9 第九节 指、对、幂的大小比较(培优课2)(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第九节　指、对、幂的大小比较(培优课2) 第二章　函数与基本初等函数 CONTECT 内 容 索 引 01 技法一　直接法比较大小 02 技法二　利用指数、对数及幂的 运算性质化简比较大小 04 课 时 测 评 03 技法三　构造函数法比较大小 技法一　直接法比较大小 返回 例1 √ 角度1　利用函数的单调性法比较大小 若a＝1.53，b＝1.52，c＝0.82，则 A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a 函数y＝1.5x在R上单调递增，函数y＝0.8x在R上单调递减，所以1.53>1.52>1.50＝1＝0.80>0.82，所以a>b>c.故选A. √ 角度2　利用中间值法比较大小 例2 A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 故c<0<b<1<a.即a>b>c.故选D. √ 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a>b>1,0<c< ，则下列结论正确的是 A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 例3 规律方法 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的数，从而便于比较． √ 对点练1.(1)已知a＝1.60.3，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则 A．c<a<b B．a<b<c C．b>c>a D．a>b>c y＝1.6x是增函数，故a＝1.60.3<b＝1.60.8，而1.60.3>1>c＝0.70.8，故c<a<b.故选A. √ (2)已知a＝20.6，b＝0.60.2，c＝log0.60.2，则 A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 因为b＝0.60.2<20.2<20.6＝a<21＝2,2＝log0.60.62＝log0.60.36<log0.60.2＝c，所以c>a>b.故选D. 返回 技法二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 返回 √ (1)(2024·山东临沂模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是 A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 例4 √ (2)(2024·河南郑州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则 A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 规律方法 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况． √ 对点练2.已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考值 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a c＝930＝360，a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a> lg c，即b>a>c.故选B. 返回 技法三　构造函数法比较大小 返回 √ (1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c 例5 √ A．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．b<c<a 规律方法 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． √ √ A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 返回 课时测评 返回 √ 1．设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为 A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．b<a<c 因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a<b<1，又c＝1.10.8>1，所以a<b<c.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 3．已知a＝log52，b＝log83，c＝ ，则下列判断正确的是 A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．c>a>b B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 5．(2024·山东济宁联考)若a＝log382，b＝log215，c＝0.2－1.1，则 A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a 因为5＝log335>a＝log382>log381＝4＝log216>b＝log215，c＝0.2－1.1＝51.1>5，所以b<a<c.故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 6．设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则 A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 7．(2024·山东潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则 A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 9．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则 A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 11．[多选题](2024·山东聊城模拟)已知0<a<b<1，c>1，则 A．ac>bc B．logac>logbc C．alogac>blogbc D．ac>ba √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 12．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，则a，b，c从小到大的关系是__________． a<c<b 由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k<1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图， 由图可知：a<c<b. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 13．已知a＝log32，b＝log64，c＝log96，则 A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．a>c>b √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 14．下列不等式关系正确的是 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 15．已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a √ 构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，如图所示，当x∈(2,4)时，x2>2x，所以f(2.1)>g(2.1)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 所以2.12>22.1>22＝4，即b>a，又因为ln 2.14＝4ln 2.1，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln 2.1<ln e＝1，即ln 2.14＝4ln 2.1<4ln e＝4，故b>a>c.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 16．已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则 A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c √ 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 谢谢观看 本节到此结束 设a＝2 023，b＝log2 023，c＝log2 024，则 a＝2 023>2 0230＝1,0＝log2 0231<b＝log2 023<log2 0232 023＝1，c＝log2 024<log2 0241＝0， 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝4，bc＝2，所以ac>bc，故A错误；abc＝4×2＝2，bac＝2×4＝2，所以abc>bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．故选C. 因为a＝log34＝，b＝log45＝，c＝log56＝，所以a－b＝－＝，因为lg 3lg 5<＝<＝＝(lg 4)2，所以(lg 4)2－lg 3lg 5>0，lg 3lg 4>0，所以a－b>0，即a>b，同理可证b>c，故a>b>c.故选A. 由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，c＝lg 5＝lg＝1－lg 2＝1－，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，则>>，所以a<b<c.故选D. 设f(x)＝，x≥e，则f′(x)＝≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，又a＝f(e)，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)，因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c.故选D. (2)(2024·湖南郴州质量检测)设a＝log2a,2b＝logb，c＝5，则a，b，c的大小关系是 构造函数f(x)＝log2x－x，因为函数y＝log2x，y＝－x在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(1)＝－<0，f(2)＝>0，因为f(a)＝0，由零点存在定理可知1<a<2； 构造函数g(x)＝2x－logx，因为函数y＝2x，y＝－logx在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，且g＝2－2<0，g＝2－1>0，因为g(b)＝0，由零点存在定理可知<b<.因为c＝5，则c＝log5<log1＝0，因此c<b<a.故选B. 对点练3.(1)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，，的大小关系是 A．<< B．<< C．<< D．＝＝ 由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.所以＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1，令f(x)＝xk－1，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2)<f(3)<f(5)，即<<.故选B. (2)(2024·江西南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则 因为(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2)2＝28>33，所以e1.3<2，所以a<0；b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)，令f(x)＝2－2－ln x，所以f′(x)＝－＝，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0，所以f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0，所以c<b，又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，所以a<c<b.故选B. 2．设a＝，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是 a＝＝>1，且<2＝b，又c＝log2<log22＝1，故c<a<b.故 选B. a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C. 4．(2024·贵州贵阳模拟)已知>>1，a＝nn，b＝nm，c＝mn，则a，b，c的大小关系正确的为 由题意>>1，故0<m<n<1，由指数函数的单调性，y＝nx单调递减，故b>a，由幂函数的单调性，y＝xn在(0，＋∞)上单调递增，故a>c，综上，b>a>c.故选B. a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以a>b，a>c，b－c＝log32－log3020＝－＝<0，所以c>b，所以b<c<a.故选B. 8．(2024·河北唐山模拟)已知log4m＝，log12n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为 由log4m＝，得m＝4＝2<2，由log12n＝，得n＝12，＝＝＝＝＝＝>1，因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.故选A. 令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝·＝>1，则2x>3y，＝·＝<1，则2x<5z.故选A. 10．已知a＝π，b＝()π，c＝4，则 先比较a和c的大小：a＝(π)＝π2，c＝4＝2＝(2)2，因为2<2＝2<π，所以2<π2，所以a>c.然后比较b和c的大小：因为b2＝()2π＝2π<24＝42＝c2，所以b<c，综上，b<c<a.故选D. A选项，因为c>1，所以y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以ac<bc，故A错误；B选项，由c>1可知函数y＝logcx单调递增，又0<a<b<1，故logca<logcb<0，所以>，即logac>logbc，故B正确；C选项，由题可知0>logac>logbc,0<－logac<－logbc,0<a<b<1，故－alogac<－blogbc，即alogac>blogbc，故C正确；D选项，函数y＝ax单调递减，y＝xa单调递增，0<a<b<1<c，故ac<aa<ba，故D错误．故选BC. 当a>b>0，m>0时，有a－b>0，则－＝＝>0，所以<.所以<＝<＝，所以log32<log64<log96，即c>b>a.故选B. A．<< B．<< C．<< D．<< 因为＝ln 2，＝ln 3，＝ln 5，又52<25,23<32，所以5<2，2<3，即5<2<3，故ln 5<ln 2<ln 3，即<<.故选C. 由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，则f ′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，所以f ′(x)在[－1,1]上单调递减，又f ′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，所以f ′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.故选D. $$