第01章 一元二次方程 章节整合练习（16个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01章 一元二次方程 章节整合练习（16个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点9．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点13．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点14．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点15．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 知识点16．一元二次方程的整数根与有理根 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2024•邗江区校级模拟）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为 　　． 2．（2024春•江都区校级月考）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二．一元二次方程的一般形式 3．（2023春•如东县期末）方程的一次项系数是 　　． 4．（2023秋•惠山区校级月考）一元二次方程化为一般式后为，求以，为两条对角线长的菱形的面积． 5．（2023秋•常州期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 三．一元二次方程的解 6．（2024•惠山区一模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　 A． B． C．5 D．7 7．（2023秋•东台市月考）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为 　　． 8．（2022秋•靖江市期末）先化简再求值：，其中是方程的根． 四．解一元二次方程-直接开平方法 9．（2023秋•苏州期末）一元二次方程的解是　　 A． B．2 C．2或 D．0或2 10．（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1）； （2）． 11．（2023秋•淮安区期中）方程的解为　　． 五．解一元二次方程-配方法 12．（2023秋•靖江市校级月考）用配方法解方程，则配方正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2023•江宁区校级开学）用配方法解方程，方程可变形为，则　　，　　． 六．解一元二次方程-公式法 14．（2023秋•宿豫区期末）若代数式的值与的值相等，则的值是　　 A． B． C．或1 D．或 15．（2024•梁溪区二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 七．解一元二次方程-因式分解法 16．（2024•滨湖区校级一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 17．（2022秋•滨海县月考）一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D．， 18．（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程的解是 　　． 八．换元法解一元二次方程 19．（2022秋•泗洪县期末）解方程：． 20．（2022秋•江都区期中）已知，则的值为 　　． 21．（2021秋•常熟市校级月考）若，则的值为　　 A．4 B． C． D．4或 九．根的判别式 22．（2023秋•广陵区月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 23．（2023秋•扬州月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　． 24．（2022秋•亭湖区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为，求的值． 一十．根与系数的关系 25．（2024•盐城二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值． （1）； （2）． 26．（2024•秦淮区模拟）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D．， 27．（2024•崇川区三模）设，是一元二次方程的两个根，则　　． 一十一．由实际问题抽象出一元二次方程 28．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为　　 A． B． C． D． 29．（2024•盐都区校级二模）重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 一十二．一元二次方程的应用 30．（2023秋•涟水县期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　 A． B． C．或 D． 31．（2024•海陵区校级三模）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 32．（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　　个球队参赛． 一十三．配方法的应用 33．（2023•连云港）若、为实数），则的最小值为 　　． 34．（2023秋•滨湖区校级期中）定义：若一个整数能表示成，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 尝试：已知25是“完美数”，请将它写成，为正整数）的形式 　　； 探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； 应用：已知，为整数，是常数），要使为“完美数”，求的值，并说明理由． 一十四．高次方程 35．（2022•广陵区校级二模）方程的解为 　　． 36．（2021秋•溧阳市期中）阅读理解： 对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用： 如果，那么， 即有或． 因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题： 求方程的解． 一十五．无理方程 37．（2023•鼓楼区校级开学）解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 38．（2023秋•沭阳县校级月考）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是：，　　，　　； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小华把一根长为的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长． 一十六．一元二次方程的整数根与有理根 39．若整数使方程的根为非零整数，则这样的整数的个数为 　　． 40．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问： （1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 一元二次方程 章节整合练习（16个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点9．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点13．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点14．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点15．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 知识点16．一元二次方程的整数根与有理根 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2024•邗江区校级模拟）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为 　　． 【分析】根据同族二次方程的定义把式子进行变形，然后列出二元一次方程组，即可求出与的值，进一步求出的值． 【解答】解：与是“同族二次方程”， ， 即， ， 解得：． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组． 2．（2024春•江都区校级月考）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：．，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； ．，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是分式方程，故本选项不符合题意； ．不是整式方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 二．一元二次方程的一般形式 3．（2023春•如东县期末）方程的一次项系数是 　　． 【分析】一元二次方程的一般式：，，，为常数），叫一次项系数．根据方程可直接找到答案． 【解答】解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：，，，为常数）．叫二次项，叫二次项系数；叫一次项，叫一次项系数；叫常数项． 4．（2023秋•惠山区校级月考）一元二次方程化为一般式后为，求以，为两条对角线长的菱形的面积． 【分析】展开后的系数等于6，的系数等于10． 【解答】解：， ， 一元二次方程化为一般式后为， ，， ． 【点评】本题考查一元二次方程的定义及一般形式、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半的，正确记忆相关知识是解决本题的关键． 5．（2023秋•常州期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出满足的条件求解即可． 【解答】解：由题意，， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 三．一元二次方程的解 6．（2024•惠山区一模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　 A． B． C．5 D．7 【分析】先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【解答】解：把代入关于的一元二次方程得： ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤． 7．（2023秋•东台市月考）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2022秋•靖江市期末）先化简再求值：，其中是方程的根． 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：原式 ， 是方程的根， ， 原式． 【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 四．解一元二次方程-直接开平方法 9．（2023秋•苏州期末）一元二次方程的解是　　 A． B．2 C．2或 D．0或2 【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即，即原题转化为求4的平方根． 【解答】解：移项得：， ，即，． 故选：． 【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解． 10．（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1）； （2）． 【分析】（1）先移项，再开平方求解； （2）方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 解得：，； （2）， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：． 故方程组的解为． 【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程及方程组的解法是解本题的关键． 11．（2023秋•淮安区期中）方程的解为　，　． 【分析】利用直接开平方法解方程． 【解答】解：， 所以，． 故答案为，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 五．解一元二次方程-配方法 12．（2023秋•靖江市校级月考）用配方法解方程，则配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 13．（2023•江宁区校级开学）用配方法解方程，方程可变形为，则　5　，　　． 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤将所给方程进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， ， ， ， 所以，． 故答案为：5，32． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 六．解一元二次方程-公式法 14．（2023秋•宿豫区期末）若代数式的值与的值相等，则的值是　　 A． B． C．或1 D．或 【分析】利用题意列方程，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程． 【解答】解：根据题意得， 即， ， 或， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 15．（2024•梁溪区二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）先求出，再代入公式求出答案即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， 这里，，， △， 所以， ，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程和解一元一次不等式组，能熟记公式是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． 七．解一元二次方程-因式分解法 16．（2024•滨湖区校级一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）先因式分解，把方程化为两个一元一次方程即可求解； （2）解出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和求公共解解集的方法． 17．（2022秋•滨海县月考）一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D．， 【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， ， 或， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18．（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程的解是 　，　． 【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 八．换元法解一元二次方程 19．（2022秋•泗洪县期末）解方程：． 【分析】设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解方程求得即的值，然后再来解关于的一元二次方程． 【解答】解：，则由原方程，得 ， 整理，得 ， 解得或， 当时，，即， 解得，． 当时，，即，该方程无解． 综上所述，该方程的解为：，． 【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 20．（2022秋•江都区期中）已知，则的值为 　1　． 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【解答】解：设，则原方程换元为， ， 解得：，， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 21．（2021秋•常熟市校级月考）若，则的值为　　 A．4 B． C． D．4或 【分析】设，用十字相乘法因式分解，解关于的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去． 【解答】解：设，则由原方程得到． 整理，得． 解得或（舍去）． 即的值为4． 故选：． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 九．根的判别式 22．（2023秋•广陵区月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断． 【解答】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得且， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 23．（2023秋•扬州月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式△且，则可求得的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ， 的一元二次方程 ， 的取值范围是：且． 故答案为：且． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 24．（2022秋•亭湖区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为，求的值． 【分析】（1）计算△，即可得出结论． （2）将代入方程得，解出的值即可． 【解答】（1）证明：△， 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：方程的一个根为， ， 解得， 即的值为3． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 一十．根与系数的关系 25．（2024•盐城二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值． （1）； （2）． 【分析】根据根与系数的关系可得出“，”．将（1）（2）转化成只含与的算式，代入数据即可求出结论． 【解答】解：，是方程有两个实数根， ，，， （1） ； （2） ． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把求值的代数式转化成只含与的算式． 26．（2024•秦淮区模拟）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D．， 【分析】先计算根的判别式的值得到△，则根据根的判别式的意义可对选项进行判断；再根据根与系数的关系得，，则可对选项进行判断；然后利用的符号不能确定可对选项和选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数解， 即，所以选项符合题意； 根据根与系数的关系得，， 方程的两个根异号，所以选项不符合题意； 的符号不能确定， 选项和选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式． 27．（2024•崇川区三模）设，是一元二次方程的两个根，则　11　． 【分析】由、是一元二次方程的两个根，可得、，把变形为，接下来将，代入即可求出答案． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：11． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 一十一．由实际问题抽象出一元二次方程 28．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 29．（2024•盐都区校级二模）重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 【分析】根据今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，列一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 一十二．一元二次方程的应用 30．（2023秋•涟水县期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　 A． B． C．或 D． 【分析】设小路的宽是 ，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽是 ，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小路的宽是． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2024•海陵区校级三模）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【分析】（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为，利用该快递公司今年4月份投递快递总件数该快递公司今年2月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该快递公司今年5月份投递快递总件数该快递公司今年4月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率），可求出该快递公司今年5月份投递快递总件数，再将其与45万件比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为． （2）（万件）， ， 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　6　个球队参赛． 【分析】设应邀请个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设应邀请个球队参赛， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即应邀请6个球队参赛， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十三．配方法的应用 33．（2023•连云港）若、为实数），则的最小值为 　　． 【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案． 【解答】解： ， ，均为实数， ，， 原式， 即原式的的最小值为：， 解法二：由题意， 为实数， ， 即， ， 的最小值为：， 故答案为：． 【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方常数”的形式是解题的关键． 34．（2023秋•滨湖区校级期中）定义：若一个整数能表示成，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 尝试：已知25是“完美数”，请将它写成，为正整数）的形式 　　； 探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； 应用：已知，为整数，是常数），要使为“完美数”，求的值，并说明理由． 【分析】尝试：根据“完美数”的定义进行解答即可； 探究：把10拆成，再进行分组法分解因式，求出最小值即可； 探究：根据已知条件，判断和分别加上什么数，才能分解成一个完全平方式，从而求出值． 【解答】解：尝试：，，， ， 故答案为：； 探究： ， ， 当时，有最小值，最小值为1； 应用：，理由如下： ， ，为整数，是常数），要使为“完美数”， ． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握理由完全平方公式进行分解因式． 一十四．高次方程 35．（2022•广陵区校级二模）方程的解为 　0，，2　． 【分析】利用移项、提公因式、平方差公式把原方程变形，计算即可． 【解答】解：， 移项，得， 则， 或或， ，，， 故答案为：0，，2． 【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握提公因式法、平方差公式因式分解是解题的关键． 36．（2021秋•溧阳市期中）阅读理解： 对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用： 如果，那么， 即有或． 因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题： 求方程的解． 【分析】仿照题例，先变形方程，转化为一个一次方程和一个二次方程的形式，求解即可． 【解答】解：方程变形为， ． ． ． ． 或． ，，． 【点评】本题考查了解高次方程，看懂和理解题例，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 一十五．无理方程 37．（2023•鼓楼区校级开学）解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】（1）（2）利用因式分解法求解比较简便； （3）利用直接开平方法比较简便； （4）先展开方程，再利用因式分解法求解比较简便； （5）两边平方，化无理方程为整式方程，求解后再验根； （6）先利用因式分解法，再利用直接开平方法． 【解答】解：（1）， ． 或， ，． （2）， ． ． 或， ，． （3）， ． ，． （4）， ， 或， ，． （5）， ，即． ． 或． 经检验，是原方程的解． 原方程的解为：． （6）， ． 或． 当时，， 当时，无解． 原方程的解为：．． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、因式分解法是解决本题的关键． 38．（2023秋•沭阳县校级月考）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是：，　　，　　； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小华把一根长为的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长． 【分析】（1）利用因式分解法，求解即可； （2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可； （3）设的长为，通过勾股定理用含的代数式表示出、，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【解答】解：（1）， ． ． 或或． ，，． 故答案为：，； （2）方程，两边平方得， ． ． ，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的解为； （3）设的长为，则的长为． 由题意，得， 整理，得， 两边平方，得， 即． 整理，得． ． 所以，， 经检验，是原方程的根． 由于， 所以． 【点评】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键． 一十六．一元二次方程的整数根与有理根 39．若整数使方程的根为非零整数，则这样的整数的个数为 　5个　． 【分析】利用根与系数的关系得出两根之间的关系，利用因数分解得出所有的可能． 【解答】解：假设方程的两个根分别为，， 那么，， ， ， ， 后面的六个乘式是2007所有的整数分解式由于，都是整数， 因为方程的根、为非零整数，所以不成立， 所以，也只能对应上述五种情况， 其中每对应一种分解式，都有一个不同的，所以的个数为5． 故填：5个． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及整数解的求法，题目难度不大． 40．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问： （1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 【分析】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程； （2）从装卸时间入手列出方程． 【解答】解：（1）设装卸工作需小时完成，则第一人干了小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时， 由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时． 根据题得， 解得（小时）； （2）共有人参加装卸工作，由于每隔小时增加一人，因此最后一人比第一人少干小时，按题意，得，即． 解此不定方程得，，，，， 即参加的人数或3或4或5或7或13． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强． 学科网（北京）股份有限公司 $$