2 第二节 用样本估计总体(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第二节　用样本估计总体 【课程标准】1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 1．用样本估计总体的集中趋势 (1)平均数：若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝．平均数也称为均值． (2)众数：观测数据中出现次数最多的数是众数，用M0表示． (3)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用Me表示．当数据个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数． 微提醒　平均数、中位数和众数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受数据组中极端值的影响具有较好的稳定性 对极端值不敏感 众数 反映一组数据的集中趋势 众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响 2.用样本估计总体的离散程度 (1)极差：将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． (2)方差 ①总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． ②样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 学生用书第228页 ③分层抽样的方差：将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为n＝n1＋n2，＝(n11＋n22)，s2＝{n1[s＋(1－)2]＋n2[s＋(2－)2]}． (3)标准差 标准差是方差的算术平方根．如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差．即s＝． 3．用频率分布直方图估计总体分布 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 4．百分位数 (1)定义：百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]内的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，Pr即对应中位数． (2)计算一组n个数据的第P百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算c＝n×r%． 第3步，若c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是． 【记牢常用结论】 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 学生用书↓第226页 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近 B．方差与标准差具有相同的单位 C．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变 D．在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数 答案：CD 2．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　) A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 答案：A 解析：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之积的和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A. 3．某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是______________． 答案：13.7,14.7,15.3 解析：将12个数据按从小到大排序：13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7；由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3. 4．(用结论)已知x1，x2，…，x10的平均值为6，方差为3，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均值为________，方差为________． 答案：11　12 解析：新数据的平均值为2×6－1＝11，新数据的方差为22×3＝12. 考点一　百分位数的估计基础练 [(1)某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是(　　) 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 (2)为了解”双减“政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了某地区1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：min)分成6组：第一组[30,40)，第二组[40,50)，第三组[50,60)，第四组[60,70)，第五组[70,80)，第六组[80,90]，经整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为________ min. 答案：(1)B　(2)47.5 解析：(1)抽取的工人总数为20,20×60%＝12，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序后的第12项与第13项数据的平均数，第12项与第13项数据分别为9,9，所以第60百分位数是9.故选B. (2)由10×0.01＝0.1<0.25,10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，故第25百分位数位于[40,50)内，则第25百分位数为40＋×10＝47.5，可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5. 规律方法 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 学生用书↓第227页 对点练1.(1)(2024·陕西宝鸡模拟)一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2,4,5，x,11,14,15,39,41,50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则x的值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)如图所示是由某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是________． 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)依题意10×40%＝4是整数，那么40%分位数9.5就是第4、第5位数的平均值，所以＝9.5，解得x＝8.故选C. (2)由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2. 考点二　总体集中趋势的估计综合练 [某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数； (2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数． 解：(1)由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1， 解得a＝0.3； 故月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000. (2)由图可估计众数为2.25； 设中位数为x， 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5， 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04， 故居民月均用水量的中位数为2.04. 规律方法 频率分布直方图中的数字特征 1．众数：最高矩形的底边中点的横坐标． 2．中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． 3．平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 对点练2.(1)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值： 396　275　268　225　168　166　176　173　188 168　141　157 若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是(　　) A．极差 B．中位数 C．众数 D．平均数 (2)[多选题]2023年7月下旬，某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5 000万元物资以援助抗灾，随后该品牌受到消费者的青睐，如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量(单位：件)情况．以下描述正确的是(　　) 学生用书↓第228页 A．这8个月销量的极差为4 132 B．这8个月销量的中位数为2 499 C．这8个月中2月份的销量最低 D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份 (3)[多选题](2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值， x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5 的标准差不小于 x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 答案：(1)C　(2)ACD　(3)BD 解析：(1)根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，会发生改变；加入数据前，中位数为＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变；众数为数据中出现次数最多的数，不会改变；平均数体现数据的整体水平，会发生改变．故选C. (2)对于A，这8个月销量的极差为4 844－712＝4 132，故A正确；对于B，这8个月的销量从小到大依次为712,1 433,1 533,1 952,2 822,3 046,4 532，4 844，所以这8个月销量的中位数是＝2 387，故B不正确；对于C，由题图可知，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，由题图可知，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，增加了4 532－2 822＝1 710(件)，故D正确． (3)对于选项A，当x2，x3，x4，x5的平均数不等于x1，x6的平均数时，A选项不成立；故A错误；对于选项B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；对于选项C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：1,4,4,4,4,7，则平均数n＝×(1＋4×4＋7)＝4，标准差s1＝，4,4,4,4，则平均数m＝4，标准差s2＝0，显然>0，即s1>s2，故C错误；对于选项D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. 考点三　总体离散程度的估计多维练 角度1　方差与标准差 (2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． 解：(1)由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)的值分别为：9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12， 所以＝i＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：＝11,2＝2＝，故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 规律方法 利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据 1．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 2．用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 角度2　分层随机抽样的方差与标准差 某学校有男生400人，女生600人．为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间均值为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为________． 答案：0.76 解析：由题意，总体的均值为×7.5＋×7＝7.2，根据分层随机抽样的性质，则总体的方差为×[1＋(7.5－7.2)2]＋×＝0.436＋0.324＝0.76. 规律方法 计算分层随机抽样的方差的步骤 第一步：确定1，2，s，s； 第二步：确定； 第三步：应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋·[s＋(2－)2]，计算s2. 学生用书↓第229页 对点练3.(1)在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是1.6，全年比赛失球个数的标准差是1.1；蓝队每场比赛平均失球个数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的是(　　) A．平均来说，蓝队比红队防守技术好 B．相对于红队而言，蓝队很少失球 C．红队有时表现很差，有时表现又非常好 D．蓝队比红队技术水平更不稳定 (2)已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的标准差是________． (3)某校有高中生2 000人，为了获得该校全体高中生的身高信息，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20，则总样本的方差为________． 答案：(1)C　(2)4　(3)43 解析：(1)因为红队每场比赛平均失球数是1.6，蓝队每场比赛平均失球数是2.2，所以平均来说红队比蓝队防守技术好，故A错误；因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以相对于红队而言，蓝队经常失球，故B错误；因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以红队有时表现很差，有时表现又非常好，相比较而言，蓝队比红队技术水平更稳定，故C正确，D错误．故选C. (2)因为数据x1，x2，…，xn的方差为4，所以数据2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的方差为22×4＝16，所以数据2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的标准差为＝4. (3)因为男生样本的均值为170，女生样本的均值为160，所以总样本的均值为×170＋×160＝165，所以总样本的方差s2＝×[16＋(170－165)2]＋×[20＋(160－165)2]＝43. 课时测评74　用样本估计总体 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8，每小题5分，共40分) 1．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据(　　) A．众数为2 B．平均数为2.5 C．方差为1.6 D．标准差为4 答案：C 解析：由题中数据可得，众数为2和3，故A错误；平均数为＝＝3，故B错误；方差s2＝＝1.6，标准方差为≠4，故C正确，D错误．故选C. 2．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级)的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是(　　) A．3，5 B．3，3 C．3.5，5 D．3.5，4 答案：C 解析：由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为＝3.5，乙成绩等级的众数为5.故选C. 3．(2024·贵州贵阳模拟)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了解学生在暑假期间每天的读书时间(单位：时)，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则下列说法错误的是(　　) A．从高一学生中抽取40人 B．抽取的高二学生的总阅读时间是93时 C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为2.8时 D．估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966 答案：C 解析：对于A，根据分层随机抽样，分别从高一、高二、高三学生中抽取40人、30人、30人，故A正确；对于B，抽取的高二学生的总阅读时间是2×30＝93(时)，故B正确；对于C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为×2.7＋×3.1＋×3.3＝3(时)，故C错误；对于D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为×[1＋]＋×[2＋]＋×[3＋(3.3－3)2]＝1.966，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966，故D正确．故选C. 4．(2024·四川乐山模拟)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本方差相同 B．两组样本数据的样本众数相同 C．两组样本数据的样本平均数相同 D．两组样本数据的样本中位数相同 答案：A 解析：因为原来样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)，新样本平均数＝(y1＋y2＋…＋yn)＝＋c，故C错误；原来样本方差为s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，新样本方差为s＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]＝s，故A正确；设原样本众数为a，则新样本众数为a＋c，故B错误；设原样本中位数为b，则新样本中位数为b＋c，故D错误．故选A. 5．[多选题]在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有(　　) A．平均来说甲队比乙队防守技术好 B．乙队比甲队的防守技术更稳定 C．每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D．甲队比乙队的防守技术更稳定 答案：AB 解析：甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均来说甲队比乙队防守技术好，故A选项正确；甲队每场比赛平均失球数方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数方差是0.4，乙队比甲队的防守技术更稳定，故B选项正确，D选项错误；甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，甲队的平均失球数比乙队少，但是每轮比赛甲队的失球数不一定比乙队少，故C选项错误．故选AB. 6．[多选题]为了坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是(　　) A.众数约为2.5 B．中位数约为3.83 C．平均数为3.95 D．第80百分位数约为5.2 答案：BCD 解析：对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长的众数为＝3.5，故A错误；对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则0.25＋×0.30＝0.5，解得x≈3.83，故B正确；对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数为0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋0.25×5.5＝3.95，故C正确；对于D，因为0.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数约为5＋＝5.2.故D正确．故选BCD. 7．一组数据按从小到大的顺序排列为2，2，3，x，5，5，若这组数据的中位数为4，则这组数据的众数为________． 答案：5 解析：因为中位数为4，所以＝4，所以x＝5，所以这组数据的众数是5. 8．已知某样本数据分别为1，2，3，a，6，若样本平均数＝3，则样本方差s2＝________． 答案： 解析：由题设，得＝＝3，可得a＝3，所以s2＝＝. 9．(10分)灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其中10种表现得分如下表： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 a (1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值； (2)在(1)的条件下，判断甲、乙两人谁的表现更稳定． 解：(1)根据题中所给数据， 甲＝×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8， 乙＝×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋a)＝8，解得a＝8. (2)s＝×(0＋1＋1＋1＋1＋4＋4＋4＋0＋4)＝2， s＝×(4＋1＋0＋4＋0＋1＋1＋1＋0＋0)＝， 由2>，得乙的表现更稳定． 10．(12分)某中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好．为了提高中药产品的质量，我国医疗科研专家攻坚克难，研发出A，B两种新配方，在这两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定质量指标值小于85为废品，在[85，115)内为一等品，不小于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方的样本中有6件废品． A配方的频数分布表 质量指标值 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125] 频数 8 a 36 24 8 B配方的频率分布直方图 (1)求实数a，b的值； (2)试确定A配方和B配方哪一种更好．(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作代表) 解：(1)依题意，A，B两种配方的样本容量相同，设为n. 由B配方的样本中有6件废品，结合B配方的频率分布直方图，得＝0.006×10，解得n＝100， 所以a＝100－(8＋36＋24＋8)＝24. 由(0.006＋b＋0.038＋0.022＋0.008)×10＝1，得b＝0.026. 所以实数a，b的值分别为24，0.026. (2)由(1)及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数 A＝＝100， A配方质量指标值的样本方差s＝×[(－20)2×8＋(－10)2×24＋0×36＋102×24＋202×8]＝112. 由(1)及B配方的频率分布直方图得， B配方质量指标值的样本平均数B＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100， B配方质量指标值的样本方差s＝×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 综上，A＝B，s>s， 即A，B两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值没有B配方质量指标值稳定，所以B配方更好． (每小题6分，共24分) 11．[多选题](2024·重庆模拟)创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．样本中年收入在[500，600)的中小企业约有16家 B．样本的中位数大于400万元 C．估计全国中小企业年收入的平均数为376万元 D．样本在区间[500，700]内的频数为18 答案：CD 解析：由题图，得(0.001＋0.002＋0.002 6＋0.002 6＋x＋0.000 4)×100＝1，解得x＝0.001 4，所以年收入在[500，600)的中小企业约有0.001 4×100×100＝14(家)，故A不正确；因为(0.001＋0.002)×100＝0.3<0.5，(0.001＋0.002＋0.0026)×100＝0.56>0.5，所以样本的中位数小于400万元，故B不正确；由题图可知，样本中中小企业年收入的平均数为[0.001×150＋0.002×250＋0.002 6×(350＋450)＋0.001 4×550＋0.000 4×650]×100＝376(万元)，所以估计全国中小企业年收入的平均数为376万元，故C正确；样本在区间[500，700]内的频数为(0.001 4＋0.000 4)×100×100＝18，故D正确．故选CD. 12．根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4组样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下： ①平均数<4； ②标准差s<4； ③平均数<4且极差小于或等于3； ④众数等于5且极差小于或等于4. 则4组样本中一定符合入冬指标的共有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 答案：B 解析：①举反例：0，0，0，4，11，其平均数＝3<4，但不符合入冬指标；②举反例：11，11，11，11，11，其标准差s＝0<4，但不符合入冬指标；③假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，此组数据中的最小值为10－3＝7，此时数据的平均数必然大于7，与<4矛盾，故假设错误．则此组数据全部小于10.符合入冬指标；④因为众数为5，极差小于或等于4，所以最大数不超过9，符合入冬指标．故选B. 13．若等差数列{xn}的公差为3，则x1，x2，x3，…，x9的方差为________． 答案：60 解析：由等差数列{xn}的公差为3，可知＝＝＝＝x5，所以方差s2＝[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]＝(16d2＋9d2＋4d2＋d2)×2＝d2＝×9＝60. 14．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为________，________． 答案：115　265 解析：依题意A＝130，s＝115，B＝110，s＝215，所以＝×130＋×110＝115(分)，所以全班学生的平均成绩为115分．全班学生成绩的方差为s2＝[s＋(A－)2]＋[s＋(B－)2]＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265. (每小题7分，共14分) 15．[多选题]某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数(单位：μg/m3)不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标．根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是(　　) A．甲地区：平均数为80，方差为40 B．乙地区：平均数为50，众数为40 C．丙地区：中位数为50，极差为60 D．丁地区：极差为10，80%分位数为90 答案：AD 解析：设每天的空气质量指数为xi(i＝1，2，…，10)，则方差s2＝(xi－)2.对于A，由(xi－80)2＝40，得(xi－80)2＝400，如果这10天中有1天的空气质量指数超过100，则必有(xi－80)2>400，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不超过100，故A正确；对于B，如果有8天为40，有1天为150，有1天为30，此时平均数为50，众数为40，但该地区环境治理不达标，故B错误；对于C，第1天为110，后面9天为50，此时中位数为50，极差为60，但该地区环境治理不达标，故C错误；对于D，如果最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90，这与80%分位数为90矛盾，故最大值不超过100，故D正确．故选AD. 16．[多选题]已知一组数据丢失了一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是(　　) A．4 B．12 C．18 D．20 答案：AC 解析：设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3，若3<x<5，则中位数为x，此时＋3＝2x，解得x＝4；若x≥5，则中位数为5，此时＋3＝2×5，解得x＝18.综上所述，丢失的数据可能是4或18.故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$