3 第三节 等式性质与不等式性质(PPT课件)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合与逻辑、不等式 课程标准 1．掌握等式性质． 2．会比较两个数的大小． 3．理解不等式的性质，并能简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．两个实数比较大小的方法 a＞b a＝b a＜b a＞b a＝b a＜b 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ ． (3)可加性：a＞b⇒a＋c b＋c， 推论1　a＋b>c⇔a>c－b 推论2　a＞b，c＞d⇒a＋c b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a>b，c<0⇒ac<bc， 推论3　a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. 推论4　a＞b＞0⇒an bn(n∈N，n≥2). a＞c ＞ ＞ ＞ 微提醒　(1)同向不等式可以相加，不能相减．(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． < ＞ 记牢常用结论 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种 B．若 >1，则a>b C．同向不等式具有可加性和可乘性 D．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 √ √ √ 2．若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有 A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，所以M>N.故选A. √ 3．(用结论)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是 √ 4．实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是 A． <1 B．2－x<2－y C．lg(x－y)>0 D．x2>y2 返回 考点探究　精准突破 返回 考点一 数(式)的大小比较 基础练 例1 √ (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为 A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.故选B. < 规律方法 数(式)比较大小的常用方法 1．作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论． 2．作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论． 3．构造函数法：利用函数的单调性比较大小． √ A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为____________． eπ·πe<ee·ππ 即eπ·πe<ee·ππ. 考点二 不等式的性质 基础练 例2 (1)[多选题](2024·湖南永州模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是 A．若b<a<0，则bc2<ac2 √ √ √ (2)[多选题]若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) √ √ 因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0， 因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．故选BCD. 规律方法 判断不等式的常用方法 1．利用不等式的性质逐个验证． 2．利用特殊值法排除错误选项． 3．作差法． 4．构造函数，利用函数的单调性验证． √ 对点练2.(1)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则 √ (2)[多选题]对于任意实数a，b，c，d，下列命题中是真命题的是 A．若ac2>bc2，则a>b √ √ 考点三 不等式性质的应用 综合练 例3 (1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 因为－1<x<4,2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4, 2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. (－4,2) (1,18) (变条件)若将本例(1)中条件改为“－1<x＋y<4,2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 变式探究 规律方法 根据不等式的性质求取值范围的策略 1．严格运用不等式的性质，注意其成立的条件． 2．同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围． 3．建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围． 对点练3.(1)已知0<β<α< ，则α－β的取值范围是________． (2)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是_____________． (－3，－1) 返回 课时测评 返回 √ 1．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关 系是 A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 因为0<a1<1,0<a2<1，所以－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N.故选B. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．(2024·北京朝阳模拟)若a>0>b，则 A．a3>b3 B．|a|>|b| 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·山东青岛模拟)若a>b，则 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把”＝“作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是 A．若a>b，则ac2>bc2 D．若a>b，则a2>b2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．已知a>b＋1>1，则下列不等式一定成立的是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7．[多选题](2024·山东济南模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 8．[多选题](2024·山东潍坊模拟)已知实数a>b>0，则 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 9．[多选题]设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有 A．c2<cd B．a－c<b－d 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________________________． －3，－1,0(答案不唯一) 令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________． (2,10) 因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，又1<α<3，所以2<2α<6，所以2<2α＋|β|<10. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13．[多选题](2024·湖南长沙模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是 A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1 C．a2>4b D．| |>b＋1 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是____________． b>d>c>a 由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a>b>0(答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________． 6 12 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 (5)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). (6)可倒数：a>b，且ab>0⇒ ，a>b，且ab<0⇒ . 若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. A．< B．ab<b2 C．ab>a2 D．－<－ 因为a<b<0，由不等式的性质可知，－a>－b>0，ab>0，所以－<－，所以>，故A错误，D正确；由a<b<0，可得ab>b2>0，a2>ab>0，故B，C错误．故选D. (2)若a＝，b＝，则a_____b．(填“>”或“<”) 法一：易知a，b都是正数，＝＝＝＝log89>1，故a<b. 法二：令f(x)＝，所以f′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以f(4)<f(3)，即＝<，故a<b. 对点练1.(1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是 由题意得，B2－A2＝－2≤0， ＝＝π－e， 又0<<1,0<π－e<1，所以π－e <1， 即<1， B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 对于A，ac2－bc2＝c2(a－b)，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，则bc2≤ac2，故A错误；对于B，－＝，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以－＝<0，即<，故B正确； 对于C，－＝，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以－＝<0，即<，故C错误；对于D，－＝＝，因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即>，故D正确．故选BD. A．ad >bc B．＋<0 所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确； A．< B．＋>0 C．a2>b2 D．a<|b| 因为ab<0，a>b，则a>0，b<0，>0，<0，A不正确；<0，<0，则＋<0，B不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，即a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．故选C. B．若bc－ad≥0，bd>0，则≤ C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 对于A，若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；对于B，若bc－ad≥0，bd >0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；对于C，若a<b<0，则a2>b2>0，ab>0，可得－＝<0，故<，故C错误；对于D，若a>b，>，则－＝>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正确．故选ABD. 所以×3<<×8，即<<2. (2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________． 因为4<b<9，所以<<，又3<a<8， 则所以即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又因为 －1<x＋y<4,2<x－y<3， 所以－<(x＋y)<10,1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，所以3x＋2y的取值范围为． 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c.因为a>b>c，所以－2a－c<a，即3a>－c，解得>－3，将b＝－2a－c代入b>c中，得 －2a－c>c，即c<－a，得<－1，所以－3<<－1. 因为0<β<，所以－<－β<0，又0<α<，所以－<α－β<，又β<α，所以α－β>0，即0<α－β<. C．< D．ln(a－b)>0 因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，<不成立，故B，C错误；取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误．故选A. A．> B．a>b C．> D．a>b 取a＝2，b＝1，显然<，故A错误；2<，故B错误；若a，b<0，则，无意义，故C错误；若a>b，则a>b，故D正确．故选D. 4．(2024·福建福州模拟)“0<a<b”是“a－<b－”的 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当0<a<b时，a－<b－，充分性成立；当a<b<0时，a－<b－成立，即不能推出0<a<b，必要性不成立，所以“0<a<b”是“a－<b－”的充分不必要条件．故选A. B．若>，则a<b C．若a<b<c<0，则< 对于A选项，当c＝0时不满足，故A错误；对于B选项，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故B错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故－＝＝<0，即<，故C正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故D错误．故选C. A．|b－a|>b B．a＋>b＋ C．< D．a＋ln b<b＋ln a 取a＝10，b＝8，则|b－a|<b，故A错误；取a＝3，b＝，a＋＝b＋，故B错误；取a＝3，b＝1，则a＋ln b＝3，b＋ln a＝1＋ln 3<1＋ln e2＝3，即a＋ln b>b＋ln a，故D错误；对于C，证明一个不等式：ex≥x＋1，令y＝ex－x－1，则y′＝ex－1，于是x>0时，y′>0，y＝ex－x－1单调递增； x<0时，y′<0，y＝ex－x－1单调递减，所以x＝0时，y有极小值，也是最小值e0－0－1＝0，于是y＝ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号．ex≥x＋1，当x>－1时，两边同时取以e为底的对数可得，x≥ln(x＋1)，用(x－1)替换x，得到x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取等号，因为a>b＋1>1，所以eb>b＋1，ln a<a－1，>1>，即<，故C正确．故选C. A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，故A错误；对于B，因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，a－b>0，所以b＋c＝－a<0，所以a－b>b＋c，即a－c>2b，故B正确；对于C，因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，故C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，故D错误．故选BC. A．< B．a＋>b＋ C．ab>ba D．lg> 对于A，因为a>b>0，所以b－a<0，所以－＝<0，则<，故A正确； 对于B，因为a>b>0，所以a－b>0，所以a＋－b－＝(a－b)＋＝(a－b)>0，则a＋>b＋，故B正确；对于C，当a＝4，b＝2时，ab＝ba，故C错误；对于D，由>>0，得lg>lg＝lg(ab)＝，故D正确．故选ABD. C．ac<bd D．－>0 因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd.故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝ －2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d.故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd.故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以>，故－>0.故选项D正确．故选AD. 12．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________． ＋≥＋ ＋－(＋)＝＋＝(a－b)·(－)＝. 因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以≥0.所以＋≥＋. 对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立． 15．(新设问)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是_________________．(答案不唯一，写出一个即可) 使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，因为a>b>0，所以2(－)>0，所以()2－(－)2>0，即>－. 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数，①当z＝4时，8>x>y>4，所以x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6. ②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z＝3，y＝4.所以该小组人数的最小值为 $$