6 第五节 一元二次函数、方程和不等式(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第五节　一元二次函数、方程和不等式 第一章　集合与逻辑、不等式 课程标准 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二 次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等 式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式． 2 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 _______________ _____________ ___ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ______________ ___ ___ {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ {x|x＞x2或x＜x1} R 微提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 记牢常用结论 1．分式不等式的解法 2．绝对值不等式的解法 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．一元二次不等式恒成立的条件 练透教材典题 1．[多选题]下列结论正确的是 A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 √ √ √ 2．不等式x2＋2x－3>0的解集为 A．{x|－3<x<1} B．{x|－1<x<3} C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>3} 根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x<－3或x>1}．故选C. √ 3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是 A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} (m－x)(n＋x)>0⇒(x－m)(x＋n)<0，又因为m＋n>0，所以m>－n，所以不等式的解集为{x|－n<x<m}．故选B. √ 4．(用结论)不等式 <0的解集为 A．∅ B．(2,3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞) 5．(用结论)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________． {a|a≥0} 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 一元二次不等式的解法 多维练 例1 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； 解：原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， (2)0<x2－x－2≤4. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 规律方法 解一元二次不等式的4个步骤 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 例2 当a＝1时，不等式无解； 综上，当0<a<1时， 当a＝1时，不等式的解集为∅； 规律方法 对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论： 1．根据二次项系数为正、负及零进行分类． 2．根据判别式Δ与0的关系进行分类． 3．当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 对点练1.解下列关于x的不等式： (2)x2－(a2＋a)x＋a3<0(a>0)； 解：原不等式转化为(x－a)(x－a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2＝a，即a＝1时，不等式的解集为∅. 考点二 三个“二次”的关系 基础练 [多选题]若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则 A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．b<0且c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R √ 例3 √ 规律方法 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维练 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 A．[0,1] B．(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) √ 例4 角度2　在给定区间上的恒成立问题 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实 数m的取值范围为________． 例5 当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立， √ 角度3　在给定参数范围内的恒成立问题 若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 例6 不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 规律方法 恒成立问题求参数范围的解题策略 1．弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． 2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论． √ 对点练3.(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是 A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} (2)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实 数m的取值范围是________． 返回 课时测评 返回 √ 1．不等式|x|(1－2x)>0的解集为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是 A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．2 B．4 C．6 D．8 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．[多选题]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确的有 A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} D．a＋b＋c>0 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6．[多选题]关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为 A．－ B．1 C．－1 D．－2 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，－1)∪(1,5) 所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为______． －4 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (a，－a) 因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a.由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B； 解：选①： 解得－1<x<3， 故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． 选②： x2－2x－3<0，解得－1<x<3， 故A＝(－1,3)， 由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0， 解得0<x<1，故B＝(0,1)， 则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选③： |x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3， 故A＝(－1,3)， 由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0， 解得0<x<1， 故B＝(0,1)， 则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)． 由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0， 即(x－m)[x－(m＋1)]<0， 解得B＝(m，m＋1)， 因为p是q成立的必要不充分条件，所以B A， 解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(14分)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 解：∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1. 所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．(－2,1)∪(1,3) B．(－3，－1)∪(1,2) C．(－3，－2)∪(－1,1) D．(－2，－1)∪(1,2) √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．[多选题]设〈x〉表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0的解可以为 A． B．3 C．－4.5 D．－5 √ 因为不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0，所以(〈x〉－3)(〈x〉＋4)≤0，即－4≤〈x〉≤3，又因为〈x〉表示不小于实数x的最小整数，〈 〉＝4，〈3〉＝3，〈－4.5〉＝－4，〈－5〉＝－5，所以不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(2024·湖南常德模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为____． 9 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢谢观看 本节到此结束 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔ (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 <0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.故选B. 当a＝0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a>0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}. 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为 x. 解：原不等式等价于⇔⇔ ⇔借助于数轴，如图所示， 因为a>0，所以a(x－1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当0<a<1时，解得1<x<. 当a>1时，不等式的解集为. 不等式的解集为； (1)x－3>－2； 解：由不等式x－3>－2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}． (3)>1. 解：>1⇒－1>0⇒>0⇒<0⇒－1<x<0，故不等式的解集为 (－1,0)． 由题意知a<0，所以A正确；由题意可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以所以得b<0，c>0，所以B正确；因为－1是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程得a＋b＋c＝0，所以C不正确；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b<0，可得ax2＋2ax＋a<0，因为a<0，所以x2＋2x＋1>0，即(x＋1)2>0，此时不等式的解集为{x|x≠－1}，所以D不正确．故选AB. 对点练2.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 x， 则不等式ax2－bx＋c>0的解集为________． 由条件知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，所以－2－＝－，(－2)×＝，所以b＝a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c>0，即为a>0.因为a<0，所以原不等式等价于2x2－5x＋2<0，即(x－2)(2x－1)<0，解得<x<2.所以不等式的解集为． 当k＝0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上k的取值范围是[0,1]．故选A. 要使f(x)<5－m在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 所以m<，所以0<m<； 综上所述，m的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以m<在x∈[1,3]上恒成立． 令y＝，因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是. 可得解得x<－1或x>3. 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足解得 －2<a<2.综上实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}．故选C. 由题意得x2－4x－4<1，解得－1<x<5，即x∈(－1,5)．因为f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，所以(m－1，－2m)⊆(－1,5)，所以解得0≤m<，即m∈. A．(－∞，0)∪ B． C． D． 由题意得x≠0，当x>0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0.综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.故选A. A． x B． x C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为 x．故选A. 当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为－1≤a<2.故选D. 4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，因为1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝ x时等号成立，所以a＋2＋1≥9，所以≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B. C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 x 由不等式的解集为{x|x≤3或x≥4}可知a>0且所以对于A，由上可知，故A正确；对于B，bx＋c＝－7ax＋12a>0，又a>0，所以x<，故B错误；对于C，cx2－bx＋a＝12ax2＋7ax＋a<0，又a>0，即12x2＋7x＋1<0，解得－<x<－，故C错误；对于D，a＋b＋c＝a－7a＋12a＝6a>0，故D正确．故选AD. 由题意知a<0，则排除B；对于A，当a＝－时，(x－2)>0，即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)>0，即(2x＋1)(x－5)<0，解得－<x<5，解集中有5个整数，不符合题意．故选AC. 7．不等式>x的解集是__________________． 不等式>x化为以下两个不等式组或解即解得x<－1，解即解得1<x<5， 因为当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，所以a≥－恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，所以－≤ －4，所以a≥－4，故a的最小值为－4. 9．若a<0，则关于x的不等式组的解集为________． 10．(13分)已知集合：①A＝x；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题： 由>1，可得>0，即(x－3)(x＋1)<0， 所以或 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. 当－1<a<0时，原不等式的解集为x； 当a<－1时，原不等式的解集为x． 解：依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0， 当a＝－1时，－＝1，解得x≠1； 当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－； 当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1. 12．(新角度)对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 (－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法．解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为 若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0可看成是前者不等式中的x用代替得到的，所以∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1,2)．故选B. 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以f(x)＝x2＋ax＋b＝0只有一个根，即Δ＝a2－4b＝0，则b＝，不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，即x2＋ax＋<c的解集为(m，m＋6)，则x2＋ax＋－c＝0的两个根为m，m＋6，所以|m＋6－m|＝＝＝6，解得c＝9. 15．(知识融合)已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实 数m应满足的条件是__________． m≥－ 因为cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，所以1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.设x＝sin θ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立．当对称轴x＝m≤0时，f(x)在x∈(0,1)上单调递减，则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，即－≤m≤0； 当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，解得1－<m<1＋，即0<m<1；当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.综上所述实数m应满足的条件是m≥－. $$