4 第四节 函数的对称性(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第四节　函数的对称性 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论． 2．会利用对称公式解决问题． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． (3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称． y轴 x轴 原点 练透教材典题 1．[多选题]下列结论正确的是 A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 √ √ √ A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 3．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为____________________． [－5，－2)∪(2,5] 由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是偶函数，所以当－2<x<0时，f(x)>0；当－5≤x<－2时，f(x)<0.综上，不等式f(x)<0的解集为[－5，－2)∪(2,5]． 4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝_____. 5 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 轴对称问题 基础练 例1 √ (1)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) 设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．故选D. (2)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则ab＝_____. 120 因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称， (3)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当 f(－3)＝－2时，则f(2 023)＝_____. 2 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝ －f(x)，所以f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是周期为4的周期函数． 则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2. 规律方法 轴对称问题的常用性质 1．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 成轴对称． √ 对点练1.(1)(2024·山东东营模拟)已知函数f(x)＝32－x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝ A．0 B．1 C．2 D．2a 因为f(2－x)＝3x＋32－x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． (－1,1) 因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，所以－x2>－1，即x2<1，所以－1<x<1，所以原不等式的解集为(－1,1)． 考点二 中心对称问题 综合练 例2 (1)下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的函数是 A．y1＝－2x＋cos x B．y1＝2－x－cos(－x) C．y1＝－2－x＋cos(－x) D．y1＝－2－x－cos(－x) √ 令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[2－x－cos(－x)]＝－2－x＋cos(－x)．故选C. 4 所以该函数图象的对称中心为(b,1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4. 6 规律方法 中心对称问题的常用性质 1．函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 成中心对称． √ 对点练2.(1)(2024·河南安阳期中)已知函数f(x)＝2x－ (x∈R)，则f(x)的图象 A．关于直线x＝2对称 B．关于点(2,0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 √ (2)(2023·河南郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是 A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1 C．f(x)－1 D．f(x)＋1 因为f(－x)＋f(x)＝2，所以f(x)的图象关于(0,1)对称，将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)－1为奇函数．故选C. 考点三 两个函数图象的对称 综合练 例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象 A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 √ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A. 规律方法 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ 对称． √ 对点练3.(2024·福建厦门高三质检)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝ 返回 课时测评 返回 √ 1．设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是奇函数，则f(x)图象 A．关于点(2,0)中心对称 B．关于点(－2,0)中心对称 C．关于直线x＝2对称 D．关于直线x＝－2对称 因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)图象关于点(2,0)中心对称．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于 A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称 C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称 因为f(x)＝ex－2－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·江苏淮安模拟)定义在R上的函数y＝f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，则 A．f(1)<f(5) B．f(1)>f(5) C．f(1)＝f(5) D．f(0)＝f(5) 因为y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x＋2)＝f(2＋x＋2)＝f(4＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，故f(1)＝f(5)．故选C. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(2024·广东顺德模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，那么函数y＝－f(x＋4)的图象与函数y＝f(6－x)的图象之间 A．关于点(1,0)对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5,0)对称 D．关于直线x＝5对称 设P(m，n)是y＝－f(x＋4)图象上的任意一点，则n＝－f(m＋4)，作等量变换n＝－f[6－(2－m)]，即－n＝f[6－(2－m)]，则点P′(2－m，－n)在y＝f(6－x)的图象上，因为P(m，n)，P′(2－m，－n)关于点(1,0)对称，所以函数y＝－f(x＋4)的图象与函数y＝f(6－x)的图象之间关于点(1,0)对称．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 7．[多选题]若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是 A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 8．[多选题]已知f(x)是定义在R上的函数，函数f(x－2)的图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象关于原点对称，则下列说法正确的是 A．f(－2)＝0 B．对∀x∈R，f(x)＝f(x＋4)恒成立 C．函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 D．f(2 023)＝0 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x－2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x－2)＝f(－x－2)，则f(x)＝f(－x－4)，因为函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称， f(－1)＝0，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，则f(x)＝－f(－x－2)，C选项正确；因为f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，所以f(x－4)＝－f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，B选项正确；f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝0，D选项正确；没有条件能确定f(－2)＝0，A选项错误．故选BCD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 9．[多选题](2024·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列一定成立的是 A．f(2)＝0 B．f(1)＝0 C．f(0)＝0 D．f(－1)＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x≥2时，f(x)＝x2－6x＋5，则f(1)＝________. －4 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以当x＝1时，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(－2)＝_____. 1 因为f(4－x)＋f(x)＝2，令x＝2，所以f(4－2)＋f(2)＝2f(2)＝2，所以f(2)＝1，又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1，令x＝－2，则f[4－(－2)]＋f(－2)＝2⇒f(6)＋f(－2)＝2，即1＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝2－1＝1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝_____. 2n 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13．[多选题]设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是 A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋8) D．f(x＋6)为奇函数 √ 因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数．故选CD. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，若y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x3－x2关于原点对称的函数为－y＝－x3－x2，即y＝x3＋x2， 若函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，则y＝x2＋1－a与y＝x3＋x2在 (－∞，0)上有交点，所以方程x2＋1－a＝x3＋x2在(－∞，0)上有实数根，即1－a＝x3在(－∞，0)上有实数根，即y＝1－a与g(x)＝x3的图象在(－∞，0)有交点，g′(x)＝3x2>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，所以g(x)<g(0)＝0，所以1－a<0，所以a>1.故选D. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．f(2 023)＝2 B．函数f(x)的值域为[0,2] C．直线y＝1与函数f(x)的图象在区间[0,8]上有4个交点 D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(19)＝19 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为R，由f(2x＋1)为偶函数，得f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，令2x等价于x，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(－x－1)＝f(x＋3)，所以f(x)关于 x＝1对称，由f(2x－1)的图象关于 成中心对称，得f[2(－x)－1]＋ f[2(x＋3)－1]＝2，于是f(－2x－1)＋f(2x＋5)＝2，令2x等价于x，所以 f(－x－1)＋f(x＋5)＝2，所以f(x)关于(2,1)对称，则f(x＋3)＋f(x＋5)＝2，因此f(x＋1)＋f(x＋3)＝2，所以f(x＋1)＝f(x＋5)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝log2x，f(2 023)＝f(3)＝2－f(1)＝2－log21＝2，故A正确；f(x)在x∈[0,4]的图象如下图所示， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故B正确； 直线y＝1与函数f(x)的图象在区间[0,8]上有5个交点，故C不正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝log2x，可得f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1，f(3)＝2－f(1)＝2－0＝2，f(4)＝f(0)＝f(2)＝1，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，因此f(1)＋f(2)＋…＋f(19)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝16＋3＝19，故D正确．故选ABD. 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 2．函数f(x)＝图象的对称中心为 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．故选B. 所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)，即解得所以ab＝120. (2)函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝_____. 因为f(x)＝＝＝1＋， (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为_____． 因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，又y＝的图象也关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1,0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 对于A，由f(4－x)＝24－x－＝－2x≠f(x)，所以f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故A错误；对于B，由f(4－x)＝24－x－＝－2x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(2,0)对称，故B正确； 对于C，由f(－x)＝2－x－＝－16×2x≠f(x)，所以f(x)不是偶函数，故f(x)的图象不关于直线x＝0对称，故C错误；对于D，由f(－x)＝2－x－＝－16×2x≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故f(x)的图象不关于原点对称，故D错误． A．3 B． C．－1 D．－ 设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x′，y′)，则则则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得a＝－3，b＝1.故选C. 6．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|< |1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.故选C. 因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)关于x＝2对称，因为f(－3x＋1)为奇函数，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函数f(x)关于点(1,0)对称，因为函数f(x)定义域为R，所以f(1)＝0，故B正确；又因为函数f(x)关于x＝2对称，所以f(3)＝0，由f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)可得令x＝，f(－1)＝－f(3)＝0，故D正确；可构造函数f(x)＝cos满足题意，此时f(2)＝cos 0＝1，f(0)＝cos(－π)＝－1，故AC错误．故选BD. 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n. ①f ＋f ＝0　②f ＋f ＝0 ③f(x)的一个对称中心为(1,0)　④f(x)的一条对称轴为x＝ 因为y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，所以f(2(x＋1)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋3)＝f(2x＋1)，所以2是f(x)的周期，因为f(x)为奇函数，所以f ＋ f ＝f ＋f ＝0，②正确；f ＋f ＝f ＋f ＝f －f ，不一定为零，①不正确；因为f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(x)的一个对称中心为(1,0)，③正确；通过题目条件无法得出f(x)的一条对称轴为x＝，④不正确．故选B. 15．(2024·山东德州模拟)已知函数f(x)＝若y＝f(x)图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是 16．[多选题](2024·江西南昌模拟)若函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为偶函数，f(2x－1)的图象关于点成中心对称，当x∈[1,2]时，f(x)＝log2x，则下列说法正确的是 $$