12 拓展视野二 破解嵌套函数的零点问题(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

拓展视野二　破解嵌套函数的零点问题 第二章　函数与基本初等函数 我们把形如y＝f(f(x))或y＝f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题．嵌套函数问题有两类基本形式： 一、“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设f(x)＝t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y＝f(x)与y＝t的图象关系解得问题． 二、“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x)、g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设g(x)＝t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y＝f(t)的自变量，或利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的性质，或做出并利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的图象来解决问题． 知识链接 例1 √ 一、嵌套函数零点个数的判断 典题体验 A．4 B．5 C．6 D．7 因为当x∈(0,2]时，f(x)＝(x－1)2，当x>2时，f(x)＝f(x－2)＋1，所以将f(x)在区间(0,2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2,4]上的图象．同理可得到f(x)在(4,6]，(6,8]，…上的图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示，令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C. 规律方法 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 第一步：换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点； 第二步：依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数． 二、求嵌套函数零点中的参数 [－1，＋∞) 例2 设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)． 易知当a<－1时g(x)只有一个零点；当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． 规律方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． √ A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0，e2] C．(－∞，1] D．(－∞，－1)∪(0,1] √ 根据图象可得，当k＝0或6≤k≤8时，f(x)＝k有两个解； 当0<k<1时，f(x)＝k有4个解； 当1≤k<6时，f(x)＝k有3个解； 当k>8时，f(x)＝k有1个解． 因为g(x)＝x2－ax＋4＝0最多有两个解． 因此要使y＝g(f(x))有6个零点，则g(x)＝ x2－ax＋4＝0有两个解，设为k1，k2. 则存在下列几种情况： ①f(x)＝k1有2个解，f(x)＝k2有4个解， 即k1＝0或6≤k1≤8,0<k2<1，显然g(0)≠0， ②f(x)＝k1有3个解，f(x)＝k2有3个解，设k1<k2，即1≤k1<6,1<k2<6， 谢谢观看 本节到此结束 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)的零点个数为 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____________． 对点练1.已知f(x)＝则满足2f(f(m))＋1＝2f(m)＋1的实数m的取值范围是 令t＝f(m)，则2f(t)＋1＝2t＋1，所以f(t)＝2t－，当t>0时，f(t)＝ln t－2＝2t－无解；当t≤0时，f(t)＝2t－恒成立，所以f(m)＝t≤0.当m>0时，ln m－2≤0，解得0<m≤e2；当m≤0时，2m－≤0，解得m≤－1.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－1]∪(0，e2]．故选B. 对点练2.已知函数f(x)＝g(x)＝x2－ax＋4，若y＝g(f(x))有6个零点，则a的取值范围为 A．(4，＋∞) B． C．[4,5] D．∪ 作出函数f(x)＝的图象如图所示： 则此时应满足，解得≤a≤； 则应满足，解得4<a≤5； 综上所述，≤a≤或4<a≤5， 即a的取值范围为∪(4,5］.故选D. $$