10 第十节 函数的图象(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第十节　函数的图象 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．描点法作图的流程 2．函数图象的四种变换 f(x)＋k f(x)－k f(x＋k) f(x－k) f(ax) Af(x) －f(x) |f(x)| f(|x|) 微提醒　函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移 个单位长度，其中是把x变成x－ . 记牢常用结论 1．函数图象自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ 对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)． (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的是 A．函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到 B．当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同 C．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称 D．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 √ √ √ √ √ 3．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. e－x＋1 5．(用结论)已知y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题： ①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称； ②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称； ③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称． 其中正确的命题为____________．(填序号) ①②③④ 由结论1知①正确；由结论2知②正确；对于③，因为f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，③正确；对于④，因为f(x)为奇函数，可得f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，④正确. 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 作函数的图象 基础练 例1 作出下列各函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|； 解：将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． (3)y＝x2－2|x|－1. 规律方法 函数图象的画法 1．直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象． 2．转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 规律方法 3．图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 提醒：画函数的图象一定要注意定义域． 对点练1.作出下列各函数的图象： (1)y＝x－|x－1|； (3)y＝|log2x－1|. 解：先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示． 考点二 函数图象的识别 综合练 例2 √ √ (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 规律方法 1．由函数解析式确定函数图象的两个关键点 (1)利用函数的解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数图象的对称性，排除不合适的选项． (2)利用特值法，根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想，对不适合的选项进行排除． 2．由函数图象判断其解析式的关键 会观图，从图象的左右位置，判断函数的定义域；从图象的上下位置，判断函数的值域；从图象的变化趋势，判断函数的单调性；从图象的对称性，判断函数的奇偶性．从而把不合适的解析式排除． 规律方法 √ 对点练2.(1)(2023·浙江十校联考(三))函数y＝(x－2)2ln |x|的图象是 图象过点(1,0)，(2,0)，排除A，D；当x≥1时，y≥0，排除C.故选B. √ (2)(2024·安徽蚌埠质检)如图是下列某个函数在区间[－2,2]的大致图象，则该函数是 考点三 函数图象的应用 多维练 例3 角度1　研究函数的性质 √ A．F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D．F(x)有4个单调区间 √ √ 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选ABD. 规律方法 根据函数的图象研究函数性质的方法 1．观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域． 2．观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性． 3．根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性． √ 角度2　解不等式 已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是 A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 例4 不等式f(x)>0等价于不等式2x>x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0,1)和(1,2)，观察函数图象可知，当x<0或x>1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1图象的上方，此时2x>x＋1，故不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D. 规律方法 利用函数图象研究不等式问题的方法 当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解． √ 角度3　求参数的范围 A．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B．[0,1] C．[－1,0] D．(－1,0) 例5 规律方法 利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围． √ A．f(x)的图象关于点(－1,1)对称 B．f(x)是单调函数 C．f(x)的值域为(－1,1) D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点 √ √ √ (2)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， (3)设函数f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得 f(x)<0，则a的取值范围是________． f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|<ax＋a，分别画出y＝|x2－2x|与y＝a(x＋1)的图象，如图所示． 因为只存在两个整数x，使得f(x)<0， 所以当x＝1时，|12－2|＝1，令2a＝1， 返回 课时测评 返回 √ 1．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln [1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1,2)，故C正确．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．(2024·广东深圳模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图①所示，则图②对应的函数有可能是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．[多选题](2024·湖北武汉高三四调)函数y＝(kx2＋1)ex的图象可能是 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．(－2,0) B．(－1,1) C．(0,2) D．(－1,2) √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 要使值域为[0,1]，且a，b∈Z，则可取a＝－2，b≥0；a＝－1，b≥2；a＝0，b≥2.故选ACD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(2024·湖北宜昌模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________． (3,1) 由题意得，函数y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到函数f(4－x)．因为点(1,1)关于y轴的对称点为(－1,1)，再向右平移4个单位长度为点(3,1)，所以函数f(4－x)的图象一定经过点(3,1)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是________． 作出函数f(x)＝|x2－1|在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法： ①f(f(1))＝3； ②f(2)>f(0)； ③f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4]； 其中正确的有________．(填序号) ①③ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)画出函数f(x)的图象； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围． 解：由题可得 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点； 解：根据题意，列表如下， x －2 －1 0 1 2 f(x) 0 －1 0 1 0 f(x)的大致图象如图所示，其中有－2,0,2三个零点． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值 范围； 解：由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，故a的取值范围为1<a≤3. (3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数． 解：φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标， 又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)， 结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合 的是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．[多选题](2024·福建宁德月考)已知函数f(x)＝|ln|x＋a||，则其图象可 能是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数f(x)＝|ln|x＋a||的定义域为(－∞，－a)∪(－a，＋∞)，故C错误；当a＝0时，f(x)＝|ln|x||，将y＝ln x的图象关于y轴对称，y轴右侧的图象不变，再把x轴下方的图象关于x轴对称，可得f(x)＝|ln|x||的图象，故D正确；当a＝－3时，将y＝|ln|x||的图象向右平移3个单位长度得到f(x)＝ |ln|x－3||的图象，故B正确；当a＝3时，将y＝|ln|x||的图象向左平移3个单位长度得到f(x)＝|ln|x＋3||的图象，故A正确．故选ABD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2．下列图象是函数y＝的图象的是 (2)y＝； 解：原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． 解：因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 解：根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示． (2)y＝|x|； 解：作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分 所示． (1)(2024·湖北武汉模拟)函数f(x)＝的部分图象可能为 f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因为f(－x)＝＝＝ －f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；当x∈(0，π)时，sin x>0，则f(x)>0，故B不正确；当x∈(π，2π)时，sin x<0，故f(x)<0，故C不正确．故选A. A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数， 且f(－2)＝f(2)<0，由＝－且定义 域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时 >0，>0，即A，C中(0，＋∞)上 函数值为正，排除．故选D. A．f(x)＝cos B．f(x)＝ C．f(x)＝sin x D．f(x)＝cos x 对于B，由f(x)＝，知f(2)＝>2， 但由图象知f(2)<2，故可排除B；对于C，因 为f(x)＝sin x＝sin x在x∈ (0,1)上f(x)>0，而由函数图象知函数一个零点 在(0,1)上，故可排除C；对于D，由f(x)＝cos x知f(1)<0，而由函数图象可知f(1)>0，故可排除D.故选A. [多选题](2024·四川成都模拟)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则 (2024·四川广元模拟)已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]时恒成立，则实数a的取值范围是 作出函数y＝|f(x)|在[－1,1]上的图象与直线y＝ax， 如图所示，因为|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]时恒成立， 所以在x∈[－1,1]时，y＝|f(x)|的图象恒在直线y＝ax 的上方(可以部分点重合)，又|f(－1)|＝|1－2|＝1，令 3x－2＝0，解得x＝，所以A(－1,1)，B，根据图象可知，当y＝ax经过点A(－1,1)时，a有最小值，amin＝－1；当y＝ax经过点B时，a有最大值，amax＝0.综上可知，a的取值范围是[－1，0]．故选C. 对点练3.(1)[多选题](2024·江苏南通模拟)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，给出了下面几个结论，其中正确的是 作出y＝f(x)的图象，如图所示，对于A，f(x)的图象关于(0,0)对称，不关于点(－1,1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x＝0，解得x＝0，所以函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．故选BCD. A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 则或解得x<－2或<x<2或－<x<0，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．故选C. 解得a＝，此时有2个整数使f(x)<0， 即x＝0或x＝2，结合图象可得a的取值范围为. 2．(2024·广东广州一模)函数f(x)＝x－在[－π，π]上的图象大致为 函数f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－x－＝－x－≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项C，D；当x＝π时，f(x)＝f(π)＝π，排除选项A.故选B. 3．已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，那么函数g(x)的图象是 令x>0，则－x<0，所以当x>0时，f(－x)＝－，－f(－x)＝；令x<0，则－x>0，所以当x<0时，f(－x)＝x2，－f(－x)＝－x2；当x＝0时，g(0)＝0，所以g(x)＝D符合．故选D. A．y＝x2f(x) B．y＝ C．y＝xf(x) D．y＝xf 2(x) 对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故A不符合题意；对于B，当x<0时，f(x)<0，所以<0，故B不符合题意；对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→－∞时，f(x)→－∞，xf(x)→＋∞；当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞时，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合题意；对于D，当x<0时，f(x)<0，则f 2(x)>0，所以xf 2(x)<0，故D不符合题意．故 选C. f(x)＝(kx2＋1)ex，当k＝0时，f(x)＝ex，A选项正确；f′(x)＝(kx2＋2kx＋1)ex，令Δ＝4k2－4k≤0⇒0≤k≤1，此时f′(x)＝(kx2＋2kx＋1)ex≥0，f(x)＝(kx2＋1)ex在R上单调递增；k>1时，f′(x)＝(kx2＋2kx＋1)ex＝0有两个根x1，x2，且x1x2＝，x1＋x2＝－2，此时x1<0，x2<0，根据极值点判断，故C选项正确，D选项错误；当k<0时，f′(x)＝(kx2＋2kx＋1)ex＝0有两个根x1<x2，且x1x2＝，x1＋x2＝－2，此时x1<0，x2>0，故B选项正确．故选ABC. 6．[多选题](2023·广东广州二模)已知函数f(x)＝1－的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)可以是 显然f(x)＝1－(x∈R)是偶函数，其图象如图所示， (1，) ＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)． ④∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为. 对于①，由题图可得f(1)＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝3， 故①正确；对于②，f(0)＝f(4)＝3，且f(x)在[1,4]上 为单调递增函数，所以f(2)<f(4)＝f(0)，故②错误； 对于③，当1≤x≤4时，f(x)＝2(x－1)－x＋1＝x－1， f(1)＝0，f(4)＝3，满足题图；当0≤x<1时，f(x)＝2(1－x)－x＋1＝3－3x，f(0)＝3，斜率k＝－3，满足题图，故③正确；对于④，由题意得f(x)≤a的解集为，即方程f(x)＝a的根为，2，根据③可得f ＝2，当1≤x≤4时，令x－1＝2，解得x＝3，所以解集为，故④错误． 10．(13分)已知函数f(x)＝ 解：由题得f(x)＝其图象如图所示． 或解得x≤－或0<x≤， 所以实数x的取值范围为(－∞，－∪. 11．(14分)已知f(x)＝是定义在R上的奇函数． 12．(2024·山东日照模拟)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为下图的函数可能是 A．y＝f(x)＋g(x)－ B．y＝f(x)－g(x)－ C．y＝f(x)g(x) D．y＝ 由题图可知函数为奇函数且在上先增后减．A选项，y＝x2＋sin x，B选项，y＝x2－sin x均不是奇函数，故排除；C选项，y＝sin x，显然f(x)，g(x)均在上单调递增，且f(x)>0，g(x)>0，故y＝sin x在上单调递增，故排除．故选D. A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对于B选项，要使函数f(x)＝有意义， 则解得x≠0且x≠1且x≠2，故B 不满足；对于C选项，要使函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故C不满足；对于D选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝>0，故D不满足，故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合．故选A. 15．(新定义)(2024·山东菏泽高三阶段检测)若平面直角坐标系内的A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点(A，B)与点(B，A)是函数f(x)的”一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，作出函数y＝x2＋2x(x<0)关于原点对称的图象(图中的虚线部分)，观察它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可．观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故 选B. $$