5 第五节 函数性质的综合应用(培优课1)(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第五节　函数性质的综合应用(培优课1) 第二章　函数与基本初等函数 CONTECT 内 容 索 引 01 题型一　函数的奇偶性与单调性 02 题型二　函数的奇偶性与周期性 05 课 时 测 评 03 题型三　函数的奇偶性与对称性 04 题型四　函数的周期性与对称性 题型一　函数的奇偶性与单调性 返回 例1 √ (1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图①所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图②所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D. √ (2)[多选题]定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是 A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a) D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a) √ 函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数， 偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) ⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a>0上成立)，故A正确；对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，故B错误；对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这与f(a)<f(b)符合，故C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)<f(b)矛盾，故D错误．故选AC. 规律方法 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解． √ 对点练1.(2024·安徽安庆模拟)函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)>0的解集为 因为函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，则该函数在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝f(－2)＝0，由f(2－3x)>0可得f(|3x－2|)>f(2)， 返回 题型二　函数的奇偶性与周期性 返回 √ 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝ 2x－1，则f(log220)＝ 例2 规律方法 综合应用函数奇偶性与周期性解题的思路 1．根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期． 2．利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． 3．代入已知的解析式求解即得要求的函数值． √ 对点练2.函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 023)＋f(2 024)的值为 A．－1 B．0 C．1 D．2 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2 023)＝f(2 023)，又因为当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，所以f(－2 023)＋f(2 024)＝f(2 023)＋f(2 024)＝f(1)＋f(0)， 当x∈[0,2)时，函数f(x)＝log2(x＋1)，得f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.故选C. 返回 题型三　函数的奇偶性与对称性 返回 √ [多选题](2024·河北石家庄模拟)对于定义在R上的函数f(x)，若f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，且在[1,2]上单调递减，则 A．f(3)＝0 B．f(0)＝f(4) 例3 D．f(x)在[3,4]上单调递减 √ 令g(x)＝f(x＋1)，由f(x＋1)是奇函数，则g(－x)＝f(－x＋1)＝－g(x)＝ －f(x＋1)，即f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)图象关于(1,0)对称．令h(x)＝f(x＋2)，由f(x＋2)是偶函数，则h(－x)＝f(－x＋2)＝h(x)＝f(x＋2)，即f(－x＋2)＝f(x＋2)，f(x)图象关于直线x＝2对称． 规律方法 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． √ 对点练3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为 A．－2 B．－1 C．0 D．1 因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.故选D. 返回 题型四　函数的周期性与对称性 返回 √ [多选题]已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是 A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)关于x＝3对称 D．f(100)＝9 例4 √ √ f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确．故选ACD. 规律方法 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． √ 对点练4.[多选题]已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)， f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是 A．f(x)的周期为4 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 2．(2023·四川达州一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝ A．1 B．－2 C．－1 D．2 法一：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.故选D. 法二：由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数．则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．f(a)>f(c)>f(b) B．f(a)>f(b)>f(c) C．f(b)>f(a)>f(c) D．f(c)>f(a)>f(b) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)既是奇函数又是增函数，f(3)＝2，则f(2x－1)<－2的解集为 A．{x|x<－2} B．{x|x<－3} C．{x|x<－1} D．{x|x<0} 令g(x)＝f(2x＋1)，因为g(x)既是奇函数又是增函数，f(3)＝2，所以g(1)＝f(3)＝2，所以g(－1)＝－2，所以不等式f(2x－1)<－2等价于g(x－1)< g(－1)，所以x－1<－1，即x<0.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．116 B．115 C．114 D．113 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ A．6 B．8 C．10 D．14 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 因为f(x)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以直线x＝1是函数f(x)图象的一条对称轴．又由f(x＋2)＝－f(x)，得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．作出函数f(x)的图象，如图所示． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ √ 7．[多选题](2024·湖南九校联盟第二次联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于(1,0)对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于x＝3对称 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 依题意，R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；因为函数y＝f(2－x)是偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，函数f(x)的图象关于x＝2对称，且f(2－x)＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，函数f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；由f(2－x)＝f(2＋x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故C正确；由f(x＋2)＋f(x)＝0得f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，由f(2－x)＝f(2＋x)得f(3－x)＝f(1＋x)，因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函数f(x)的图象关于(3,0)对称，故D错误．故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ √ 8．[多选题](2024·山东泰安模拟)已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)关于x＝1对称，则 A．f(－1)<f(3) B．f(2x＋1)<f(1) C．f(x＋1)为偶函数 D．任意x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 对于A，因为函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，故A错误；对于B，因为2x>0，所以2x＋1>1，又因为函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(2x＋1)>f(1)，故B错误；对于C，因为f(x)的图象向左平移一个单位即f(x＋1)的图象，函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x＋1)的图象关于y轴对称，是偶函数，故C正确；对于D，函数f(x)在[1，＋∞)单调递增，且关于x＝1对称，函数在(－∞，1]上单调递减，当x<0时，3x<2x<1，所以f(2x)<f(3x)，当x>0时，1<2x<3x，所以f(2x)<f(3x)，综上，∀x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x)，故D正确．故选CD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ √ 9．[多选题]已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A．f(x＋2)＝f(x) B．函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称 C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．f(2－x)＝f(x－1) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，故A错误；对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，故B正确；对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，故C正确；对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)，题干中没有条件能说明f(x)与f(x－1)的关系，故D错误．故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 ∪(1，＋∞) (－∞，－5) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 13．[多选题]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 14．(2023·江西南昌模拟)已知f(x)为定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0] 上单调递减，则满足不等式f(2a)<f(4a－1)的a的取值范围是_______． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 15．[多选题](2024·河北秦皇岛模拟)函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)g(x＋2)＝4，f(x)g(－x)＝4.若f(x)的图象关于点(0,2)对称，则 A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 C．g(x)的一个周期为4 D．g(x)的图象关于点(0,2)对称 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 谢谢观看 本节到此结束 A．(－∞，0)∪ B． C． D．(－∞，0)∪ 所以|3x－2|>2，可得3x－2<－2或3x－2>2，解得x<0或x>.因此，不等式f(2－3x)>0的解集为(－∞，0)∪．故选D. A． B． C．－ D．－ 依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2<log25<3，则－1<2－log25<0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)＝－＝.故 选B. C．f ＝f 对于A选项，令x＝0，可得f(1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，又令x＝1，可得f(1)＝f(3)＝0，故A正确；对于B选项，令x＝2，可得f(0)＝f(4)，故B正确；对于C选项，令x＝，可得f ＝－f ⇒f ＋f ＝0，又因为f(x)在[1,2]上单调递减，由图象关于(1,0)对称，则f(x)在[0,1)上单调递减，即f(x)在[0,2]上单调递减，故f >f .故C错误；对于D选项，由f(x)在[0,2]上单调递减，结合f(x)图象关于直线x＝2对称，则f(x)在(2,4]上单调递增．故D错误．故选AB. 对于A，因为f(x＋1)＝f(x－3)，所以f(x＋3＋1)＝f(x＋3－3)，则f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，故A正确；对于B，由f(1＋x)＝f(3－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；对于C，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x在上单调递减，在上单调递增，根据对称性可知，函数f(x)在，上单调递减，在，上单调递增，则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)＝4－2＝2，故C正确； 对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f ＝f ＝ f ＝f ＝－＝－，故D错误．故选ABC. A．∪(6，＋∞) B．(－∞，－1)∪ C． D． 因为函数f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为函数f(x)定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，所以函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈.故选D. 3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝ －log310，b＝log8，c＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a)＝f(－log310)＝f(log310)，且2<log310<3，f(b)＝f(－3)＝f(3)，f(c)＝f ，且1<2<2，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(b)>f(a)>f(c)．故 选C. 5．(2024·广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数．若f(0)＝2，则(k)＝ 由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，所以(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.故选C. 6．(2023·福建泉州第一次质量监测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则(xi＋yi)＝ 因为－f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，所以点(2,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，由图象可知直线y＝x－也关于点(2,0)对称，且当x≥8时，y＝x－≥1，当x≤－4时，y＝x－≤－1，直线y＝x－与y＝f(x)的图象有7个公共点，则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，因此(xi＋yi)＝14.故选D. 10．已知函数f(x)，对于∀x∈R，都有f(－4－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－2，＋∞)，<0(x1≠x2)，若f(m)<f(1)，则m的取值范围是_________ __________． ∀x∈R，都有f(－4－x)＝f(x)成立，则函数图象关于直线x＝－2对称，任取x1，x2∈[－2，＋∞)，<0(x1≠x2)，则f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，所以由f(m)<f(1)，得|m－(－2)|> |1－(－2)|，解得m>1或m<－5. 11．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，且y＝f(x)共有3个零点，则所有零点之和为_____． 因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，且f(x)共有3个零点，则x＝必为其中一个零点，并且另外两个零点关于x＝对称，所以所有零点之和为. 12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f ＝________. － 由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又由当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f ＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－. A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．y＝f(x)在[0,6]内至少有5个零点 D．若y＝f(x)在[0,1]上单调递增，则它在[2 024,2 025]上也单调递增 因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点对称，故A错误，B正确；由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0，因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f ＝f ，即f ＝－f ，所以f ＝0，从而f ＝f ＝0，故函数y＝f(x)在[0,6]内至少有5个零点，故C正确；因为f(2 024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，f(2 025)＝f(3×675)＝f(0)，且函数f(x)在[0,1]上单调递增，则函数f(x)在[－1,0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 024，2 025]上也单调递增，D正确．故选BCD. 因为f(x)为定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，|2a|<|4a－1|，所以0≤a<. B．(k)＝2 048 对于A选项，由f(x)g(－x)＝4，得f(－x－2)g(x＋2)＝4，又f(x)g(x＋2)＝4，所以f(－x－2)＝f(x)，f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故A选项正确；对于B选项，由f(x)的图象关于点(0,2)对称，得f(－x)＋f(x)＝4，由A选项结论知f(x－2)＝f(－x)，所以f(x－2)＋f(x)＝4，从而f(x－4)＋f(x－2)＝4，故f(x)＝f(x－4)，即f(x)的一个周期为4，因为f(0)＝2，f(1)＋f(3)＝f(1)＋f(－1)＝4，f(2)＝4－f(－2)＝4－f(0)＝2，所以(k)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝4 048，故B选项错误； 对于C选项，由f(x)＝f(x＋4)，及f(x)g(－x)＝4，则f(x＋4)g(－x－4)＝4，得g(－x)＝g(－x－4)，函数g(x)的周期为4，故C选项正确；对于D选项，取f(x)＝sin＋2，则g(－x)＝，又g(－1)＋g(1)＝，与g(x)的图象关于点(0,2)对称矛盾，故D选项错误．故选AC. 16．(知识融合)(2023·安徽黄山模拟)定义在R上的奇函数f(x)，满足对∀a，b∈[0，＋∞)且a≠b，都有(a－b)[f(a)－f(b)]<0成立，则当不等式f(1＋x)＋f(－3x)≥0成立时，9x＋的最小值为________． 由题设f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又在R上为奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，则f(x)在R上单调递减，由f(1＋x)≥－f(－3x)＝f(3x)，则1＋x≤3x，解得x≥，令t＝9x≥3，由对勾函数知y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，当t＝3时y＝4，所以9x＋的最小值为4. $$