故， ，故，解得，故， 所以， 或； （2），故， 令， 当，即时，的解集为，此时不符合函数定义域为非空数集的要求，不合题意； 当，即时，不等式解集为， 要想，则，解得， 结合，可得； 当，即时，不等式解集为， 要想，则，解得， 结合，可得， 综上，实数的取值范围是. 16．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)在①；②．这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可. （2）选择一个条件，根据集合的补集、交集、并集运算即可求得结果. 【详解】（1）由题当时，，， 所以. （2）若选①， 则由得，又， 则若， 需且， 即实数a的取值范围为. 若选②， 由知，又， 则若需且， 得实数a的取值范围为. 17．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）当时，得或，解分式不等式化简集合，由交集的概念即可得解. （2）由包含关系列出不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，或， 或， 所以或. （2）因为，所以集合不可能是空集， 若，所以或， 解得或，即实数的取值范围为. 18．（23-24高一上·湖南·期末）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据指数函数求得，结合交集运算求解； （2）由题意可得：，根据包含关系分析求解. 【详解】（1）由可得，即， 若，则，解得. （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可知，则有： ①，解得； ②当时，即时，，不符合题意； ③当时，即时，，符合题意； 综上所述：实数的取值范围. 19．（23-24高一上·四川南充·期末）设集合，. (1)若时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将集合A化简，利用并集运算得解； （2）根据题意可得，列式运算可求解. 【详解】（1）由，所以，解得， ，当时，， . （2）由题是的充分不必要条件，即， 则（等号不同时取），解得， 所以实数的取值范围为. 20．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求解出，然后根据交集运算求解出结果； （2）根据条件先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 所以 （2）若，则， ①当时，； ②，则，. 综上所述，或． 21．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式再应用交集计算即可； （2）根据必要不充分得出集合间关系再列不等式组求解即可. 【详解】（1）根据题意，可得或， ， 所以． （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，又或， 可得（等号不同时取到），解得， 即实数的取值范围是． 22．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 23．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”； （2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； （3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题. 24．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 25．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 试卷第22页，共22页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$