7 第七节 指数与指数函数(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第七节　指数与指数函数 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂 的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的 概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并 理解指数函数的单调性与特殊点． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．根式 x 根式 a a 2．有理数指数幂 0 ar＋s ars arbr 3．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 ． (2)指数函数的图象与性质 R   a>1 0<a<1 图象 定义域 _______________ 值域 __________ (－∞，＋∞) (0，＋∞) 微提醒　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1和0<a<1两种情况．   a>1 0<a<1 性质 函数图象过定点________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，_____；当x<0时，______ 当x<0时，_____；当x>0时，_____ 在(－∞，＋∞)上是_____ 在(－∞，＋∞)上是_____ (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 递增 递减 记牢常用结论 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的是 √ √ √ √ √ 3．[多选题] 设a>0，m，n是正整数，且n>1，则下列各式正确的是 √ √ √ 5．(用结论)函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 由结论1，在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1,0). (1,0) 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 指数幂的化简与求值 基础练 例1 √ ＝1＋1－10＋27＝19. 规律方法 指数幂的运算顺序与运算原则 √ 考点二 指数函数的图象及应用 综合练 例2 (1)(2024·山东济南高三模拟)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 因为0<a<1，所以y＝ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近．又b<－1，所以y＝ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y＝ax＋b的图象，故y＝ax＋b的图象不过第一象限．故选A. (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为_________． (－∞，0] 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． 变式探究 1．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________． (0,1) 曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个交点，则m的取值范围是(0,1)． 2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_____________． (－∞，－1] 作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示． 由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]． 规律方法 指数函数的图象及其应用策略 1．已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． 2．进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． 3．根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． √ 对点练3.(1)[多选题]已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，则下列关系式可能成立的是 A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b √ √ 如图①，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故选ABD. (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． [－1,1] 作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b，如图②所示，由图像可得，要想曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]. 考点三 指数函数的性质及应用 多维练 例3 角度1　比较指数式的大小 (1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c √ 因为f(x)＝1.01x单调递增，所以f(0.5)<f(0.6)，即a<b.因为g(x)＝x0.5单调递增，所以g(1.01)>g(0.6)，即a>c，所以b>a>c.故选D. √ (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是 A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 规律方法 比较指数式大小的方法 1．能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． 2．不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． √ 角度2　解简单的指数方程或不等式 例4 规律方法 指数方程或不等式的解法 1．解指数方程或不等式的依据： (1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)． (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)． 2．解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解． √ 角度3　指数型函数性质的综合应用 例5 √ √ 规律方法 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间． √ 对点练4.(1)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则 A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.故选D. √ (2)(2024·山东日照期末)已知函数f(x)＝4x－2x＋1＋4，x∈[－1,1]，则函数y＝f(x)的值域为 A．[3，＋∞) B．[3,4] f(x)＝(2x)2－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t，则t＝2x在[－1,1]上单调递增，即 ≤t≤2，于是y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，当t＝1时，ymin＝3，此时x＝0，f(x)min＝3；当t＝2时，ymax＝4，此时x＝1，f(x)max＝4，所以函数y＝f(x)的值域为[3,4]．故选B. (－∞，2) 返回 课时测评 返回 √ A．－7 B．－1 C．1 D．7 m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是 A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 因为y＝0.4x为减函数，所以0.40.6<0.40.2<0.40＝1，又20.2>1，所以a>b>c.故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．(2024·广东广州模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y＝xa－1在(0，＋∞)内单调递减，则在不等式a3x＋1>a－2x中，x的取值范围是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．(2024·浙江绍兴模拟)下图中的函数图象所对应的解析式可能是 由题图可知，函数图象关于直线x＝1对称，且当x＝1时，y＝－1，故排除B，D；当x>1时，函数图象单调递增，且无限接近于x轴，又当x>1时，y＝－2|x－1|单调递减，故排除C.故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．[多选题]函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a， b为常数，则下列结论正确的是 A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 √ 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义 域上单调递减，所以0<a<1，故B正确； 分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向 左平移所得，如图， 所以－b>0，所以b<0，故D正确．故选BD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．[多选题]已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的结论是 A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝_____. 若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝ . 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．计算化简： 0.09 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)(2024·山东济宁联考)已知函数f(x)＝ax＋b的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； 解：由图可知f(0)＝1＋b＝－1，f(1)＝a＋b＝0， 解得a＝2，b＝－2，所以f(x)＝2x－2. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)·f(－x)的最大值． 解：依题意可得g(x)＝f(x＋1)＝2x＋1－2， 所以g(x)·f(－x)＝(2x＋1－2)(2－x－2)＝2－2×2x＋1－2×2－x＋4＝6－2(2x＋1＋2－x)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(14分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1＋a，其中x∈[0,3]． (1)若f(x)的最小值为1，求a的值； 解：因为x∈[0，3]，f(x)＝(2x)2－4·2x＋a＝(2x－2)2＋a－4， 当2x＝2，即当x＝1时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min＝f(1)＝a－4＝1，解得a＝5. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若存在x∈[0,3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围． 解：令t＝2x∈[1,8]，则f(x)＝t2－4t＋a， 由f(x)≥33可得，a≥－t2＋4t＋33， 令g(t)＝－t2＋4t＋33，函数g(t)在[1,2)上单调递增，在(2,8]上单调递减， 因为g(1)＝36，g(8)＝1， 所以g(t)min＝g(8)＝1，所以a≥1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．[多选题]已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则 A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 √ √ 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．[多选题]关于函数f(x)＝ 的性质，下列说法中正确的是 A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，＋∞) C．方程f(x)＝x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(新定义)(2023·河北邯郸模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是 A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1,0) D．(－∞，1] √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．0 B．2n C．n D．－n 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 1．指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 2．函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 3．在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． A.＝()n＝a B．(－1)＝(－1)＝ C．若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n D．若函数f(x)是指数函数，且f(1)>1，则f(x)是增函数 2．化简的结果为 A．5 B． C．－ D．－5 原式＝()＝＝5＝5＝.故选B. A．aa＝a B．4＝a C．a＝ D．a＝ 4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝ A．1 B．2 C． D．3 依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.故选C. (1)化简a·＝ A． B．－ C．－ D． 因为有意义，所以a<0，所以a＝－，所以a·＝－×＝－＝－.故选B. (2)计算： ①(－1.8)0＋－2·－＋； (－1.8)0＋－2·－＋ ＝1＋2·－10＋9 ＝1＋2·2－10＋33 ②·(a>0，b>0)． · ＝4×0.12×＝2××8＝. 对点练1.已知x<0，y>0，化简：＝ A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y 由题意得＝9(x8)(y4)＝x2|y|＝x2y. 解：原式＝(10－3)－1＋(24)＋6＝10－1＋8＋23·32＝89. 对点练2.计算： (1)÷； 解：因为有意义，所以a>0， 所以原式＝÷＝÷＝a÷a＝1. (2)0.001－0＋16＋(·)6. (1)若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是 A． B． C． D．[2，＋∞) x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以2x＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为.故选B. (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为. (1)函数f(x)＝的单调递增区间为 A． B． C． D． 由－x2＋x＋1≥0得≤x≤，所以f(x)的定义域为.因为y＝－x2＋x＋1在上单调递增，在上单调递减，所以t＝在上单调递增，在上单调递减，又y＝t在R上单调递减，所以f(x)＝的单调递增区间为.故选C. (2)[多选题]已知函数f(x)＝，则 A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的值域为(－1,1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0恒成立 f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝＝＝ －f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A选项正确；B选项错误；f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，则t∈(1，＋∞)，y＝1－，易知1－∈(－1,1)，所以f(x)的值域为(－1,1)，故C选项正确； 函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0不成立，故D选项错误．故选AC. C． D． (3)若函数f(x)＝是奇函数(a为常数)，则不等式f(x)<的解集为___________． 因为f(x)＝是R上的奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝＋＝＝1－a＝0，所以a＝1.由f(x)＝<，得2x＋1<8，解得x<2，所以不等式的解集为(－∞，2)． 1．若m＝，n＝，则m＋n的值为 A． B． C．R D．∪ 因为函数y＝xa－1在(0，＋∞)内单调递减，所以a－1<0，即a<1，因为a>0，且a≠1，所以0<a<1，所以y＝ax是减函数，又a3x＋1>a－2x，所以3x＋1<－2x，所以x<－，即x∈.故选A. A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－2|x－1| D．y＝－|2x－1| f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A选项正确；f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B选项正确；f(x)＝－2x在R上单调递减，故C选项错误；因为f(x)是R上的减函数，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以f(x)的值域是(－∞，＋∞)，因此对任意的实数a，f(x)＝a都有解，故D选项正确．故选ABD. 2或 8．已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为___． 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，因为f(x)有最大值3，所以g(x)有最小值－1，则解得a＝1. (1)(0.027)＋－＝________； (0.027)＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. (2)÷＝________. ab ÷＝×＝a·b＝ab. 因为2x＋1＋2－x≥2＝2， 当且仅当2x＋1＝2－x，即x＝－时，等号成立， 所以g(x)·f(－x)＝6－2(2x＋1＋2－x)≤6－4， 所以g(x)·f(－x)的最大值为6－4. 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．故选CD. 函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点中心对称，所以D正确．故选ACD. 因为f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得－ae－x0－1＝aex0＋1，所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解，所以方程＝a在R上有解，又ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤a<0，所以a的取值范围是[－1,0)．故选C. 15．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋ f(－x)＝2，若函数y＝f(x)与y＝2－的图象的交点为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则(xi＋yi)的值为 因为对任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝2，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称．又y＝2－＝1＋，故设g(x)＝，则g(x)的定义域为R，且 g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)为奇函数，故其图象关于原点对称，而y＝2－＝1＋g(x)，故y＝2－的图象关于(0,1)对称． 故函数y＝f(x)与y＝2－的图象的交点关于(0,1)对称，不妨设x1<x2<…<xn，则i＝0，且y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝yk＋yn－k＋1＝2，其中1≤k≤n，故2i＝(y1＋yn)＋(y2＋yn－1)＋…＋(yn＋y1)＝2n，所以i＝n，故(xi＋yi)＝n.故选C. $$