精品解析：山东省济南市长清区2023-2024学年下学期九年级期初考试数学试题

山东省济南市长清区九年级开学测试 数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于 的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 6. 如图，在中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和 相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米， ，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　） A. 0.8米 B. 0.86米 C. 0.96米 D. 1米 8. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 30°或60° 9. 如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 关于 的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 已知5a＝2b，则a：b＝_____． 13. 如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 ，在一定时间段内， ， 之间电流能够正常通过的概率为_______． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上， 和均为直角， 与 相交于点D，测得，则树高_____ ． 15. 如图，中， ，顶点 ， 分别在反比例函数与的图象上，则 的度数为_____． 16. 如图， 、 分别是正方形 的边、 上的动点，满足 ，连接 、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________． 三．解答题（本题共10小题，共86分） 17. 计算：． 18. 用恰当的方法解一元二次方程： 19. 如图，在和 中， ， ．若，，的周长为9，求 的周长． 20. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 21. 2023年10月《奔跑吧·生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐，某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到万元． （1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率； （2）求该民宿第四季度营业总额． 22. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱 与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆与水平线 的夹角，支撑杆于点D，该支架的边 与的夹角，又测得． （1）求出该支架的边 的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 23. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以 为直径的 上一点D在 上，且平分 ． （1）证明： 是 的切线； （2）若 ， ，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为 和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 25. 如图，已知抛物线 与x轴交于、两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接是线段 上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在 上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段 于点Q．设运动时间为秒． 能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 26. 已知点 是正方形 内部一点，且 ． 【初步探究】 （1）如图1，延长 交于点．求证： ； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交 于点 ，当点 是 的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交 于点 ，把 分成两个角，当这两个角的度数之比为 时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市长清区九年级开学测试 数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 2. 已知反比例函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设反比例函数（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（2，3），则k=6． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． 故选： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据顶点式，知顶点坐标是，求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标是． 故选：B． 4. 一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】苍蝇停在白色区域上的概率等于白砖的面积除以整个墙面的面积.． 【详解】如图，把墙面上一块砖的面积看成1，墙的面积是9，白砖的面积是6 ∴苍蝇停在白色区域上的概率= 故选D 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 5. 已知是关于 的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于 的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于 的一元二次方程得： ， ， 故选：C 6. 如图，在中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 故选：A． 7. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和 相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米， ，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　） A. 0.8米 B. 0.86米 C. 0.96米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】∵ ， ， ， ， ， 答：点 ， 之间的距离为0.96米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 8. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 30°或60° 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求解. 【详解】∵OA=OB=AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=∠AOB=30°． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 9. 如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设行车通道的宽度为，则停车区域的长总和为，宽总和为，根据“它们的面积之和为”即可列出方程． 【详解】设行车通道的宽度为．根据题意，得 ． 故选：D． 10. 关于 的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的图象过点 ，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于 的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点 ， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或 ， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 12. 已知5a＝2b，则a：b＝_____． 【答案】2:5 【解析】 【分析】依据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵5a＝2b， ∴a：b＝2：5． 故答案为2：5． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 13. 如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 ，在一定时间段内， ， 之间电流能够正常通过的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了并联电路的知识和等可能事件的概率，概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意，这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则 ，  之间电流就能够正常通过，用树状图法或列表法都比较简单． 【详解】解：两个电子元件分别记为元件和元件，可用下表列举出所有可能情况． 元件1 元件2 通电 断电 通电 （通电，通电） （断电，通电） 断电 （通电，断电） （断电，断电） 由表可得，共有种情况，并且它们出现的可能性相等． ∵这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则 ，  之间电流就能够正常通过， ∴ ，  之间电流能够正常通过的情况有种，即（通电，断电）、（通电，通电）、（断电、通电）． ∴ ，  之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为： ． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上， 和均为直角， 与 相交于点D，测得，则树高_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：8． 15. 如图，中， ，顶点 ， 分别在反比例函数与的图象上，则 的度数为_____． 【答案】## 度 【解析】 【分析】过 作轴于点 ，过 作轴于 ，根据的几何意义得出，，证明，根据面积比得出相似比，根据正切的定义以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图，过 作轴于点 ，过 作轴于 ， 则， 顶点 ， 分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知特殊角的三角函数值求角度，一次函数与反比例函数综合，综合运用以上知识是解题的关键． 16. 如图， 、 分别是正方形 的边 、 上的动点，满足 ，连接 、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案． 【详解】解：连接AC、BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，， ∵ ， ∴BE=CF， ∴△BCE≌△CDF， ∴， ∵， ∴， ∴， 当A、G、C三点共线时，AG最短， 连接MF、MO， ∵， ∴， ∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合， ∵AD=2，OA=OD，, ∴, 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键． 三．解答题（本题共10小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的混合运算和零指数幂，代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 用恰当的方法解一元二次方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解或配方法或公式法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查二次方程解法，可以用配方法，公式法或因式分解法解题． 19. 如图，在和 中， ， ．若，，的周长为9，求 的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵的周长为9， ∴ 的周长为：． 20. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=， 故答案为:； （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D） ∴P（E）＝＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 21. 2023年10月《奔跑吧·生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐，某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到万元． （1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率； （2）求该民宿第四季度营业总额． 【答案】（1）该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为 （2）该民宿第四季度营业总额为万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率： （1）设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为 ，根据等量关系列出方程并解方程即可求解； （2）根据（1）中所求的增长率可求得11月的营业额，再将三个月的营业额相加即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为 ， 依题意得：， 解得：，（舍去）， 答：该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为 ． 【小问2详解】 该民宿10月的营业额为3万元，11月、12月营业额的月平均增长率为 ， 11月的营业额为：（万元）， 该民宿第四季度营业总额为：（万元）， 答：该民宿第四季度营业总额为万元． 22. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱 与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆 与水平线 的夹角，支撑杆于点D，该支架的边 与 的夹角，又测得． （1）求出该支架的边 的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 【答案】（1） （2）安装雨棚的高度是合格的 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， （1）解 求出，解，即可求得的长，即可求解． （2）过点E作 ，垂足为H，可得四边形是矩形，，再解直角三角形分别求出 、 即可解答. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即, ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 过点E作 ，垂足为H， 由题意可知：，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴安装雨棚的高度是合格的. 23. 如图，直角三角形中，，点E为 上一点，以 为直径的 上一点D在 上，且平分 ． （1）证明： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ 为半径， ∴ 是 切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接 ，根据平行线判定推出 ，推出 ，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中， ， ， ∴ ， 由勾股定理，得：， 解得： ， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为 和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点 的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点 的坐标为：， ， ， ， ， 当点 的纵坐标为3时，则，解得， 当点 的纵坐标为时，则，解得 ， 点 的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 25. 如图，已知抛物线 与x轴交于、两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接是线段 上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在 上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段 于点Q．设运动时间为秒． 能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能为等腰三角形，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，抛物线的对称性等，解题关键是要考虑分类讨论思想在解题过程中的运用． （1）将点A，B的坐标代入 即可； （2）求出直线 的解析式，由对称性质确定F点的横坐标为2，将其代入直线 的解析式即可求出点F的坐标； （3）分 、 、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入 得： ， 解得， ∴ 抛物线的解析式为 ， 令 ，则 ， ∴ 点坐标为； 【小问2详解】 解：设直线 的解析式为 ， ∵直线 的图象经过点 ∴， 解得， ∴直线 的解析式为． ∵点 ， 关于直线对称， 又 到对称轴的距离为， ∴， ∴ 点的横坐标为， 将代入中，得：， ∴． 【小问3详解】 解：∵ ，轴， ∴ ． ∵ 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当 时， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； ②当 时， 在中， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，点 ， 重合，此时， 而，故不符合题意． 综上所述，当或秒时， 为等腰三角形． 26. 已知点 是正方形 内部一点，且 ． 【初步探究】 （1）如图1，延长 交于点 ．求证： ； 【深入探究】 （2）如图2，连接 并延长交 于点 ，当点 是 的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接 并延长交 于点 ，把 分成两个角，当这两个角的度数之比为 时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：四边形 是正方形， ，， ， ， ， ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）可得出 ， ，从而得出结论； （2）作于，可证得 ，从而，不妨设 ，则 ，，进而得出 ， ，可证得 ， 从而得出； （3）设，分别延长 ， ，分别交于，交 于分两种情况当 时与当 时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1， 作于， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ，点 是 的中点， ， 不妨设 ，则 ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， 当 时，即 ， 设， 分别延长 ， ，分别交于，交 于， ， 、 、、 共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，即 ， 同理可得： ， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $