专题8　相似三角形的应用 讲义2024-2025学年浙教版数学九年级上册专题培优

浙教版数学九年级上册专题培优 专题8　相似三角形的应用 【知识梳理】 1．相似三角形主要应用如下： (1)证明线段的比例关系； (2)线段长度的计算，图形面积的计算及测量等生活、生产中的实际问题． 2．应用相似三角形解决实际问题，关键在于抽象出相似图形，特别要清楚对应关系，除了对应边成比例外，对应高线、周长、面积的比值也是用来解决实际问题的常用方法． 3．应用相似三角形解决问题时，要重视观察，善于分析图形，抓住特征，综合运用三角形、四边形和圆等知识，发现等角和比例线段．分析综合法是解决问题的主要思想方法． 4．相似多边形的概念和性质 概念：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比． 性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 5．图形的位似：特殊的相似图形，两个图形不仅相似，而且对应点所在的直线经过同一个点(位似中心)．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 【例题探究】 【例1】　把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加(　　) A．3.5cm B．5cm C．7cm D．10cm 【思路点拨】　根据矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，可得＝，求出a后即可得出结论． 【例2】　如图，小明想用太阳光测量房子AB的高，发现对面墙FG上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根1.7m长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高EF＝1.3m，DF＝1m，BF＝6m(点B，D，F在同一条直线上)，则房子AB的高为(　　) A．2m B．2.4m C．3.7m D．4.1m 【思路点拨】　过点E作AB的垂线，垂足为点N，与CD交于点M，证明△ECM∽△EAN，根据相似三角形对应边成比例求出AN的长，即可得出房子AB的高． 【例3】　如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD与水面BE的交点E恰为CD的中点，那么此时水面高度是(　　) A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm 【思路点拨】　过点B作桌面的垂线，垂足为点F，可证△BEC∽△BAF，根据相似三角形对应边成比例即可得出BF的长． 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC，交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y. (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式． (3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？ 【思路点拨】　(1)根据已知条件DE∥BC可以得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得y关于x的函数关系式；(2)根据∠A＝90°得出S△BDE＝BD·AE，可以求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；(3)利用二次函数的性质求解． 【例5】　如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，设EG＝x mm，EF＝y mm. (1)求y与x的函数关系式． (2)用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？请说明理由，并求出S的最大值． 【思路点拨】　(1)证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可得出y与x的函数关系式；(2)建立S关于x的二次函数关系式即可解答本题． 【例6】　如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面的高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE. 【思路点拨】　设E关于直线OD的对称点为M，由光的反射性质可知，延长GC、FA，两者相交于点M，连结GF并延长，交OE于点H，根据GF∥AC，得到△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可． 【例7】　如图，在△ABC内任取一点P，过点P作三条直线分别平行于三角形的三边，这样所得的三个小三角形的面积S1，S2，S3分别为4、9和49，求△ABC的面积S. 【思路点拨】　图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形的性质建立起面积关系，关键是选择恰当的相似比，通过平行四边形进行等线段的代换，以达到形式上的统一，从而求出原三角形的面积． 【答案解析】 【例1】　把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加(　　) A．3.5cm B．5cm C．7cm D．10cm 【解题过程】∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， ∴＝，即＝， ∴a＝， 经检验，a＝是分式方程的解， ∴扩张后矩形的周长为2×(4＋6)＝20(cm)． ∵原矩形的周长为2×(2＋3)＝10(cm), 20－10＝10， ∴这根铁丝需增加10cm. 故选D. 【方法归纳】　相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【例2】　如图，小明想用太阳光测量房子AB的高，发现对面墙FG上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根1.7m长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高EF＝1.3m，DF＝1m，BF＝6m(点B，D，F在同一条直线上)，则房子AB的高为(　　) A．2m B．2.4m C．3.7m D．4.1m 【解题过程】如图，过点E作AB的垂线，垂足为点N，与CD交于点M，则EN⊥CD， 由题意得，ME＝DF＝1m，NE＝BF＝6m，CD＝1.7m，NB＝MD＝EF＝1.3m， ∴CM＝1.7－1.3＝0.4m. ∵CD∥AB， ∴△ECM∽△EAN， ∴＝，即＝， ∴AN＝2.4m， ∴AB＝AN＋NB＝2.4＋1.3＝3.7m. 故选C． 【方法归纳】　本题主要考查了相似三角形的应用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【例3】　如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD与水面BE的交点E恰为CD的中点，那么此时水面高度是(　　) A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm 【解题过程】如图，过点B作桌面的垂线，垂足为点F， 由题意可得，∠C＝90°，BC＝6cm，CE＝DC＝8cm, ∴BE＝＝＝10(cm)． ∵AB∥CD，EB∥AF， ∴∠CEB＝∠EBA＝∠BAF. ∵∠C＝∠AFB＝90°， ∴△BEC∽△BAF， ∴＝， ∴＝， ∴BF＝9.6cm. 故选A． 【方法归纳】　构造三角形相似是几何图形中线段长度计算的常用方法． 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC，交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y. (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式． (3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？ 【解题过程】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝. ∵AD＝8－2x，AB＝8，AE＝y，AC＝6， ∴＝. ∴y＝－x＋6，自变量x的取值范围为0≤x≤4. 【解题过程】∵∠A＝90°， ∴S＝BD·AE＝·2x·y＝x(－x＋6)＝－x2＋6x. 【解题过程】∵S＝－(x－2)2＋6， ∴当x＝2时，S有最大值，且最大值为6. 【方法归纳】　此题是二次函数与相似三角形的综合题，通过三角形相似建立两个变量之间的函数关系式是解题的关键． 【例5】　如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，设EG＝x mm，EF＝y mm. (1)求y与x的函数关系式． (2)用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？请说明理由，并求出S的最大值． 【解题过程】　(1)∵四边形EGHF为矩形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． ∵AD⊥BC， ∴AK⊥EF. ∵KD＝EG＝x， ∴AK＝AD－DK＝80－x， ∴＝，即＝， ∴y＝－x＋120(0＜x＜80)． 【解题过程】(2)这个同学的说法错误．理由如下： ∵S＝xy＝－x2＋120x＝－(x－40)2＋2 400， ∴当x＝40时，S有最大值2 400， 此时y＝－×40＋120＝60， 即矩形EGHF的长为60 mm，宽为40 mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400 mm2， 此时矩形EGHF不是正方形，所以这个同学的说法错误． 【方法归纳】　本题考查了相似三角形的性质、二次函数的性质和矩形的性质．解题时注意相似三角形对应高的比等于相似比这个性质的应用． 【例6】　如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面的高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE. 【解题过程】　设E关于直线OD的对称点为M，由光的反射性质可知，延长GC、FA，两者相交于点M，连结GF并延长，交OE于点H，如图． ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH， ∴＝＝， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴OE＝32. 答：楼的高度OE为32m. 【方法归纳】　此题考查相似三角形的应用，应用镜面反射的性质，得出△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH是解题的关键． 【例7】　如图，在△ABC内任取一点P，过点P作三条直线分别平行于三角形的三边，这样所得的三个小三角形的面积S1，S2，S3分别为4、9和49，求△ABC的面积S. 【解题过程】∵FG∥BC，ED∥AC，∴∠EFP＝∠B，∠FEP＝∠A， ∴△EFP∽△ABC，∴＝. 同理，可得＝，＝. 又由FG∥BC，ED∥AC，HI∥AB，可得四边形FBIP，PGCD都是平行四边形， ∴FP＝BI，PG＝CD. ∴＋＋＝＝＝1， ∴＝＋＋＝2＋3＋7＝12，即S＝144. 【方法归纳】这里化相似三角形的面积比的算术平方根为相似比，是“归一法”的一种应用．此题中隐含着许多三角形的相似关系，除了题中的结论外，还不难得出结论：＋＋＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$