13 第十二节 函数模型及应用(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第十二节　函数模型及应用 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同类型函数增长的 含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax y轴 x轴 记牢常用结论 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法错误的是 A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大 B．不存在x0，使ax0<x <logax0 C．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度 D．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻 √ √ √ √ 2．(用结论) 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是 √ 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B. 80 8 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 用函数图象刻画变化过程 基础练 例1 √ (1)(2024·广东广州综合检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是 水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快．故选B. √ (2)[多选题]血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发 挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之 间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是 A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 √ √ 从图象中可以看出，首次服用该药 物1单位约10分钟后药物发挥治疗作 用，故A正确；根据图象可知，首次 服用该药物1单位约1小时时的血药 浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，故B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故D错误．故选ABC. 规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 1．构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． 2．验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案． √ 对点练1.(1)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图 象是 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．故选D. √ (2)[多选题](2024·福建厦门高三质检)某医药研究机 构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定 的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量 y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似 满足一段曲线，如图所示．据进一步测定，当每毫 升血液中含药量不少于0.125微克时，对治疗该病有效，则 A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 √ 考点二 根据给定函数模型解决实际问题 综合练 例2 A．4.7 km/s B．4.2 km/s C．3.6 km/s D．3.1 km/s √ √ A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元 规律方法 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 1．认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数． 2．根据已知条件，确定模型中的待定系数． 3．分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题． √ 对点练2.(1)(2024·湖南长沙检测)要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原来的14C会自动衰变．经过5 730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的 ，推算该古物约是m年前的遗物，则实数m的值为(参考数据：(lg 2)－1≈3.321 9) A．12 302 B．13 304 C．23 004 D．24 034 √ A．45% B．55% C．65% D．75% √ √ 考点三 构建函数模型解决实际问题 多维练 例3 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝ x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋ －38(万元)．每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) 解：因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：当0<x<8时，L(x)＝－ (x－6)2＋9. 即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 规律方法 建模解决实际问题的三个步骤 第一步：建模：抽象出实际问题的数学模型． 第二步：解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． 规律方法 第三步：回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即： 提醒：构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． √ 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 例4 (2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_____级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍． 6 10 000 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 规律方法 应用指、对函数模型应注意的问题 1．指、对函数模型的应用类型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指、对函数模型来解决． 2．应用指、对函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． 3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 对点练3.(1)(2024·山东济南模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85) 4.7 设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1－30%)x<20，所以0.7x<0.2. 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车． (2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元． 37.5 返回 课时测评 返回 √ 1．有一组实验数据如下表所示： 则最能体现这组数据关系的函数模型是 A．y＝2x＋1－1 B．y＝x3 C．y＝2log2x D．y＝x2－1 x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2024·四川成都一模)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6) A．0.12 B．0.11 C．0.07 D．0.01 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．720万元 B．800万元 C．875万元 D．900万元 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．50 dB B．55 dB C．60 dB D．70 dB 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．(2024·浙江绍兴模拟)绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据： ≈1.732) A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 7．[多选题](2024·山东临沂模拟)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是 A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D．某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；对于B，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋2.15＋1＝11.15元，故B错误；对于C，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×2＋1＝25.45(元)，故C正确；对于D，某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和为2×(8＋2.15×2＋1)＝26.6(元)，一次行驶10 km的费用为25.45元，26.6>25.45，故D正确．故选CD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 8．[多选题](2024·河北唐山联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出 “单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则 A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．一等奖的面值为3 130元 D．三等奖的面值为130元 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 9．[多选题](2024·江苏常州检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lg (其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是 A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍 B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍 C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10 倍 D．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1 000倍 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(2024·四川绵阳检测)一种药在病人血液中的量保持1 000 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2 000 mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________ h内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1) 6.6 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过______年才能再次成为人类居住的安全区．参考数据：ln 0.084 6≈－2.47，ln 0.975 3≈－0.03.(结果保留整数) 83 设辐射物中原有的锶90有a(0<a<8)吨．经过t(t∈N*)年后辐射物中锶90的剩余量为P(t)吨，则P(t)＝a(1－2.47%)t，t∈N*，化简得P(t)＝0.975 3ta，t∈N*，由题意得，0.975 3ta<0.084 6a，不等式两边同时取对数，得ln 0.975 3t<ln 0.084 6，化简得tln 0.975 3<ln 0.084 6，由参考数据得 －0.03t<－2.47.所以t> ≈82.3，所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(20分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； 解：由题意得当0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解：设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由 当0<x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(2024·辽宁大连一模)如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm)．若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(一对轧辊减薄率r＝ × 100%，lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) A．14 B．15 C．16 D．17 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 15．[多选题]目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2020年到2023年产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2020 2021 2022 2023 包装垃圾产生量y(万吨) 4 6 9 13.5 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2025年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2026年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 年份x 2020 2021 2022 2023 包装垃圾产生量y(万吨) 4 6 9 13.5 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 A．y＝ax＋b B．y＝a·x＋b(a>0) C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0) 4．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y(单位：℃)与经过时间t(单位：min)的函数关系是：y＝kat＋y0，其中a为衰减比例，y0是室温，t＝0时，y为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a＝，茶水初始温度为100 ℃，则k＝______，产生最佳口感所需时间是_____min. 由题意，y＝kat＋20，当t＝0时，y＝k＋20＝100，解得k＝80，则y＝80at＋20.当y＝60时，即80at＋20＝60，则at＝，即t＝，所以t＝8. C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3，且 k＝4，所以y＝故A正确；当4t＝ 0.125，即t＝时，药物刚好起效，当t－3＝0.125，即t＝6时，药物刚好失效，故药物有效时长为6－＝5小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．故选AD. (1)(2024·湖南怀化模拟)科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大v满足公式：v＝v0ln，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg，若添加推进剂3a kg，火箭的最大速度为2.8 km/s，若添加推进剂5a kg，则火箭的最大速度约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) 由题目条件知2.8＝v0ln＝v0ln 4，则v0＝＝≈2.所以v＝v0ln＝v0ln 6≈2(ln 2＋ln 3)≈3.6.故选C. (2)(2024·福建福州高三质检)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.098 6，ln 2≈0.693 1) 由题意P(8)＝＝50%＝，所以e－0.968 0＋8k＝1，即－0.968 0＋8k＝0，得k＝0.121，所以P(x)＝.令P(x)＝＝40%＝，得5e－0.968 0＋0.121x＝2(1＋e－0.968 0＋0.121x)，得e－0.968 0＋0.121x＝，即－0.968 0＋0.121x＝ln，解得x＝≈4.65.故选A. 设14C每年的衰变率为P，古物中原14C的含量为a，由半衰期得aP5 730＝a，所以P5 730＝，即P＝.由题意，知Pm＝，即＝.于是＝log＝log25＝＝－1≈2.321 9，所以m≈5 730×2.321 9≈ 13 304.故选B. (2)[多选题](2023·山东德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可 能为 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·≤1，因为R0＝4，故1－≤，可得≥，即接种率大于等于75%.故选ABC. 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ 依题意得，当0<x<8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%).所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝0.95·m.故选A. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg，则＝109,5＝lg A2－lg A0＝lg，则＝105，所以＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 又y＝0.7x为减函数，所以x>log0.70.2＝＝＝＝≈≈4.7， 由题意，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足x＝3－，即t＝－1(1<x<3)，所以月利润为y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－－＝45.5－≤45.5－2＝37.5，当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号，则最大月利润为37.5万元． 由题意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5，所以K＝≈＝0.12.故选A. 4．(2024·广东深圳期末)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为 该企业每年利润f(x)＝当0<x≤ 40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f(x)取得最大值875；当x>40时，f(x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时，等号成立)，即当x＝100时，f(x)取得最大值720.由于875>720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．故选C. 5．(2024·安徽合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI＝10lg，其中I为声强，单位：W/m2，若某种物体发出的声强为5－10 W/m2，其声强级约为(lg 2≈0.30) 由已知得LI＝10lg＝10×(12－10lg 5)＝10×＝10×(2＋10lg 2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB)．故选A. 如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作 BE⊥CD于E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水 横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则 100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，解得AB＋BC ＋AD＝3米．设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，CD＝3－x，且0<x<，则梯形ABCD的面积S＝＝(－x2＋2x)，当x＝1时，Smax＝，此时BE＝≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米．故选B. 由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－ln 5，故A正确．由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝ e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误．三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正确．由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确．故选ACD. 因为M′＝M＋1＝1＋lg＝lg，所以A′max＝10Amax，故A正确；因为E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E，故B错误；因为lg＝M＋1＝M′，E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E＝10E，故C正确，D错误．故选AC. 10．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝_____. 因为λ＝λ(1－3－8λ)，所以3－8λ＝＝3－2，解得λ＝. 设x h后血液中的药物量为y mg，则有y＝2 000(1－10%)x，令y≥1 000，得x≤≈≈6.6，故从现在起经过6.6 h内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效． 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (1)可得f(x)＝ 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 厚度为α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1－4%)n，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5，则10(1－4%)n≤5⇒(1－4%)n≤，因为(1－4%)n>0，>0，所以lg(1－4%)n≤lg⇒nlg(1－4%)≤－lg 2，因为lg(1－4%)<0，所以n≥⇒n≥＝＝＝≈16.815 6.故选D. 有下列函数模型：①y＝a·bx－2 020；②y＝sin＋b.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 则以下说法正确的是 A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×x－2 020，近似反映该城市近几年包装垃圾产生量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾产生量y(万吨)与年份x的函数关系 若选y＝4×x－2 020，计算可得对应数据近似值为4,6,9,13.5，若选y＝sin＋4，计算可得对应数据近似值不会大于5，显然A正确，B错误；按照选择函数模型y＝4×x－2 020，令y>40，即4×x－2 020>40，所以x－2 020>10，所以x－2 020>log10，所以x－2 020>＝≈5.678 6，所以x>2 025.678 6，即从2026年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．故选AD. $$