1 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　导数及其应用 课程标准 1.了解导数概念的实际背景．　 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ ，y＝ 的导数．　 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数．　 5.理解并了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形 如f(ax＋b)的复合函数)的导数． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．函数的平均变化率 (1)定义：函数f(x)在区间[a，b]上的平均变化率为_________． (2)过曲线上两点的直线斜率(即几何意义)：在函数f(x)的图象上取两点A(a， f(a))，B(b，f(b))，则直线AB的斜率为_________ ． 2．物体运动的瞬时速度 (1)物体在 的速度称为瞬时速度． (2)若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是 平均速度v(t，d)＝ 在d趋近于0时的极限，这个极限记为 __________________． 某一时刻 3．函数的瞬时变化率——导数 (1)若函数y＝f(x)的平均变化率 在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的 ． (2)设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值 趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的 或 ，记作 ，这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处 ． (3)若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的 或 ． 瞬时变化率 导数 微商 f′(x0) 可导或可微 导函数 一阶导数 4．导数的几何意义 (1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线 的斜 率k0，即 ＝ ． (2)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____________________． P0T f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 5．几个基本函数的导数 (1)常见幂函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝x f′(x)＝___ f(x)＝x2 f′(x)＝___ f(x)＝x3 f′(x)＝____ f(x)＝ f′(x)＝_____ f(x)＝ f′(x)＝______ 0 1 2x 3x2 (2)一些基本初等函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝_____ f(x)＝ex f′(x)＝___ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝______ 0 αxα-1 ex ax ln a 原函数 导数 f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝_______ f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝_______ f(x)＝tan x f′(x)＝ cos x －sin x 6.函数的和差积商求导法则 (1)和差的导数：(f(x)＋g(x))′＝ ，(f(x)－g(x))′＝ ． (2)积的导数：(f(x)g(x))′＝ ，(cf(x))′＝ ． f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 7．简单复合函数的求导 (1)定义：一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的 ． (2)复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于 ． 复合函数 y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 记牢常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2. ＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的是 A．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 B．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 C．f′(x0)＝ D．(cos 2x)′＝－2sin 2x √ √ √ √ 2．跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为 A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故选C. 3．(用结论)函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是 A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) √ 如图，过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直 线lAB，由图可知，lA的斜率>lAB的斜率>lB的斜率，即f′(2)> (3)>0，所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选B. 4．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝___. 5．函数f(x)＝ex＋ 在x＝1处的切线方程为_______________． 返回 y＝(e－1)x＋2 由题意得，f′(x)＝ex－ ，所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.　 考点探究　精准突破 返回 考点一 导数的运算 基础练 例1 (1)[多选题]下列求导正确的是 A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C． D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x √ √ √ √ (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于 A．1 B．－9 C．－6 D．4 因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.故选C. 规律方法 －2 对点练2.求下列函数的导数： (4)y＝1＋cos2x. 考点二 导数的几何意义 多维练 例2 √ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为______，_______________. 规律方法 求曲线过点P的切线方程的方法 1．当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 2．当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下四步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　　 角度2　求切点坐标 (1)已知曲线f(x)＝ x2＋x的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为____． 由题意得，f′(x)＝x＋1，因为曲线f(x)的一条切线的斜率是3，所以令f′(x)＝x＋1＝3，解得x＝2，所以切点的横坐标为2. 例3 2 (2)过点(0，－1)作曲线f( )＝ln x(x>0)的切线，则切点坐标为________． 求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．　　 规律方法 角度3　与切线有关的参数问题 (1)(2024·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝ A．－2 B．－1 C．0 D．1 因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝ ＋2x.又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B. 例4 √ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 提醒：(1)注意曲线上点的横坐标的取值范围．(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　　 规律方法 对点练3.(1)(2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为 A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0 因为f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，所以f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，即f(x)＝(2x－1)ex，f′(x)＝(2x＋1)ex，所以f(0)＝－1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.故选B. √ (2)(2024·山东烟台模拟)已知过点A(a,0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝________. 1或－3 考点三 两曲线的公切线 综合练 例5 (1)已知函数f(x)＝ ，g(x)＝3ln x，若直线l与曲线y＝f(x)及y＝g(x)均相切，且切点相同，则公切线l的方程为________． (2)(新设问)(2024·山东潍坊模拟)已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，请写出f(x)与g(x)图象的一条公切线的方程为________________． 设公切线与f(x)的图象相切于点(m，em－1)，与g(x)的图象相切于点(n，ln n＋1)， y＝ex－1(或y＝x) 所以(m－1)em＋1－m＝(m－1)(em－1)＝0，解得m＝1或m＝0，所以公切线的方程为y＝ex－1或y＝x. 规律方法 解决两曲线的公切线问题的两种方法 1．利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式 求解． 2．设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)．　　 对点练4.(1)(2024·福建泉州模拟)若一直线与曲线y＝ln x和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________． 2e (2)(2024·山东枣庄模拟)已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a>0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝______. 1 返回 课时测评 返回 √ A．f′(x) B．f′(2) C．f(x) D．f(2) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．(2024·安徽宣城模拟)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝ A．－e B．2 C．－2 D．e 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(新定义)[多选题]定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是 A．g(x)＝x·2x B．g(x)＝－ex－2x C．g(x)＝ln x D．g(x)＝sin x＋2cos x √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．(新定义)[多选题]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是 A．y＝cos x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.函数f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)－f′(1)＝________. 4 由题意，切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝ ＝－2，即f′(1)＝－2.又由切线方程为y＝－2x＋4，令x＝1，得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝2＋2＝4. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知函数f(x)＝2e－x(e为自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程为________________． 因为f′(x)＝－2e－x，f′(－2)＝－2e2，f(－2)＝2e2，所以所求切线方程为y－2e2＝－2e2(x＋2)，即2e2x＋y＋2e2＝0. 2e2x＋y＋2e2＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(2024·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是____________． 设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝ (x－m)．又切线过点(－e，－1)，则n＋1＝ (m＋e)．由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1)． (e，1) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解， 所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(14分)(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； 解：当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1，0)． 由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1， 所以切线斜率k＝f′(－1)＝2， 所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. 将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0. 由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求a的取值范围． 由切线与曲线y＝g(x)也相切，得 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示， 令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1， 则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4， 易知当x→－∞时，h(x)→＋∞， 当x→＋∞时，h(x)→＋∞， 所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)， 所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)， 故实数a的取值范围为[－1，＋∞)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(2024·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝x2－2，g(x)＝3ln x－ax，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数a＝_______. 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．若过点P(a，0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是 A．a≥0 B．a<－2 C．a>2或a<－2 D．a>0或a<－4 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则g′(2)＝________. 返回 －32 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 lim k0＝lim － (3)商的导数：′＝__________________(f(x)≠0)，′＝－. ′ ′ － 因为f′(x)＝－2sin 2x，所以f′(0)＝－. ′＝ 对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，′＝＝，故C错误；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．故选ABD. 对点练1.函数f(x)＝2cos，其导函数为f′(x)，则f′＝________. 因为f(x)＝2cos＝2cos，所以f′(x)＝－4sin，所以f′＝－4sin＝－2. (1)y＝； 解：因为y＝＝＝2－， 所以y′＝′＝′＝. (2)y＝＋； 解：因为y＝＋ ＝＝， 所以y′＝′＝′＝. (3)y＝ln； 解：因为y＝ln＝ln(1＋2x)，所以y′＝··(1＋2x)′＝. 解：因为y＝1＋cos2x＝1＋＝＋cos 2x，所以y′＝′＝－sin 2x·(2x)′＝－sin 2x. 角度1　求切线方程 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为 A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. y＝x y＝－x(不分先后) 由题意可知，函数的定义域为{x|x≠0}．易证函数y＝ln |x|为偶函数，当x>0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0)，因为y′＝，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知，另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x和y＝－x. 由题意得f(x)＝ln x2＝2ln x，则f′(x)＝，设切点坐标为(x0,2ln x0)，显然(0，－1)不在曲线f(x)上，则＝，解得x0＝，则切点坐标为(，1)． (，1) 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)e，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)e＝，化简得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 过A(a,0)作切线(图略)，设切点为P(x0，y0)，y′＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，kPA＝－x0ex0，所以＝－x0e，整理得x－(a＋1)x0＋1＝0，由题意知此方程有两个相等的实数根，所以Δ＝(a＋1)2－4＝0，解得a＝1或a＝－3. ＋ y＝x　 设切点坐标为(x0，y0)，由 得解得x0＝e，所以g(x0)＝3ln x0＝3，故切线方程为y－3＝(x－e)，即y＝x. 因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，所以公切线的斜率k＝em＝，所以公切线的方程为y－em＋1＝em(x－m)或y－ln n－1＝(x－n)，整理得y＝emx－(m－1)em－1或y＝x＋ln n， 所以 即 设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝ln x，得y′＝，由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e. 设l与C1相切于点P(x1，e＋x1)，与C2相切于点Q(x2，－x＋2x2＋a)，由C1：y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，则与C1相切于点P的切线方程为y－ex1－x1＝(e＋1)(x－x1)，即y＝x(1＋e)－x1e＋e，由C2：y＝－x2＋2x＋a，得y′＝－2x＋2，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋x－2x2－a＝(－2x2＋2)·(x－x2)，即y＝x(2－2x2)＋a＋x， 因为两切线重合，所以1＋e＝2－2x2，　① e－x1e＝a＋x　② 由①得x2＝，代入②得4(1－x1)e＝4a＋1－2e＋e， 化简得e－6e＋4x1e＝－1－4a，令f(x)＝e2x－6ex＋4xex，则f′(x)＝2e2x－6ex＋4ex＋4xex＝2e2x－2ex＋4xex＝ex(2ex＋4x－2)，令g(x)＝2ex＋4x－2，则g(x)在定义域内单调递增，且g(0)＝0，所以当x<0时，g(x)<0，f′(x)<0，当x>0时，g(x)>0，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→0，f(0)＝－5，x→＋∞时，f(x)→＋∞，又－1－4a<－1，结合函数图象(图略)可知，要使f(x)＝－1－4a有一解，则－1－4a＝－5，a＝1. 1．已知函数f(x)可导，则 ＝ 因为函数f(x)可导，所以f′(x)＝ ，所以 ＝f′(2)．故选B. 由题意得，f′(x)＝2f′(1)＋·′＝2f′(1)＋x·＝2f′(1)－，所以f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1.所以f(x)＝2x＋ln，则f(1)＝2＋ln 1＝2.故选B. 3．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝ A． B． C． D． 由题知，y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则＝2，解得a＝.故选B. 4．(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为 A. B. C. D. 由题知f′(x)＝2x＋2－，因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f′＝2，即3－2m＝2，解得m＝.故选C. 对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g′(x)＝，根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．故选ABC. 由题意，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，正确；对于B，因为f′(x)＝>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于C，因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1，正确．故选AD. 解：f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. 解：当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② 得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0. Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0， 解：由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x－1， 又f(x1)＝x－x1，所以切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)， 即y＝(3x－1)x－2x. 将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a， 整理，得4a＝9x－8x－6x＋1. 由h′(x)＝0，得x＝－，0，1， x － 0 (0,1) 1 (1，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表知，当x＝－时， h(x)取得极小值h＝， 12．动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝x2－ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 A． B． C．1 D． 由题意可知，直线y＝2x－1与曲线y＝x2－ln x不相交，设点A是直线y＝2x－1上任意一点，点B是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y＝2x－1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小，因为直线y＝2x－1的斜率等于2，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝3x－，令y′＝2，可得x＝1或x＝－(舍去)，故此时点B的坐标为，|AB|min＝＝.故选A. 设函数f(x)＝x2－2与g(x)＝3ln x－ax的公共点为(x0，y0)，则即则3ln x0＋x－1＝0.令h(x)＝3ln x＋x2－1，易得h(x)在(0，＋∞)上单调递增，由3ln x0＋x－1＝0，解得x0＝1，所以公共点为(1，－1)，所以－1＝3ln 1－a，解得a＝1. 设切点为(x0，x0e)，则y′|＝(x0＋1)e，所以切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e(x－x0)，由切线过点P(a,0)，代入得－x0e＝(x0＋1)e·(a－x0)，即方程x－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4.故选D. 由题意知，f(0)＝0，所以d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝f′(0)x，因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，所以g(x)在点(1,2)处的切线方程为y＝g′(1)x－g′(1)＋2，又因为两条切线重合，所以所以f′(0)＝g′(1)＝2，又因为g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，所以f′(1)＝0，所以解得所以f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，f′(x)＝－6x2＋4x＋2，所以g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32. $$