6 第六节 幂函数与二次函数(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第六节　幂函数与二次函数 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x 的图象，了解它们 的变化情况． 3．理解二次函数的图象和性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 y＝xα 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 性 质 定义域 R R R ________ ________ 值域 R ________ R ________ ________ 奇偶性 ___函数 ___函数 ___函数 _________ 函数 ___函数 单调性 在R上 单调 递增 __________ 上单调递减； ___________ 上单调递增 R上单 调递增 [0，＋∞) 上单调递增 _________和________ 上 单调递减 公共点 _________ {x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (－∞，0] (0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) (1，1) 2．二次函数解析式的三种形式 ax2＋bx＋c(a≠0) (m,n) 零点 3．二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 ____ 值域 _______________ _______________ 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) R 减 增 增 减 记牢常用结论 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的重要结论 (1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．函数y＝2x 是幂函数 B．当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数 C．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数 D．若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 √ √ √ √ 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 4．若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为_______________________． (－∞，30]∪[120，＋∞) 5．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3，即c<b<a. c<b<a 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 幂函数的图象与性质 基础练 例1 √ (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B. (2)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2， )，则m＝_____； 满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为________． 1 规律方法 幂函数的图象与性质特征的关系 1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. √ 对点练1.(1)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于 A．27 B．9 由题意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.故选A. (2)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝____. 2 由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，所以m＝2. 考点二 二次函数的解析式 综合练 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 解得a＝－4， 法三：(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 规律方法 求二次函数解析式的方法 对点练2.已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于 2，则二次函数的解析式为______________________________． 考点三 二次函数的图象与性质 多维练 例3 角度1　二次函数的图象 (1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是 A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ √ 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－ ＝－1,2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B. √ (2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则 A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 因为f(x)的对称轴为x＝－ ，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C. 规律方法 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围； 例4 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0. (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． f(x)在区间[1,2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 规律方法 二次函数最值问题的类型及求解策略 1．类型： (1)对称轴、区间都是给定的． (2)对称轴变动、区间固定． (3)对称轴固定、区间变动． 2．求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解． 对点练3.(1)若abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 √ 在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．故选D. (2)已知函数f(x)＝x2－tx－1在区间(－1,2)上不单调，则实数t的取值范围为________． (－2,4) (3)已知函数f(x)＝－ x2＋x.若f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]，则m＋n＝________. －2 当m<n≤1时，f(x)在[m，n]上单调递增， 返回 课时测评 返回 √ 1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B，D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内从左到右下降，可得α<0，排除A选项．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．(2024·海南海口模拟)已知f(x)＝x2－2 024x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)＝ A．2 024 B．－2 024 C．0 D．1 002 由f(x)＝x2－2 024x＝(x－1 012)2－1 0122可得f(x)的对称轴为直线x＝ 1 012， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－ <0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，排除B.故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3] √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．[多选题]已知函数y＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的值可以为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 函数y＝x2－4x＋1的图象是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，因为函数的定义域为[1，t]， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，因为在[1，t]内函数的最大值与最小值之和为－5，所以当y＝－2时，x＝1或x＝3，所以2≤t≤3.故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范 围是________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(新设问)(2024·江苏南通模拟)已知①f(0)＝0；②f(4－x)＝f(x)；③在区间(2,3)上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数f(x)＝____________ ___________. －x2＋4x(答 案不唯一) 由题意可知，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且在(2,3)上单调递减，且f(0)＝0，可取f(x)＝－x2＋4x满足条件． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； 解：由题意，设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，可得c＝1，即f(x)＝ax2＋bx＋1， 又因为f(x＋1)－f(x)＝2x， 可得a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x， 解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，求m的取值范围． 解：由(1)知函数f(x)＝x2－x＋1， 因为f(x)>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1>m在[－1,1]上恒成立， 令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]， 根据二次函数的性质，可得函数g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1， 所以m<－1， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(14分)已知二次函数g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4，最小值0. (1)求函数g(x)的解析式； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设f(x)＝g(x)＋(2－a)x，且f(x)在[－1,2]上的最小值为－3，求a的值． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0 C．1<a<b D．a＝b √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(新考法)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x＋2)是偶函数，则下列大小关系可能正确的是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 15．[多选题](2024·黑龙江牡丹江模拟)已知两个变量x，y的关系式f(x，y)＝x(1－y)，则以下说法正确的是 A．f(1,3)＝f(3,1)＝0 B．对任意实数a，都有f(a，a)≤ 成立 C．若对任意实数x，不等式f(x－a，x)≤－a＋4恒成立，则实数a的取值范围是[－5,3] D．若对任意正实数a，不等式f(x－a，x)≤－a＋4恒成立，则实数x的取值范围是(－∞，0) √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 对称轴 x＝_______ 顶点坐标 ________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____； 在上单调递____ － (3)当<－≤n时，最小值为f ，最大值为f(m)． (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)． (2)当m<－≤时，最小值为f ，最大值为f(n)． 2．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是 A．64 B．4 C． D． 设f(x)＝xα，则＝2α，即α＝－1.所以f(x)＝，所以f(4)＝.故选D. A． B． C． D． 由题意知解得a>. 由题意知，≤5或≥20，解得k≤30或k≥120. 因为f(x)的图象过点(2，)，所以＝2(m2＋m)－1，所以m2＋m＝2，又m∈N*，所以m＝1.即f(x)＝x，其定义域为{x|x≥0}，且在定义域内单调递增，所以由f(2－a)>f(a－1)得0≤a－1<2－a，解得1≤a<. C． D． 由题意得解得 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝.又函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1， 又函数有最大值8，即＝8， y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. 解：当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0， 解得0<a≤. 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0， 解：①当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时g(a)＝f ＝2a－－1. ③当>2，即0<a<时， 综上所述，g(a)＝ f(x)＝x2－tx－1＝2－1－. 依题意得－1<<2，解得－2<t<4，所以实数t的取值范围为(－2,4)． f(x)＝－(x－1)2＋，对称轴为直线x＝1，当1≤m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减， 所以无解； 所以 解得m＝－2或m＝0，n＝－2或n＝0，又m<n≤1，所以m＝－2，n＝0；当m<1<n时，f(x)在[m,1]上单调递增，在(1，n]上单调递减，此时f(1)＝－＋1＝＝2n，解得n＝，与n>1矛盾．综上所述，m＝－2，n＝0，此时m＋n＝－2. A． B． C．－ D．－ 由f(m)＝f(n)，m≠n，得＝1 012，即m＋n＝2 024，所以f(m＋n)＝ f(2 024)＝2 0242－2 024×2 024＝0.故选C. 3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则 由题意得b＝3<4＝2＝a，a＝2＝4<4<5＝25＝c，所以b<a<c.故 选A. 5．[多选题]已知幂函数f(x)＝xm，则 A．f(－32)＝ 因为函数f(x)是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x，f(－32)＝[(－2)5]＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C正确；易知函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，即－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正确．故选ACD. 当a＝0时，函数f(x)＝2x－1在R上单调递增，符合题意；当a≠0时，函数f(x)是二次函数，又f(x)在(－∞，6)上单调递增，由二次函数性质知，a<0，则有解得－≤a<0，所以实数a的取值范围是. 9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为____． 因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，所以f(x)min＝＝＝1，即ac－1＝a，可得a＝>0，则c>1，所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，当且仅当c＝2时，等号成立，因此＋的最小值为3. 即2ax＋b＋a＝2x，可得 解：由题意知二次函数g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以⇒所以g(x)＝x2－2x＋1. 解：f(x)＝g(x)＋(2－a)x＝x2－ax＋1，其图象开口向上，对称轴为x＝.当≤－1，即a≤－2时，f(－1)＝2＋a＝－3⇒a＝－5；当－1<<2，即－2<a<4时，f ＝－＋1＝－＋1＝－3⇒a＝±4(舍去)；当≥2，即a≥4时，f(2)＝5－2a＝－3⇒a＝4.综上所述，a的值为－5或4. 12．已知实数a，b满足等式a＝b，则下列关系式不可能成立的是 画出y＝x与y＝x的图象(如图)．设a＝b＝m，作直线y＝m.由图象知，若m＝0或m＝1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.故选B. A．f(2)<f ＝c B．f <f(2)<c C．f(2)>f >c D．f <f(2)＝c 因为f(x＋2)是偶函数，所以直线x＝2是y＝f(x)图象的对称轴．F ＝a·＋b·＋c＝c，所以B，C，D均不可能成立，当a>0时，f(2)是最小值，因此f(2)<f ＝c成立．故选A. 14．已知函数f(x)＝(m2－m－5)x是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值 由题得m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－6>0，所以m＝3，所以f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，易知f(x)为奇函数且在R上单调递增，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0.故选A. 对于选项A，f(1,3)＝1×(1－3)＝－2，f(3，1)＝3×(1－1)＝0，即f(1,3)≠ f(3,1)，则A错误；对于选项B，f(a，a)＝a(1－a)＝a－a2＝－2＋≤，则B正确；对于选项C，f(x－a，x)＝(x－a)(1－x)＝－x2＋(a＋1)x－a≤－a＋4恒成立，即x2－(a＋1)x＋4≥0恒成立，则Δ＝(a＋1)2－16≤0，解得－5≤a≤3，则C正确； 对于选项D，x2－(a＋1)x＋4≥0恒成立，令y＝－ax＋x2－x＋4(a>0)，当x>0时，该函数看成关于a的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0.当x＝0时，y＝4≥0成立．当x<0时，该函数看成关于a的一次函数，函数单调递增，令μ＝x2－x＋4，则μ＝2＋>0，又a∈R＋，所以－ax>0恒成立，即y≥0恒成立．则实数x的取值范围是(－∞，0]，则D错误．故选BC. $$