11 第十一节 函数与方程(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第十一节　函数与方程 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理， 探索用二分法求方程近似解的思路． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．函数零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 f(x)＝0 (3)函数零点存在定理 连续不断 f(a)·f(b)<0 f(x0)＝0 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 一分为二 零点 记牢常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 练透教材典题 1．[多选题]若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有 A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 √ √ √ √ 2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 √ √ 4．函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 A．2 B．3 C．4 D．5 x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 －2，e 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 函数零点所在区间的判定 基础练 例1 √ (1)[多选题]函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点 A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) √ √ (2)已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m 等于 A．－2 B．－1 C．0 D．1 因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.故选A. 规律方法 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1．定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． 2．图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． √ 对点练1.(1)已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0,3－x3－log2x3＝0，则 A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 √ (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 考点二 函数零点个数的判定 综合练 例2 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 2 024 规律方法 函数零点个数的判断方法 1．直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． 2．定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． 3．图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． √ A．0 B．1 C．2 D．3 由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数即函数f(x)的图象与函数y＝2|x|的图象的交点个数．作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2.故选C. 6 考点三 函数零点的应用 多维练 例3 角度1　根据函数零点求参数范围 (1)函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 √ √ A．(0,1] B．[0,1] C．(0,1) D．(1，＋∞) 依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，作函数f(x)的图象，如图 所示． 结合图象，可知实数b的取值范围为(0,1]．故选A. 规律方法 利用函数零点求参数范围的方法 √ 角度2　探究函数多个零点(方程根)问题 例4 规律方法 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)． √ √ √ √ 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示． 返回 课时测评 返回 √ 1．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为 A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．(2024·吉林长春模拟)函数f(x)＝e2x＋5x－2的零点所在区间为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A．1 B．2 C．3 D．4 当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1(x＝3舍去)，当x>0时，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，作出y＝log2x与y＝3x－4的图象，如图所示， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，y＝log2x与y＝3x－4有两个交点，所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点．综上，f(x)有3个零点．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 当x≥1时，f(x)的零点为1，则当x<1时，必有一个零点，y＝2x－a为一次函数，单调递增，故需2－a>0，即a<2.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．已知函数f(x)＝x－ (x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则 A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 7．[多选题]函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是 A．1 B．2 C．4 D．6 由题意知，f(x)＝ 在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示． 由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数 可能为0,1,2,3,4.故选ABC. 3sin x，x∈[0，π]， －sin x，x∈(π，2π]， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3＋x4＝4 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 9．(新定义)[多选题](2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是 A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x ＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ±2 由题意知f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，－x>0，则g(x)＝f(x)＝－f(－x)＝4－2－x， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·山东德州模拟)方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则实数k的取值范围是________． [5,10) 令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10，又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5,10)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解，即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．8 B．7 C．6 D．5 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，当－1<x≤a时， f(x)＝log2(x＋1)单调递增．由题意，若存在实数 t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t，使 得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即函数f(x) 的图象与直线y＝－t有两个交点， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a,2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意．因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(新定义)已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32－x－1 与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 取f(x)＝x2－1，区间取为[－2,2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2,2]内存在两个零点－1,1，A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为，满足f f ＝×＝－<0，但是f(x)在内存在三个零点π，2π，3π，B错误；根据零点存在定理可知，D错误．故选ABD. 3．函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是 A． B． C． D．(1,2) 5．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________． 由题意得，或解得x＝－2或x＝e. f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．故选AD. 设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x1<0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，即gg(1)<0，由函数零点存在定理可知，<x2<1.设函数h(x)＝x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.故选A. (1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个 数为 当x≤0时，令g(x)＝x－＝0，解得x＝1，舍去；当x>0时，令g(x)＝|log2x|－＝0，解得x＝或x＝，满足x>0，所以x＝或x＝.综上，函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2. (2)(2024·河南郑州模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，对任意的x1，x2∈[－2,0]，x1≠x2，>0恒成立，则f(x)在区间[－2 024，2 024]上的零点个数为________． 令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝0，因为对任意的x1，x2∈ [－2,0]，x1≠x2，>0恒成立，所以f(x)在[－2,0]上单调递增．因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，f(x)在(0,2]上单调递减，f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[－2 024,2 024]上的零点个数为1 012×2＝2 024. 对点练2.(1)已知函数f(x)＝则方程f(x)－2|x|＝0的解的个 数为 (2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________． 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，所以x的取值为－，－，，.故f(x)共有6个零点． 因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，得f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.故选A. (2)(2024·山东济南三模)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为 已知函数f(x)＝若a，b，c，d互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a＋b＋c＋d的取值范围是 A． B． C．(－1,2) D．(－2,3) 如图为函数f(x)的大致图象，因为a，b，c，d 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，所以不妨设 a<b<c<d，由图可知－2<a<－1<b<0<c<1<d<3， 由f(a)＝f(b)，得＝－1，所以a＋b＝－2，又f(c)＝f(d)，所以logc＝－logd，所以cd＝1，即c＝，所以a＋b＋c＋d＝d＋－2，令g(d)＝d＋－2(1<d<3)，由对勾函数的单调性可知g(d)＝d＋－2在(1,3)上单调递增，所以g(d)∈.故选A. 对点练3.(1)已知函数f(x)＝函数g(x)＝mx，若函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 根据题意，画出函数f(x)＝的图象如图所示， 因为函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，所以f(x)＝2g(x)有三个不等实根，即f(x)的图象与y＝2g(x)＝2mx的图象有三个不同的交点，由图象可知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA<2m<kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－<2m<1，解得－<m<.故选A. (2)[多选题](2024·安徽马鞍山模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是 A．0<a<1 B．x1＋2x2∈ C．x1＋x2＋x3＋x4∈ D．2x1＋x2∈ 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0<a<1，故A正确；因为|log2x1|＝|log2x2|，即－log2x1＝log2x2，则＝x2，所以x1＋2x2＝＋2x2,1<x2<2，因为y＝＋2x2在(1,2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误； 因为x1＋x2＝＋x2,1<x2<2，y＝＋x2在(1,2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝＋x2,1<x2<2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确．故选ACD. 因为f(0)f(0.5)<0，由零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f ，即f(0.25)．故选D. A．(－1,0) B． C． D． 因为f(0)＝－1<0，f ＝－>0，且f(x)＝e2x＋5x－2为连续的增函数， 所以f(x)的零点所在区间为.故选B. 3．函数f(x)＝的零点个数为 4．已知函数f(x)＝恰有2个零点，则实数a的取值范围是 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为 A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． 因为函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，因为函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则即解得－≤m<0.因此，实数m的取值范围是.故选D. 函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点，即为y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的交点的横坐标，作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示．可知x2<x3<x1.故选C. 8．[多选题](2024·山西朔州模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4的取值范围是 令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，则g(x)的零点个数即为 函数y＝f(x)的图象与y＝a的交点个数．作出函数y＝f(x) 的图象如图所示，由图可知，若g(x)有3个不同的零点， 则a的取值范围是[1,2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个 不同的零点，则a的取值范围是(0,1)，故B正确；g(x)有 4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－x＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0,1)，则0<－4x＋16x4－13<1，所以<－x＋4x4<，故D正确．故选BCD. 选项A，若f(x0)＝x0，则2x0＝0，该方程无解，故 该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0， 则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函 数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则 x0＋1＝x0，可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使得|log2x0|－1＝x0成立，故该函数是“不动点”函数．故选BCD. 10．已知函数f(x)＝是奇函数，则函数f(x)的零点为___． 所以f(x)＝令f(x)＝0，所以当x>0时，x＝2；当x<0时，x＝－2，所以函数f(x)的零点为±2. 12．(2024·江西五校高三联考)已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝_____. 由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为1－2＝2－1，所以2＋2＝2，故＝. 13．(2024·湖北黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为 A．(2－6,0) B．(2－6,0) C．(－2,0) D．(2－6,0) 作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0,4－x)， 因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线 方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过 定点(3,0)，若切线过定点(3,0)，代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，所以此时切线的斜率为k＝2－6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(2－6,0)．故选D. 14．(2024·福建泉州模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3,5]上所有解的和为 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图 象关于直线x＝1对称．又函数f(x)为偶函数，所以 f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的 周期函数，令g(x)＝，它的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[－3,5]上的图象，如图所示． 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3,5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝在区间[－3,5]上所有解的和为4×2＝8.故选A. 15．(2024·重庆月考)已知函数f(x)＝且a∈N*，记g(x)＝f(x)＋t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为_____． 由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a∈. $$