2 第二节 函数的单调性与最值(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第二节　函数的单调性与最值 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值， 理解实际意义． 2．掌握函数单调性的简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如果∀x1，x2∈I， 当x1＜x2时 都有___________ 都有___________ 结论 就称f(x)是区间I上的________ 就称f(x)是区间I上的________ 图示 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 微提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫作y＝f(x)的单调区间． 增函数 减函数 区间I 2．函数的最大(小)值 前提 设D是函数y＝f(x)的定义域，如果有a∈D， 条件 (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃a∈D，使得__________ (1)∀x∈D，都有__________ ； (2)∃a∈D，使得_________ 结论 称M是函数f(x)的最 值 称M是函数f(x)的最 值 f(x)≤f(a) f(a)＝M f(x)≥f(a) f(a)＝M 大 小 记牢常用结论 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反． (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为：“同增异减”． 练透教材典题 1．[多选题]下列结论错误的是 A．因为f(x)在[－3,2]上是增函数，则f(－3)<f(2) B．函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3) C．若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数 D．函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) √ √ √ √ 2．[多选题]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A．y＝ －x B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x D．y＝ex √ √ 3．(用结论)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是 3 5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是______________________． (－∞，5]∪[20，＋∞) 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 确定函数的单调性 多维练 例1 √ 角度1　求函数的单调区间 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是 A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，＋∞)．故选D. (2)函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间是________________________． 规律方法 求函数的单调区间的方法 1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． 2．复合函数法： (1)求函数的定义域． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 角度2　利用定义证明函数的单调性 例2 解：设－1<x1<x2<1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 规律方法 定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒：判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． √ √ (－1,1) 考点二 求函数的最值 综合练 例3 8 1 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数； 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 规律方法 求函数最值的三种常用方法 1 考点三 函数单调性的应用 多维练 角度1　比较函数值的大小 √ 例4 A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 规律方法 利用单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小． 角度2　利用单调性解不等式 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_______ _____________． 例5 规律方法 利用单调性解不等式应注意四点 1．准确判断函数的单调性． 2．不等式的一边没有“f”而是常数时应将其化为函数值f(x0)的 形式． 3．注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化． 4．勿忘定义域对变量的限制． √ 角度3　求参数的取值(范围) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 例6 √ 规律方法 利用函数的单调性求参数的方法 1．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解． 2．对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的 取值． 对点练3.(1)函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． [－1,1) 所以a的取值范围是[－1,1)． [1,2) 返回 课时测评 返回 √ 1．下列函数在区间(0,1)上为单调递增函数的是 A．y＝－x3＋1 B．y＝cos x 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增．又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．故选A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．[多选题]已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是 A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] √ 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________________，单调递减区间为___________________． (－∞，－1]和[0,1] (－1，0)和(1，＋∞) 由于y＝ 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1,2] 由分段函数解析式知：f(x)在[－2,0]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1<a－2≤0，即a∈(1,2]． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(新设问)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是_______________ ___________________________________________________________． f(x)＝(x－1)2， 由题意知， f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调 递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解：由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2， 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，1]∪[4，＋∞) 函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．[1,2] B．[1,3] C．[0,2] D．[2,3] √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 15．(新定义)[多选题]对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是 A．函数y＝x2＋1是闭函数 B．函数y＝－x3是闭函数 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增． (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减． A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 4．函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为____，最小值为_____． ， 作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是，. 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a ＝， 对点练1.(1)[多选题]在下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0的是 A．f(x)＝－2(x－1)2－2 B．f(x)＝3x＋5 C．f(x)＝1＋ D．f(x)＝|x－4| 由题意可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)＝|x－4|＝显然f(x)在(1,4)上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选AC. (2)函数f(x)＝的增区间是________． 当x≠0时，f(x)＝，因为y＝x＋在(－1，0)，(0,1)上单调递减，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，即f(x)的增区间是(－1,1)． (1)函数f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为_____． 因为函数y＝x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2,2]上都单调递减，所以函数f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上单调递减， 所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8. (2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是____． 法二：依题意h(x)＝ 对点练2.(1)函数y＝x＋的最小值为_____． 法一：(换元法)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0，配方得y＝2＋.又因为t≥0，所以y≥＋＝1，故函数y＝x＋的最小值为1. 法二：(单调性法)由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1. (2)设f(x)＝则f(x)的最小值为________． 2－3 当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x<1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则 令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0，所以－1－＝－>0，即－1>1－，由二次函数的性质知g<g，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0，即－1<1－，所以g>g，综上，g<g<g，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A. (－， －2)∪(2，) 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是 A． B． C．(0,1) D．(0,1] 因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，所以解得0<a≤，所以实数a的取值范围为．故 选B. 依题意⇒－1≤a<1. (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______． f(x)＝＝＝1＋，因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以⇒1≤a<2. C．y＝log x D．y＝x－ y＝－x3＋1，y＝cos x，y＝log x在(0,1)上都为单调递减函数，y＝x－在(0,1)上为单调递增函数．故选D. 2．函数f(x)＝在 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．故选C. 3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为 f(x)＝＝2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以f(x)∈(2,3]．故选C. 4．(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有 当a>0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→ 0－时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B，C正确．故选BCD. 6．[多选题]已知函数f(x)＝则下列结论正确的是 即y＝ 8．已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________． x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解：f(x)＝x|x－4|＝函数图象如图所示． 11．(14分)已知f(x)＝(x≠a)． 解：证明：当a＝－2时，f(x)＝. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 12．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是 不妨令x1<x2，所以x1－x2<0，因为>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)<g(x2)，又x1<x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数．故选A. 13．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________________． 14．(2024·安徽安庆模拟)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为 当x>1时，x2＋－3a＝x2＋＋－3a≥3－3a＝12－3a，当且仅当x2＝，即x＝2时等号成立；当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋9＝(x－a)2＋9－a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1,2]． C．函数f(x)＝是闭函数 D．k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数 对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，所以A错误；对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则解得所以存在区间[－1,1]，使得y＝－x3在[－1,1]上的值域为[－1，1]，所以函数y＝－x3是闭函数，所以B正确；对于C，y＝＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)＝不是闭函数，所以C错误； 对于D，y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x＝－2＋的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋的值域为 [－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，所以D正确．故选BD. $$