9 第八节 余弦定理和正弦定理(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第八节　余弦定理和正弦定理 【课程标准】　通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径． 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系 式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 【记牢常用结论】 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C. (2)cos(A＋B)＝－cos C. (3)sin＝cos. (4)cos＝sin. 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B C．在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 D．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形 答案：ACD 2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． 答案：D 解析：由＝得b＝＝＝×2＝.故选D. 3．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________. 答案：30° 解析：由正弦定理得sin C＝＝＝，因为b>c，B＝45°，所以C＝30°. 4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________． 答案：　 解析：依题意得cos A＝＝，所以sin A＝＝，所以△ABC的面积为bcsin A＝. 5．(用结论)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 学生用书↓第97页 考点一　利用正、余弦定理解三角形综合练 [(10分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [思路分析]　(1) 学生用书↓第98页 规律方法 应用正弦、余弦定理解题的技巧 1．求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解． 2．求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解．　　 3．利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 对点练1.(1)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解，但解的个数不确定 (2)(2024·陕西西安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋csin A＝0，c＝2，b＝4，则a＝________. 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝>1，所以B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C. (2)因为acos C＋csin A＝0，所以由正弦定理得sin Acos C＋sin Csin A＝0，又sin A≠0，所以tan C＝－，因为0<C<π，所以C＝.由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos C，得(2)2＝42＋a2－2×4×a×cos，化简得a2＋4a－12＝0，解得a＝2或a＝－6(舍去)，故a＝2. 对点练2.(2024·江西五校高三联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝6，且＋＝1. (1)求角A； (2)若B＝，求边b. 解：(1)由＋＝1及正弦定理，得＋＝1， 整理得b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)知A＝，因为B＝， 由正弦定理得＝＝＝4， 所以b＝4sin B＝4×＝2. 考点二　判断三角形的形状综合练 [(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为____________． 答案：(1)A　(2)直角三角形或等腰三角形 解析：(1)因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝sin2A，又0<A<π，故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．故选A. (2)由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B，故△ABC为直角三角形或等腰三角形． [变式探究] 1．(变条件)若将本例(1)中的条件改为”2sin Acos B＝sin C“，试判断△ABC的形状． 解：法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0， 因为－π<A－B<π，所以A＝B， 故△ABC为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b， 故△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)若将本例(1)中的条件改为”＝“，试判断△ABC的形状． 解：法一：由余弦定理得，＝＝，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，所以a＝b或c2＝a2＋b2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 法二：由＝可知cos A>0，cos B>0，即A∈，B∈， 结合题意及正弦定理可得＝，即sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 学生用书↓第99页 规律方法 判断三角形形状的两种常用途径 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．　　 对点练3.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案：C 解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝，由2cos Asin B＝sin C及正弦定理得，cos A＝＝＝，所以b2＝a2，即b＝a，又C＝，故该三角形为等边三角形．故选C. 考点三　与三角形面积有关的问题综合练 [(2024·广东佛山模拟)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin 2C＋cos(A＋B)＝0. (1)求角C； (2)当a＝4，c＝时，求△ABC的面积． 解：(1)因为sin 2C＋cos(A＋B)＝0，且A＋B＋C＝π， 所以sin 2C＋cos(A＋B)＝sin 2C＋cos(π－C)＝2sin Ccos C－cos C＝0， 即2sin Ccos C＝cos C， 所以cos C＝0或sin C＝， 解得C＝或或. (2)因为a＝4，c＝，所以C＝， 根据余弦定理得cos C＝， 所以＝，即b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3， 当b＝1时，S△ABC＝absin C＝×4×1×＝， 当b＝3时，S△ABC＝absin C＝×4×3×＝3， 所以△ABC的面积为或3. 规律方法 三角形面积问题的常见类型 1．求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积． 2．已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系． 3．已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形．　　 对点练4.在△ABC中，sin 2C＝sin C. (1)求∠C； (2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长． 解：(1)因为sin 2C＝sin C， 所以2sin Ccos C＝sin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 所以cos C＝，得C＝. (2)因为△ABC的面积S＝absin C＝×a×6×＝6，所以a＝4. 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1)． 课时测评34　余弦定理和正弦定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，则cos A＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，所以由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，则cos A＝＝－.故选B. 2．(2024·江西吉安模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　) A．2 B．2 C．2－2 D．1 答案：B 解析：由已知及正弦定理得，sin Asin B＝sin Bcos A且sin B≠0，可得tan A＝，又0<A<π，所以A＝，又b＝2，c＝2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝16－12＝4，解得a＝2.故选B. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 答案：D 解析：由余弦定理可得cos B＝，故c＝2acos B＝2a×＝，即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选D. 4．(2024·陕西咸阳模拟)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin C＝，c＝4，B＝，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．1或7 D．2或14 答案：C 解析：由＝可得b＝，因为sin C＝，所以cos C＝－或cos C＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sincos C＋cossin C，故sin A＝或sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××4×＝1或S△ABC＝bcsin A＝××4×＝7.故选C. 5．[多选题](2024·辽宁大连模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若＝，则A＝ B．若sin 2A＝sin 2B，则此三角形为等腰三角形 C．若a＝1，b＝2，A＝30°，则此三角形必有两解 D．若△ABC是锐角三角形，则sin A＋sin B>cos A＋cos B 答案：AD 解析：由正弦定理可知＝，又＝，所以＝，可得tan A＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；因为2A∈(0,2π)，2B∈(0,2π)，且2A,2B最多有一个大于π，所以由sin 2A＝sin 2B可知，2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得sin B＝＝＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝，故此三角形有唯一解，故C错误；因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即>A>－B>0，又y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin＝cos B，同理sin B>sin＝cos A，所以sin A＋sin B>cos A＋cos B，故D正确．故选AD. 6．[多选题](2024·四川资阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B，下列结论中正确的是(　　) A．A＝ B．A＝ C．当a＝4时，△ABC面积的最大值为2 D．当b－c＝时，△ABC为直角三角形 答案：BD 解析：由＝tan A＋tan B及正弦定理得＝tan A＋tan B，即＝tan A＋tan B⇒＝tan A＋tan B，即＝tan A＋tan B，因为在三角形中tan A＋tan B≠0，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故A错误，B正确；若a＝4，由b2＋c2－a2＝bc得16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，所以S△ABC＝bcsin A≤×16×＝4，即△ABC面积的最大值为4，故C错误；由b－c＝得b＝c＋，将其代入b2＋c2－a2＝bc中得3c2＋ac－2a2＝0，所以(c－a)(c＋2a)＝0，因为a>0，c>0，所以c－a＝0⇒a＝c，即b＝2c，所以满足b2＝a2＋c2，故△ABC为直角三角形，故D正确．故选BD. 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________. 答案： 解析：由三角形的面积公式可得S△ABC＝bcsin A＝c＝，解得c＝4，由余弦定理可得a＝＝，设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得＝＝＝2r，所以＝＝2r＝＝＝. 8．(2024·江西宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________． 答案： 解析：因为bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，所以sin A＝，因为b2＋c2－a2＝8，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得2bccos A＝8，所以A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝××＝. 9．(2024·广西梧州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)cos C＝c(cos A＋cos B)，a＝4，b＝6，则c＝________. 答案：2 解析：由正弦定理得(sin A＋sin B)cos C＝sin C(cos A＋cos B)，所以sin Acos C＋sin Bcos C＝sin Ccos A＋sin Ccos B，所以sin Acos C－sin Ccos A＝sin Ccos B－sin Bcos C，即sin(A－C)＝sin(C－B)．又A，B，C是三角形的内角，A－C＋C－B＝A－B∈(－π，π)，所以A－C＝C－B，所以A＋B＝2C，所以C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋62－2×4×6×＝28，所以c＝2. 10．(12分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 11．(12分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC 的面积． 解：(1)由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos∠ABC＝＝＝， sin∠ABC＝ ＝ ＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ADC＝S△ABC＝×＝ . 12．(14分)(2024·重庆模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(A－B)tan C＝sin Asin B. (1)求； (2)若cos B＝，求sin A. 解：(1)因为sin(A－B)tan C＝sin Asin B， 所以sin(A－B)＝sin Asin B， 所以sin(A－B)sin C＝sin Asin Bcos C， 即sin Acos Bsin C－cos Asin Bsin C ＝sin Asin Bcos C， 由正弦定理可得accos B－bccos A＝abcos C， 由余弦定理可得ac·－bc·＝ab·， 所以a2＋c2－b2－b2－c2＋a2＝a2＋b2－c2，即a2＋c2＝3b2，所以＝3. (2)由题意可知cos B＝＝，又a2＋c2＝3b2，可得a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0， 所以a＝c，即△ABC为等腰三角形， 由cos B＝2cos2－1＝， 解得cos＝或cos＝－， 因为B∈，所以∈， 所以cos＝， 所以sin A＝sin＝cos＝. 13．(17分)(2024·福建福州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3·＋4·＝·. (1)求； (2)已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积． 解：(1)已知3bccos A＋4accos B＝abcos C， 代入余弦定理，3(b2＋c2－a2)＋4(a2＋c2－b2)＝a2＋b2－c2，化简得4c2＝b2，所以＝2. (2)由正弦定理知＝，即sin B＝2sin C， 又B＝3C，故sin B＝sin 3C＝sin(2C＋C)＝sin 2C·cos C＋cos 2C·sin C＝2sin C·(1－sin2C)＋(1－2sin2C)sin C＝3sin C－4sin3C＝2sin C， 即3－4sin2C＝2，得sin C＝，故C＝，此时B＝3C＝，b＝2c＝2AB＝2，BC＝，则△ABC的面积S△ABC＝×1×＝. 学生用书↓第100页 学科网（北京）股份有限公司 $$