专题9　锐角三角函数 讲义2024-2025学年浙教版数学九年级上册专题培优

浙教版数学九年级上册专题培优 专题9　锐角三角函数 【知识梳理】 1．锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，设∠C＝90°，若∠α为Rt△ABC的一个锐角，则有 sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________. 2．锐角三角函数的增减性 ①sin α、tan α的值随着锐角α的增大而__________； ②cos α的值随着锐角α的增大而__________． 3．特殊角(30°、45°、60°角)的三角函数值： α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4．锐角三角函数的性质 (1)在Rt△ABC中，当∠C＝90°时， sin A＝__________，cos A＝__________，tan A·tan B＝__________. (2)若α为锐角，则 ①0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0； ②sin2 α＋cos2 α＝__________； ③tan α＝__________. 5．锐角三角函数的概念是解直角三角形的根本依据，解直角三角形一般采用三角函数，使数与形和谐地结合起来，对今后继续学习数学有着重要意义，在生产和生活实际中有着广泛应用． 【例题探究】 【例1】　(1)计算：tan245°＋－3cos230°－； (2)已知α、β为锐角，sin(α－10°)＝，cos(β＋5°)＝，求tan(α－β)． 【思路点拨】　准确掌握特殊角的三角函数值． 【例2】　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是(　　) A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 【思路点拨】　先根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出A，B的三角函数值判断即可． 【例3】　如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为(　　) A． B. C． D. 【思路点拨】　把线段AB向上平移一个单位得到线段DE，连结CE，则DE∥AB，可得∠APC＝∠EDC，证明△DCE为直角三角形，在Rt△DCE中利用锐角三角函数的定义求出cos∠EDC的值即可得出答案． 【例4】　如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB.将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是(　　) A． B. C． D. 【思路点拨】　先证明∠BED＝∠CDF，再在Rt△DCF中求出sin∠CDF的值即可． 【例5】　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于点D，与CB的延长线交于点E，则线段DE的长为(　　) A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【思路点拨】　作⊙O的直径DF，连结EF，则∠DEF＝90°，证明∠ABC＝∠F，可得sin∠F＝sin∠ABC＝，在Rt△DEF中，利用锐角三角函数的定义即可得线段DE的长． 【例6】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. 求：(1)线段CD的长． (2)cos∠ABE的值． 【思路点拨】　(1)在Rt△ABC中先求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出CD的长；(2)根据条件S△BDC＝S△ABC，求出△BDC的面积，即可求出BE的长，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解． 【例7】　在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b.且a，b，c满足a2－8b＝－23，b2－10c＝－34，c2－6a＝7，则2sinA＋sinB＝(　　) A．1 B． C．2 D． 【思路点拨】　把三个已知等式相加，变形成三个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出△ABC的形状，再运用锐角三角函数的定义求解即可． 【答案解析】 【知识梳理】 1．锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，设∠C＝90°，若∠α为Rt△ABC的一个锐角，则有 sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．锐角三角函数的增减性 ①sin α、tan α的值随着锐角α的增大而增大； ②cos α的值随着锐角α的增大而减小． 3．特殊角(30°、45°、60°角)的三角函数值： α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4．锐角三角函数的性质 (1)在Rt△ABC中，当∠C＝90°时，sin A＝cos B，cos A＝sin B，tan A·tan B＝1. (2)若α为锐角，则 ①0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0；②sin2 α＋cos2 α＝1；③tan α＝. 5．锐角三角函数的概念是解直角三角形的根本依据，解直角三角形一般采用三角函数，使数与形和谐地结合起来，对今后继续学习数学有着重要意义，在生产和生活实际中有着广泛应用． 【例题探究】 【例1】　(1)计算：tan245°＋－3cos230°－； (2)已知α、β为锐角，sin(α－10°)＝，cos(β＋5°)＝，求tan(α－β)． 【解题过程】原式＝×12＋－3×()2－ ＝＋4－－1 ＝1. 【解题过程】∵sin(α－10°)＝，α为锐角，∴α－10°＝60°，即α＝70°. ∵cos(β＋5°)＝，β为锐角，∴β＋5°＝45°，即β＝40°. ∴α－β＝30°，∴tan(α－β)＝. 【方法归纳】　对特殊角的三角函数值的考查多为低档题，但也是易错题．往往会出现函数值的错位．准确掌握特殊角的三角函数值是解决这类问题的关键． 【例2】　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是(　　) A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 【解题过程】　如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵AC＝2，BC＝3， ∴AB＝＝， ∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝. 故选C． 【方法归纳】　本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例3】　如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为(　　) A． B. C． D. 【解题过程】　如图，把线段AB向上平移一个单位得到线段DE，连结CE，则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 设每个小正方形的边长为a， 则EC＝＝a，DC＝＝2a，DE＝＝5a， ∴EC2＋DC2＝DE2， ∴∠DCE＝90°， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝. 故选B. 【方法归纳】　网格中求一个锐角三角函数值通常利用平行线将所求的角转化到直角三角形中，再用锐角三角函数的定义求解． 【例4】　如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB.将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是(　　) A． B. C． D. 【解题过程】　∵△DEF是由△AEF翻折而成的， ∴△DEF≌△AEF， ∴∠A＝∠EDF. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠EDF＝∠A＝∠B＝45°， 由三角形外角的性质，得∠CDF＋45°＝∠BED＋45°. ∴∠BED＝∠CDF. 设CD＝2，CF＝x，则DB＝1，CA＝CB＝3. ∴DF＝FA＝3－x. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF2＋CD2＝DF2， 即x2＋4＝(3－x)2.解得x＝. ∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝＝. 故选A． 【方法归纳】　求一个锐角的三角函数值通常有两种方法：①直接把要求的角置于直角三角形中；②把要求的角进行转化，然后用锐角三角函数的定义求解． 【例5】　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于点D，与CB的延长线交于点E，则线段DE的长为(　　) A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【解题过程】　如图，作⊙O的直径DF，连结EF，则∠DEF＝90°， ∵∠C＝90°，BC＝9，AC＝12， ∴AB＝＝15， ∴sin∠ABC＝＝. ∵四边形BDFE是圆内接四边形， ∴∠F＋∠DBE＝180°. ∵∠ABC＋∠DBE＝180°， ∴∠F＝∠ABC， ∴sin F＝sin∠ABC＝， 在Rt△DEF中，sin F＝＝， ∴DE＝DF＝10×＝8. 故选D. 【方法归纳】　本题考查了解直角三角形、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【例6】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. 求：(1)线段CD的长． (2)cos∠ABE的值． 【解题过程】　(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，sin A＝＝，∴AB＝10. ∵D是AB的中点， ∴CD＝AB＝5. (2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6. ∵D是AB的中点，∴BD＝5.∴S△BDC＝S△ABC＝12，∴×5BE＝12，∴BE＝. 在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，即cos∠ABE＝. 【方法归纳】　本题考查锐角三角函数的定义和直角三角形斜边上中线的性质，灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例7】　在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b.且a，b，c满足a2－8b＝－23，b2－10c＝－34，c2－6a＝7，则2sinA＋sinB＝(　　) A．1 B． C．2 D． 【解题过程】　∵a2－8b＝－23，b2－10c＝－34，c2－6a＝7， ∴a2－8b＋b2－10c＋c2－6a＝－50， ∴a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0 ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴sinA＝＝，sinB＝＝， ∴2sinA＋sinB＝2×＋＝2. 故选C． 【方法归纳】　锐角三角函数表示直角三角形中两条线段的比值，利用这些比值关系可得到比例式或方程，这些关系式是数学计算或证明的基本数量关系．应用这些关系时，注意前提是直角三角形，并且要找准相应的边． 学科网（北京）股份有限公司 $$