3 第三节 一元线性回归模型及其应用(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第三节　一元线性回归模型及其应用 【课程标准】　1.了解样本相关系数的统计含义．　2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．　3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1．成对数据的统计相关性 (1)散点图：由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图． (2)相关关系：如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为相关关系． (3)相关关系的分类：正相关和负相关． 学生用书第232页 2．相关系数 (1)rxy＝＝＝. (2)性质：①rxy的取值范围是[－1，1]．当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关；当－1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关；当rxy＝0时，称{xi}和{yi}不相关． ②|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近． ③|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低． ④rxy具有对称性，即rxy＝ryx. ⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量，rxy＝0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系． ⑥当rxy>0.8时，y有随着x的增加而增加的趋势，这时我们认为{xi}和{yi}是高度正相关的；当rxy<－0.8时，y有随着x的增加而减少的趋势，这时我们称{xi}和{yi}是高度负相关的． 3．一元线性回归模型 (1)找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程． (2)如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称y＝a＋bx为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数． (3)当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的i与实际观测值yi的误差，即yi－i＝yi－(＋xi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei. (4)我们把yi＝＋xi＋ei(i＝1，2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型． (5)最小二乘法：使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．用最小二乘法得到的回归直线方程为＝x＋，其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率．其中＝，＝－. 【记牢常用结论】 1．回归直线过点(，). 2．求时，常用公式＝. 3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误． 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．相关关系是一种非确定性关系 B．散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段 C．回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点 D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 答案：ABD 2．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) 答案：D 解析：观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．故选D. 3．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　) A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87 答案：D 解析：由样本相关系数的绝对值|r|越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r＝0.87的绝对值最大．故选D. 4．(用结论)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的回归方程可能是(　　) A．＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4 答案：A 解析：由题意，x与y正相关，故排除C，D，将(，)代入回归方程检验得A正确．故选A． 学生用书第233页 考点一　成对数据的相关性 (1)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据： x 3 4 5 6 7 y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3 根据表格中的数据求得回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　) A．>0，>0 B．>0，<0 C．<0，>0 D．<0，<0 (2)对两个变量x，y进行线性相关分析，得到样本相关系数r1＝0.899 5，对两个变量u，v进行线性相关分析，得到样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以<0.又＝×＝5，＝×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5＋，所以＝1.1－5>0.故选B. (2)依题意，得r1＝0.899 5，r2＝－0.956 8，所以x，y正相关，u，v负相关，|r1|<|r2|<1，所以u，v的线性相关性较强．故选C. 判定两个变量相关性的方法 1．画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关． 2．样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强． 3．回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．　　 对点练1．(1)(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 (2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1ln (k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　) A．r1>r2 B．r1＝r2 C．r1<r2 D．不确定 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A选项错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B选项错误，C选项正确；由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，故D选项错误．故选C. (2)由散点图可知，用y＝b1ln (k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|；又因为x，y负相关，所以－r1>－r2，即r1<r2.故选C. 考点二　线性回归模型 某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表： x 20 25 30 35 40 y 167 160 150 143 130 (1)根据上表提供的数据，求出y关于x的回归方程＝x＋； (2)根据(1)中求出的回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离． 学生用书第234页 参考公式：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－. 解：(1)由题意可得＝＝30，＝＝150， iyi＝20×167＋25×160＋30×150＋35×143＋40×130＝22 045， ＝202＋252＋302＋352＋402＝4 750， 所以＝＝＝－1.82， 则＝－＝150＋1.82×30＝204.6， 故所求回归方程为＝－1.82x＋204.6. (2)当x＝50时，＝－1.82×50＋204.6＝113.6，即年龄为50岁的人的最大可视距离约为113.6米． 线性回归分析问题的解题策略 1．利用最小二乘估计公式，求出回归系数. 2．利用回归直线过样本点的中心求系数. 3．写出回归方程，并利用回归方程进行预测．　　 考点三　非线性回归模型 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2013年以来的乡村经济收入y(单位：亿元)进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值1—10分别对应2013年至2022年． (1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋b拟合y与x的关系，其样本相关系数分别为r1＝0.851 9，r2＝0.990 1，试判断哪个模型的相关程度更强？ (2)根据(1)中相关程度更强的模型，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并估计该县2026年的乡村经济收入(精确到0.01). 参考数据：ti＝，＝i，≈3.606，≈3.742, ≈3.873. (xi－)2 (ti－)2 (xi－)· (yi－) (ti－)· (yi－) 72.65 2.25 126.25 4.52 235.48 49.16 参考公式：对于一组数据，，…，(tn，yn)，回归方程＝t＋中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：(1)因为r2更接近1，所以y＝a＋b的相关程度更强． (2)根据题中所给数据得＝＋t， 所以＝＝≈10.88， 则≈72.65－10.88×2.25＝48.17， 所以非线性回归方程为＝48.17＋10.88.2026年的年份代码为14， 当x＝14时，＝48.17＋10.88×≈88.88， 所以估计该县2026年的乡村经济收入为88.88亿元． 学生用书第235页 有些非线性回归分析问题并不给出回归公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题，使之得到解决． 其一般步骤为： 　　 对点练2．(1)[多选题]某工厂研究某种产品的产量x(单位：吨)与某种材料需求量y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集了一组数据如表所示．根据表中数据可得回归方程为＝0.7x＋，则下列说法中正确的为(　　) x 3 4 6 7 y 2.5 3 4 5.9 A．变量x与y正相关 B．y与x的相关系数r<0 C．＝0.35 D．产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨 (2)已知变量y关于x的回归方程为y＝ebx-0.5，若对y＝ebx-0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，当x＝5时，预测y值为________． x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 答案：(1)ACD　(2)e 解析：(1)因为回归方程为＝0.7x＋，所以产量x与材料需求量y呈正相关，所以相关系数r>0，故A正确，B错误；由表格可得＝＝5，＝＝3.85，则0.7×5＋＝3.85，解得＝0.35，故C正确；所以回归方程为＝0.7x＋0.35，当x＝8时，＝0.7×8＋0.35＝5.95，即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D正确．故选ACD. (2)对y＝ebx-0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y，则z＝bx－0.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5，代入＝－0.5，得3.5＝×2.5－0.5，故＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x-0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5-0.5＝e. (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－7，每小题7分，共49分) 1．对变量x，y由观测数据得散点图①，对变量y，z由观测数据得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　) A．变量x与y负相关，x与z正相关 B．变量x与y负相关，x与z负相关 C.变量x与y正相关，x与z正相关 D．变量x与y正相关，x与z负相关 答案：B 解析：由散点图可知，变量x与y负相关，变量y与z正相关，所以x与z负相关．故选B. 2．已知两个变量具有线性相关性，现通过最小二乘法求回归方程＝x＋，将已知数据代入公式Q＝(yi－bxi－a)2计算后得到的代数式为3a2＋13b2＋12ab－2b＋3，使上述代数式取值最小的a，b的值即为回归方程的系数，则回归方程为(　　) A．＝－x＋2 B．＝－x－2 C．＝x＋2 D．＝x－2 答案：D 解析：3a2＋13b2＋12ab－2b＋3＝3(a＋2b)2＋(b－1)2＋2，当即时上式最小，故＝x－2.故选D. 3．为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶量x(单位：克)与食客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y＝ekx－c来拟合y与x的关系，根据以下数据： 茶叶量x/克 1 2 3 4 5 ln (100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的回归方程为(　　) A．＝e0.043x+4.291 B．＝e0.043x-4.291 C．＝e0.043x+4.291 D．＝e0.043x-4.291 答案：A 解析：由表中数据可知＝＝3，设z＝ln (100y)，则z＝kx－c，＝×(4.34＋4.36＋4.44＋4.45＋4.51)＝4.42.(xi－)(zi－)＝(－2)×(－0.08)＋(－1)×(－0.06)＋0＋1×0.03＋2×0.09＝0.43，(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝10，所以k＝＝＝0.043，所以c＝0.043×3－4.42＝－4.291，故ln (100y)＝0.043x＋4.291，即＝e0.043x+4.291.故选A． 4．在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝x＋1上，R2＝1－，则R2等于(　　) A． B． C．1 D． 答案：C 解析：因为样本数据对应的点均在一条直线上，所以R2＝1.故选C. 5．[多选题]某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高(单位：cm)和臂展(单位：cm)进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示．已知这10名志愿者身高的平均值为176 cm，根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的回归方程为＝1.2v－34，则下列结论正确的是(　　) A．这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．这10名志愿者的身高和臂展呈负相关 C．这10名志愿者臂展的平均值为176.2 cm D．根据回归方程可估计身高为160 cm的人的臂展为158 cm 答案：AD 解析：对于选项A，因为这10名志愿者臂展的最大 值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于选项B，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B错误；对于选项C，因为这10名志愿者身高的平均值为176 cm，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176－34＝177.2(cm)，故C错误；对于选项D，若一个人的身高为160 cm，则由回归方程＝1.2v－34，可得这个人的臂展的估计值为158 cm，故D正确．故选AD. 6．某智能机器人的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示： 广告费用x(万元) 2 3 5 6 销售额y(万元) 28 31 41 48 根据此表可得回归方程为＝5x＋，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为________万元． 答案：57 解析：由表格，得＝＝4，＝＝37，所以37＝5×4＋，即＝17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57(万元). 7．已知变量x和变量y的一组随机观测数据为(2，30)，(4，40)，(5，60)，(6，50)，(8，70).如果y关于x的回归方程是＝6.5x＋17.5，那么当x＝5时，残差等于________． 答案：10 解析：由已知条件可知，当x＝5时，观测值为60，将x＝5代入回归方程＝6.5x＋17.5，可得＝6.5×5＋17.5＝50，所以残差等于60－50＝10. 8．(14分)(2024·辽宁葫芦岛模拟)某科研所为了研究土豆膨大素对土豆产量的影响，在某大型土豆种植基地随机抽取了10亩土质相同的地块，以每亩为单位分别统计了在土豆快速生长期使用的膨大素剂量xi(单位：g)，以及相应的产量yi(单位：t)，数据如下表： 膨大素 用量xi 8 12 8 16 16 10 10 14 14 12 亩产量yi 2.5 4 2.2 5.4 5.1 3.4 3.6 4.6 4.2 4 并计算得＝1 520，＝161.58，iyi＝494.8. (1)估计该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与平均每亩的土豆产量； (2)求该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与土豆产量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现统计了该大型土豆种植基地所有地块(每块1亩)的膨大素使用剂量，并计算得总使用剂量为1 080 g．已知土豆的产量与其使用膨大素的剂量近似成正比．利用以上数据估计该基地土豆的产量． 附：相关系数r＝＝， ≈6.88. 解：(1)依题意， ＝＝12， ＝＝3.9， 所以该试验田平均每亩使用膨大素的剂量12 g，平均每亩的土豆产量为3.9 t. (2)依题意，所求样本相关系数 r＝ ＝＝≈0.97. (3)由已知及(1)，得该基地的土豆产量的估计值为×1 080＝351 t． 9．(17分)某省为调查北部城镇2023年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个城镇的人口(单位：万人)和该城镇2023年国民生产总值(单位：亿元)，计算得i＝100，i＝800，＝70，＝280，(xi－)(yi－)＝120. (1)请用相关系数r判断该组数据中y与x之间线性相关关系的强弱(若|r|∈[0.75，1]，相关性较强；若|r|∈[0.30，0.75)，相关性一般；若r∈[－0.25，0.25]，相关性较弱)； (2)求y关于x的线性回归方程； (3)若该省北部某城镇2023年的人口约为5万人，根据(2)中的线性回归方程估计该城镇2023年的国民生产总值． 参考公式：相关系数r＝，对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解：(1)由题意知相关系数r＝＝＝≈0.857， 因为y与x的相关系数r满足|r|∈[0.75，1]，所以y与x之间具有较强的线性相关关系． (2)＝＝＝， ＝－＝－×＝， 所以＝x＋. (3)由(2)可估计当x＝5时，该城镇2023年的国民生产总值＝×5＋＝40(亿元). 10．(20分)(2024·河北承德模拟)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，得下表： 浓度x(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 (1)以x为解释变量，y为响应变量，在＝x＋和＝1＋2lg x中选一个作为灭死率y关于浓度x(mol/L)的回归方程，不用说明理由； (2)(ⅰ)根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选回归方程； (ⅱ)依据(ⅰ)中所求回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少mol/L? 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝ ＝， ＝－. 解：(1)根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选＝1＋2lg x. (2)(ⅰ)令ui＝lg xi，则＝1＋2u， 所以可得如下数据： u －12 －10 －8 －6 －4 y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 则＝＝－8， ＝＝0.5， ＝＋＋＋＋＝360， iyi＝×0.1＋×0.24＋×0.46＋×0.76＋×0.94＝－15.6， 所以2＝＝0.11，1＝0.5－0.11×＝1.38， 所以＝1.38＋0.11u，即＝1.38＋0.11lg x. (ⅱ)依题意＝1.38＋0.11lg x≥0.8，即0.11lg x≥－0.58，即lg x≥－， 所以x≥10－，即要使灭死率不低于0.8，则该灭草剂的浓度至少要达到10－ mol/L. 学科网（北京）股份有限公司 $$