4 第四节 简单的三角恒等变换(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第四节　简单的三角恒等变换 【课程标准】　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 半角公式 (1)sin＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± . 符号由所在象限决定． 【记牢常用结论】 1．tan＝＝. 2．万能公式 sin α＝；cos α＝； tan α＝. 1．[多选题]下列结论正确的是(　　) A．半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B．存在实数α，使tan 2α＝2tan α C．cos2＝1＋ D．tan＝＝ 答案：ABD 2． cos 15°＝(　　) A. B. C．± D．± 答案：A 解析：因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝ .故选A. 3．已知sin α＝，cos α＝，则tan等于(　　) A．2－　　 B．2＋ C．－2　 D．±(－2) 答案：C 解析：因为sin α＝，cos α＝，所以tan＝＝－2.故选C. 4．(用结论)tan＝________. 答案：－1 解析：tan＝＝＝－1. 学生用书↓第83页 考点一　三角函数式的化简基础练 [化简：(1)； (2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β. 解：(1) ＝ ＝＝4sin α. (2)法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β ＝＋ －cos 2αcos 2β ＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝. 法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)(cos2β－sin2β) ＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β) ＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)] ＝(sin2α＋cos2α)＝. 规律方法 三角函数式的化简要遵循”三看“原则 　　 对点练1.(1)化简：·＝(　　) A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α (2)化简：·＝________. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)原式＝＝＝cos α.故选D. (2)原式＝tan(90°－2α)·＝ ·＝·＝. 考点二　三角函数式的求值多维练 角度1　给角求值 (1)tan 20°＋4sin 20°＝(　　) A． B．1 C． D．2 (2)＝________. 答案：(1)C　(2)4 解析：(1)tan 20°＋4sin 20°＝＋4sin 20°＝ ＝ ＝＝.故选C. (2) ＝＝＝4. 规律方法 给角求值问题的基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： 1．特殊角的三角函数值． 2．正、负相消的项和特殊角的三角函数值． 3．可约分的项和特殊角的三角函数值等．　　 角度2　给值求值 (1)已知5sin 2α＋6cos(π－α)＝0，α∈，则cos2＝(　　) A．－ B. C. D. (2)(2024·山东日照模拟)已知sin θ＝，cos θ＝，则tan＝________. 答案：(1)B　(2)5 解析：(1)由题知10sin αcos α＝6cos α，因为α∈，所以cos α≠0，所以sin α＝，cos α＝＝，则cos2＝cos2＝＝＝＝.故选B. (2)由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，解得m＝0或m＝8.当m＝0时，sin θ<0，不符合题意，舍去；当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，符合题意， 则tan＝＝＝5. 规律方法 给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把”所求角“用”已知角“表示． 1．当”已知角“有两个时，”所求角“一般表示为两个”已知角“的和或差的形式或者和或差的二倍形式． 2．当”已知角“有一个时，此时应着眼于”所求角“与”已知角“的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差角公式、倍角公式求解．　　 学生用书↓第84页 角度3　给值求角 已知sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________. 答案： 解析：因为sin α＝，且α为锐角， 所以cos α＝＝＝， 因为cos β＝，且β为锐角， 所以sin β＝＝＝， 所以sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝， cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝， 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝×－×＝，因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)． 所以α＋2β∈，故α＋2β＝. 规律方法 给值求角问题的解题原则 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则： 1．已知正切函数值，选正切函数． 2．已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．　　 对点练2.(1)＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)(2024·安徽宣城二调)已知sin α－sin＝，则cos＝(　　) A．－ B． C． D． (3)已知α∈，tan＝，则α＝________. 答案：(1)C　(2)C　(3) 解析：(1)原式＝＝＝＝.故选C. (2)由题意可知，sin α－sin＝sin α－＝sin α－cos α＝sin＝，所以cos＝cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝.故选C. (3)tan＝＝，整理得sin＝cos，即sin＝sin，因为α∈，所以α－∈，所以α－＝，所以α＝. 考点三　三角恒等变换的综合应用综合练 [已知f(x)＝sin＋2sin·cos. (1)求f的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)由题意得 f(x)＝sin＋2sincos ＝sin－2sincos ＝sin－2sincos ＝sin－sin ＝sin 2xcos－cos 2xsin＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 故f＝sin＝0. (2)因为α∈，所以2α＋∈， 又因为f(α)＝， 所以f(α)＝sin＝， 又因为sin＝<， 所以2α＋∈， 所以cos＝－＝－， 所以sin 2α＝sin ＝sincos－cossin ＝×＋× ＝. 规律方法 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．　　 对点练3.已知3sin α＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 解：(1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α， 所以tan α＝－， 又因为sin 2α＋cos 2α＝ ＝， 所以sin 2α＋cos 2α＝＝. (2)因为β∈，所以tan β<0， 因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－， 又因为α∈(0，π)，tan α＝－， 所以<α<π. 所以tan(α＋β)＝＝＝－1， 由得π<α＋β<2π， 所以α＋β＝. 课时测评29　简单的三角恒等变换 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．已知α∈(0，π)，2sin 2α＝cos 2α－1，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：由题知4sin αcos α＝－2sin2α.因为α∈(0，π)，所以sin α>0,2cos α＝－sin α，所以cos α<0，结合sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝－.故选B. 2．(2023·河南洛阳高三阶段练习)已知tan＝3，则＝(　　) A．－ B． C．－3 D．3 答案：D 解析：因为tan＝3，所以＝3，解得tan α＝，则原式＝＝＝3.故选D. 3．(2024·湖北武汉模拟)已知sin＝，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：sin＝sin＝－cos＝2sin2－1＝－.故选D. 4．若λcos 50°－tan 40°＝，则λ＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 答案：C 解析：由已知得，λsin 40°－＝，则λsin 40°cos 40°－sin 40°＝cos 40°，整理得sin 80°＝cos 40°＋sin 40°＝2＝2sin(60°＋40°)＝2sin 100°＝2sin 80°，所以＝2，解得λ＝4.故选C. 5．[多选题]已知α∈(π，2π)，sin α＝＝tan，则(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．tan β＝4 D．cos β＝ 答案：BD 解析：因为sin α＝tan αcos α＝，且α∈(π，2π)，所以cos α＝，所以sin α＝－，tan α＝－；故A错误，B正确；即tan＝－，所以tan β＝＝－4，cos β＝＝＝，故C错误，D正确．故选BD. 6．[多选题]设α∈，β∈，若＝tan，则有(　　) A．sin α＝sin β B．cos α＝－cos β C．sin α＝cos β D．sin2＋sin2＝1 答案：ABD 解析：由＝tan， 得＝tan， 得＝. 因为α∈，所以∈，因此有＝，所以coscos－sinsin＝0，即cos＝0.又因为β∈，所以∈，所以∈，即＝，因此α＋β＝π，所以有sin α＝sin(π－β)＝sin β，cos α＝cos(π－β)＝－cos β，故A，B正确，C错误；sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1，故D正确．故选ABD. 7．化简：··＝________. 答案：1 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，sin2α＋cos2α＝1， 所以原式＝··＝＝1. 8．(2024·安徽阜阳模拟)若cos 2α＝－，sin(α－β)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝________. 答案：－ 解析：因为α∈，所以2α∈，所以sin 2α＝＝.又β∈，所以－β∈，所以α－β∈， 所以cos(α－β)＝－＝－， 所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝.因为α＋β∈，所以α＋β＝－. 9．(2023·山东淄博模拟)＝________. 答案： 解析：＝＝＝＝. 10．(13分)已知α∈，sin(π－α)＝. (1)求cos的值； (2)若β∈(0，π)，sin＝，求cos的值． 解：(1)因为sin(π－α)＝sin α＝，α∈，所以cos α＝＝＝. 因为cos α＝2cos2－1，且∈， 所以cos＝＝＝. (2)由(1)中cos＝，∈，可得sin＝. 因为β∈(0，π)，所以－∈，又α∈，所以α－∈， 又因为sin＝，所以cos＝， 所以cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 11．(14分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x. (1)求f的值； (2)若f＝，α∈，求cos α的值． 解：(1)因为f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin， 所以f＝1＋2sin＝1＋2sin＝1＋1＝2. (2)由f＝，α∈，得sin＝，cos＝， 所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝. (每小题6分，共12分) 12．(2024·湖南长沙适应性测试)若＝，则cos 2α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：由＝＝tan＝＝，得tan α＝2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.故选A. 13．(2024·广西钦州模拟)已知＝2，则tan θ＝(　　) A. B．－ C．－ D． 答案：C 解析：由＝ ＝＝tan＝2，得tan θ＝＝＝－.故选C. (每小题8分，共16分) 14．(新情境)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题设，可得cos 72°＝2cos236°－1＝，所以cos236°＝，又cos 36°∈，所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝.故选B. 15．(新角度)”无字证明“就是将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现．请观察图，并根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式tan θ＝＝，第一个括号为________，第二个括号为________． 答案：1＋cos 2θ　1－cos 2θ 解析：如图所示，CM＝sin 2θ，OM＝cos 2θ，在Rt△AMC中，tan θ＝＝＝，在Rt△CMB中，tan θ＝＝＝. 学生用书↓第85页 学科网（北京）股份有限公司 $$