6 第六节 二项分布、超几何分布、正态分布(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第六节　二项分布、超几何分布、正态分布 【课程标准】1.通过具体实例，理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助于频率分布直方图的直观，了解正态分布的特征．4.了解正态分布的均值、方差及其含义． 1．两点分布 (1)如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)，两点分布又称0－1分布． (2)两点分布的数学期望与方差：随机变量X服从两点分布，若X～B(1，p)，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．二项分布 (1)伯努利试验 ①定义：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验． ②n重伯努利试验的共同特征：(Ⅰ)同一个伯努利试验重复做n次；(Ⅱ)各次试验的结果相互独立． (2)二项分布 ①定义：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则X有概率分布为P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，…，n，其中q＝1－p. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). Cpkqn－k＝(p＋q)n＝1，P(X＝0)＋P(X＝1)＋…＋P(X＝k)＋…＋P(X＝n)＝1. ②二项分布的数学期望与方差：随机变量X服从二项分布B(n，p)，若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3．超几何分布 (1)定义：一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，l，其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋，称分布列 X 0 1 … l P … 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)． (2)超几何分布的数学期望：设随机变量X服从超几何分布，若X～H(N，M，n)，则E(X)＝． 4．正态分布 (1)概率密度曲线：随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线． (2)正态曲线的定义：若p(x)＝e，x∈R，其中μ和σ为参数，且σ>0，μ∈R，p(x)称为概率密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (3)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 学生用书第260页 ③p(x)在x＝μ处达到最大值； ④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑤σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡； ⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1. (4)正态分布的定义：若随机变量X的概率分布密度函数为p(x)＝e－，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ2＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，其密度函数记为φ(x)＝e－(－∞<x<＋∞)，简记为X～N(0，1)． (5)3σ原则：P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99.73%． (6)正态分布的均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 【记牢常用结论】 1．“二项分布”与 “超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝. 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形 B．若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布 C．从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布 D．当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 答案：AB 2．鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 解析：设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5,0.9)，所以P(X＝4)＝C×0.94×0.1≈0.33.故选A. 3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________. 答案： 解析：因为X～N(3,1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝. 4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________. 答案： 解析：由题意得P(X＝2)＝＝. 学生用书↓第260页 考点一　二项分布综合练 电子商务在我国发展迅猛，网上购物已经成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖10元钱三瓶，有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味)．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖)． (1)小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？ (2)小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差． 解：(1)若三瓶口味均不一样，有C＝56(种)； 若其中两瓶口味一样，有CC＝56(种)； 若三瓶口味一样，有8种． 故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120(种)． (2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3. 因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为. 即随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B. P(ξ＝0)＝C×0×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝， P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 数学期望E(ξ)＝np＝3×＝. 方差D(ξ)＝np(1－p)＝3××＝. 规律方法 1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 2．二项分布的期望与方差的求解策略 (1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 对点练1.某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)． (1)求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率； (2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)． 解：(1)根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为， 所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为 P＝1－C×4－C××3＝. (2)根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～B， 则P(X＝0)＝4＝， P(X＝1)＝C××3＝， P(X＝2)＝C×2×2＝， P(X＝3)＝C×3×＝， P(X＝4)＝4＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝4×＝. 学生用书↓第261页 考点二　超几何分布综合练 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝， 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 故P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 规律方法 1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列． 2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型． 对点练2.2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十六号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)用频率估计概率，从该校高一年级中随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率； (2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值． 解：(1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2. 故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C×0.4×0.2＝. (2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人， 所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为： X 1 2 3 P 故E(X)＝＝. 学生用书↓第262页 考点三　正态分布多维练 角度1　正态密度函数及正态曲线 (1)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 (2)[多选题]某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数相同 答案：(1)B　(2)AD 解析：(1)由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.故选B. (2)不妨设成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2)，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，且σ是标准差，x＝μ为正态曲线的对称轴，且μ为平均数．由题图可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，甲、乙、丙总体的平均数相同，故A，D正确． 角度2　正态分布的概率 (1)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 (2)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________. (3)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取并检测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸x(cm)服从正态分布N(18,4)，若x落在(20,22]内的零件个数为2 718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为________．(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3) 答案：(1)B　(2)0.14　(3)455 解析：(1)随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B. (2)因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. (3)由正态分布N(18,4)可知μ＝18，σ＝2，所以μ＋σ＝20，μ＋2σ＝22.所以P(20<x≤22)≈＝0.135 9，P(x>22)≈＝0.022 75，所以直径x高于22的个数大约为2 718÷0.135 9×0.022 75＝455. 规律方法 解决正态分布问题有三个关键点 1．对称轴x＝μ； 2．标准差σ； 3．分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0. 对点练3.(1)(2024·山东聊城模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.7，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 (2)[多选题]若某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中正确的是(　　) A．σ越大，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(9.8,10.1)内的概率相等 (3)已知某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，则随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492,504]内约有________袋．(质量单位：g)(附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 答案：(1)B　(2)BCD　(3)8 186 解析：(1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝0.3，所以P(0<ξ<2)＝P(ξ<2)－P(ξ≤0)＝0.5－0.3＝0.2.故选B. (2)σ2为数据的方差，所以σ越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越小，故A错误；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(9.8,10.1)内的概率相等，故D正确．故选BCD. (3)由题意得P(500－4≤X≤500＋4)≈0.682 7，P(500－8≤X≤500＋8)≈0.954 5，则P(492≤X<496)≈＝0.135 9，故P(492≤X≤504)≈0.135 9＋0.682 7＝0.818 6，则袋装质量在区间[492,504]内约有10 000×0.818 6＝8 186(袋)． 课时测评82　二项分布、超几何分布、正态分布 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8，每小题5分，共40分) 1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值为(　　) A．1 B． C．2 D． 答案：A 解析：同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，每次两枚硬币均正面向上的概率P＝×＝，则X～B，X的均值为E(X)＝4×＝1.故选A. 2．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为(　　) A． B． C．1 D． 答案：D 解析：ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 3．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ下下下1,62)，Y～N(μ下下下2,22)，X和Y的分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．D(X)＝6 B．μ下1>μ下2 C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34) 答案：C 解析：对于A中，随机变量X服从正态分布，且X～N(μ下1,62)，可得随机变量X的方差为σ2＝62，即D(X)＝36，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得随机变量μ下1＝30，μ下2＝34，所以μ下1<μ下2，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图象，可得当X≤38时，随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于当Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图象，可得P(X≤34)>，P(Y≤34)＝，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误．故选C. 4．据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则果实横径在[75,90]内的概率为 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.(　　) A．0.682 7 B．0.841 3 C．0.818 6 D．0.954 5 答案：C 解析：由题意得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5，所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75,90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.故选C. 5．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝ B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0<X<2)＝0.4 C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3 答案：ABC 解析：对于A，若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝C33＝，故A正确；对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，则P(AB)＝＝，P(A)＝1－＝，所以P(B|A)＝＝，故C正确；对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．故选ABC. 6．[多选题](2024·江苏徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　) A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝ C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝ 答案：ABC 解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0,1,2,3,4，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义可得X～B，故A正确；故P(X＝1)＝C13＝，故B正确；因为X～B，所以E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．故选ABC. 7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________． 答案： 解析：设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝. 8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________. 答案： 解析：每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(ξ＝4)＝C4×1＝. 9．(12分)(2024·九师联盟测试)自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者． (1)已知报名者1,2,3组人数之比为3∶3∶4，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设1,2,3组中的每一个人答对某道题的概率分别为0.90,0.95,0.90，从中任选一人，求此人答对该题的概率； (2)从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记X为其中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 解：(1)设事件B＝“任选一人答对”，Ai＝“答题人来自于第i组” (i＝1,2,3)，则样本空间Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 根据题意得P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.4，P(B|A1)＝0.90，P(B|A2)＝0.95，P(B|A3)＝0.90. 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.3×0.90＋0.30×0.95＋0.4×0.90＝0.915， 所以任选一人，此人答对该题的概率为0.915. (2)由题可知，X的可能取值为0,1,2,3. 由题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 10．(14分)(2024·安徽淮南模拟)2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了3D打印的薄壁蒙皮点阵结构.3D打印(3DP)是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．随着技术不断成熟，3D打印在精密仪器制作应用越来越多．某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出品的零件内径(单位：μm)X服从正态分布N(105,36)． (1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间(111,117)的产品件数，求E(X)； (2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件．度量其内径分别为(单位：μm)：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 3， 解：(1)由题意知，μ＝105，σ＝6，则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ， 一件产品的质量指标值位于区间(111,117)的概率即为P(μ＋σ<X<μ＋2σ)， 因为P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5， 所以P(μ＋σ<X<μ＋2σ)＝[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 所以X～B(100,0.135 9)，所以E(X)＝100×0.135 9＝13.59. (2)X服从正态分布N(105,36)，由于P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 3， μ－3σ＝105－18＝87，μ＋3σ＝105＋18＝123， 所以内径在(87,123)之外的概率为0.002 7，为小概率事件，而86∉(87,123)， 根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试． 11．(16分)(2024·山东济宁模拟)某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问题相互独立．记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y. (1)求甲、乙共恰好答对2个问题的概率； (2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由． 解：(1)设“甲、乙共恰好答对2个问题”为事件A， 则P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝·C1·2＋·C0·3＝×＋×＝. (2)由已知得X的所有可能取值为1,2,3， 所以P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝， 由已知得Y～B， 所以E(Y)＝3×＝， D(Y)＝3××＝， 因为E(X)＝E(Y)，但是D(X)<D(Y)， 所以选择甲同学参赛． 12．(18分)(2024·广东深圳模拟)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望； (3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为＝， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B， 所以X的所有可能取值为0,1,2，则 P(X＝0)＝C·0×2＝， P(X＝1)＝C·1×1＝， P(X＝2)＝C·2×0＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为E(X)＝2×＝. (2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0,1,2， 则P(Y＝0)＝·＝， P(Y＝1)＝·＋·＝＋＝＝， P(Y＝2)＝·＝， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 P 所以Y的数学期望为E(Y)＝1×＋2×＝. (3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的小，即<，第(1)问不中奖的概率比第(2)问小，即<， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖． 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖． 学生用书↓第263页 学科网（北京）股份有限公司 $$