8 第七节 三角函数中ω的求解(培优课4)(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第七节　三角函数中ω的求解(培优课4) 题型一　三角函数的周期T与ω的关系 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B. C. D.100π 答案：B 解析：因为至少出现50次最大值，即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥.故选B. 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．　　规律方法 对点练1.函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________. 答案：－ 解析：因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω＝＝2，得f(x)＝cos，所以f＝cos＝－cos＝－. 题型二　三角函数的单调性与ω的关系 (1)函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω的值为(　　) A. B.1 C.2 D. (2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，在上单调递减得，f＝sin＝1，所以ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋3k(k∈Z)，又f(x)在上单调递减，所以≥2π－，所以≥，解得ω≤，因为ω>0，所以ω＝.故选A. (2)法一：由题意得 则 又ω>0，所以所以k＝0，则0<ω≤.故选B. 法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B. 　规律方法 已知单调性求ω取值范围的方法 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围： 1．根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0<ω≤. 2．以单调递增为例，利用⊆(k∈Z)，解得ω的取值范围．　 学生用书↓第95页 3．结合第一步求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 对点练2.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：D 解析：因为f＝3，f(π)＝0，所以π－＝·T(n∈N*)，T＝，因为f(x)在上单调递减，所以≥－＝，所以T≥，即≥，所以2n－1≤10，所以n＝1,2,3,4,5，即周期T有5个不同的取值，经验证均符合题意，所以ω的取值共有5个．故选D. 题型三　三角函数的对称性与ω的关系 已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 答案：A 解析：因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥.又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A. 规律方法 已知对称性求ω的方法 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的”水平间隔“为，相邻的对称轴和对称中心之间的”水平间隔“为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围．　　 对点练3.已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案：C 解析：因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B；又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z，当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1，当k＝1时，≤ω≤，符合题意，当k＝2时，≤ω≤，符合题意，当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确． 题型四　三角函数的最值与ω的关系 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是______________． 答案：(－∞，－2]∪ 解析：显然ω≠0，x∈，当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，所以－ω≤－，解得ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，所以ω≤－，即ω≤－2.综上，ω的取值范围是(－∞，－2]∪. 规律方法 利用三角函数的最值与周期或其图象的对称性之间的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．　　 对点练4.(2024·辽宁大连模拟)已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间内有最小值，无最大值，则ω＝________. 答案： 解析：因为f＝f，且×＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间内有最小值，无最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，又f(x)在区间内有最小值，无最大值，所以≥－，解得ω≤12，所以当k＝1时，ω＝. 题型五　三角函数的零点与ω的关系 (1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有 3 个零点，则ω的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)[2,3) 解析：(1)由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.综上，ω的取值范围为.故选C. (2)因为 0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 规律方法 已知零点个数求ω取值范围的方法 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值．　　 对点练5.(2024·安徽马鞍山质量监测)已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的图象经过点(0，)，若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由条件可知f(0)＝tan φ＝，|φ|<，所以φ＝，f(x)＝tan.当x∈[0，π]时，ωx＋∈，若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则2π≤ωπ＋<3π，解得≤ω<.故选D. 课时测评33　三角函数中ω的求解(培优课4) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．若直线x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 答案：A 解析：依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2.故选A. 2．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.故选C. 3．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是(　　) A. B. C. D．2 答案：C 解析：由题意得φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin ωx，因为f(x)在上单调递减，所以－×ω≥－＋2kπ，k∈Z，且×ω≤＋2kπ，k∈Z，解得(k∈Z)，又ω>0，当k＝0时，0<ω≤，当k>0时，无解．故ω的最大值为.故选C. 4．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A．(5,8) B．(5,8] C．(5,11] D．[5,11) 答案：B 解析：由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围为(5,8]．故选B. 5．若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为0≤x≤π，且ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－，而f(x)在[0，π]上的值域为，f(0)＝sin＝－，所以≤ωπ－≤，整理可得≤ω≤，所以ω的最小值为.故选A. 6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为0≤x≤，且ω>0，所以≤ωx＋≤＋.又f(x)在上恰有两个零点，所以＋≥2π且＋<3π，解得≤ω<4.故选A. 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 答案：B 解析：由题意知－＝·T＝·，所以ω＝2n－1(n∈N*)．又f(x)在上单调，所以＝≥－，即ω≤12，当ω＝11时，由题意可得×11＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝－，所以函数f(x)＝sin，当x∈时，11x－∈，所以f(x)在区间上不单调，所以ω≠11；当ω＝9时，由题意可得×9＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝，所以函数f(x)＝sin，当x∈时，9x＋∈，所以f(x)在区间上单调，所以ω＝9.故选B. 8．[多选题]已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝，则ω的值可能是(　　) A. B. C.1 D. 答案：ACD 解析：由题意得所以⇒ω＝，1，.故选ACD. 9．[多选题]已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，下列说法中正确的是(　　) A．若ω＝1，则f(x)在上是增函数 B．若f＝f，则正整数ω的最小值为2 C．若ω＝2，则把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度所得到的图象关于原点对称 D．若f(x)在(0，π)上有且仅有3个零点，则<ω≤ 答案：BD 解析：对于A，若ω＝1，则f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin＝2sin，因为x∈，所以x＋∈，不是单调区间，故A错误；对于B，若f＝f，则f(x)的图象关于x＝对称，所以ω·＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，当k＝0时，正整数ω取得最小值，为2，故B正确；对于C，若ω＝2，则f(x)＝2sin，其图象向右平移个单位长度后可得y＝2sin＝2sin的图象，该函数不是奇函数，则图象不关于原点对称，故C错误；对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈，所以3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤，故D正确．故选BD. 10．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，则ω的取值范围是________． 答案： 解析：由函数f(x)＝sin(ω>0)，令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z.因为函数f(x)的图象在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，即满足0≤≤π的整数k有4个．由0≤≤π，得0≤≤1，即0≤1＋4k≤4ω，则k＝0,1,2,3，即1＋4×3≤4ω<1＋4×4，所以≤ω<. 11．(2024·安徽宿州模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0,2π))的一条对称轴为直线x＝－，且f(x)在上单调，则ω的最大值为________． 答案： 解析：函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝－(k∈Z)，由f(x)在上单调，可得∃k0∈Z，使得解得k0≤ω≤(k0＋1)，又因为ω>0，所以k0＝0,1,2,3，所以当k0＝3时，ω可取最大值为. 12．函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为________． 答案： 解析：由正弦函数性质，得2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，即－≤x≤＋(k∈Z)， 因为f(x)在上单调递增， 所以(k∈Z，) 则(k∈Z，) 又ω>0，则0<ω≤，又存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，而此时ωx0＋∈，＋]，所以≤＋<，得≤ω<，综上，ω的取值范围为≤ω≤. (每小题8分，共16分) 13.(2024·安徽铜陵模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0,2π)上恰有5个实根，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由方程|f(x)|＝＝1，可得sin＝±，所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，所以<2ωπ＋≤，解得<ω≤，即ω的取值范围是.故选D. 14．[多选题](2024·河南新乡模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)，则下列判断正确的是(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2 B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为 答案：CD 解析：因为f(x)＝1－2cos2＝－cos＝sin，所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误；对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y＝sin，因为其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0,2)，所以B错误；对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C正确；对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．故选CD. (每小题12分，共24分) 15．(2024·江西上饶模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由条件可得，g(x)＝cos，又f(x)＝sin＝cos ωx，作出两个函数图象，如图， A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点．由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝＝2CD，由cos ωx＝cos，整理得cos ωx＝sin ωx，得cos ωx＝±，则yC＝－yB＝，所以BD＝2|yB|＝，要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可，即tan∠ACB＝＝<1，所以0<ω<. 16．(新定义)若在函数y＝f(x)的定义域内存在x1，x2(x1≠x2)，使＝1成立，则称该函数为”互补函数“．函数f(x)＝cos－sin(ω>0)，则当ω＝3时，f＝______；若f(x)在[π，2π]上为”互补函数“，则ω的取值范围为________． 答案：0　∪ 解析：由函数f(x)＝cos－sin＝cos＋sin＝cos＝sin ωx，当ω＝3时，f(x)＝sin 3x，可得f＝sin π＝0； 令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，则≤π，可得ω≥2， 当2T＝2×≤π时，即ω≥4，显然符合题意； 当解得≤ω≤；当解得≤ω<4. 综上，ω的取值范围是∪. 学生用书↓第96页 学科网（北京）股份有限公司 $$