2 第二节 函数的单调性与导数(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第二节　函数的单调性与导数 【课程标准】　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 微提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持”定义域优先“原则． 【记牢常用结论】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 1．[多选题]下列结论正确的是(　　) A．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性 B．在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减 C．若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增 D．函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数 答案：ABD 学生用书↓第55页 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 答案：D 解析：因为f′(x)＝－sin x－1<0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上是减函数．故选D. 3．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 答案：(0,1) 解析：函数f(x)的定义域为{x|x>0}， 由f′(x)＝1－<0，得0<x<1， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)． 4．(用结论)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________． 答案：3 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3. 考点一　不含参数的函数的单调性基础练 [(2024·湖南湘潭模拟)函数f(x)＝＋＋x的单调递减区间为________． 答案： 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋1＝，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为. 设f(x)＝，讨论f(x)的单调性． 解：由题得函数的定义域为R，f′(x)＝ ＝.令f′(x)>0，得cos x>－，即2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)．令f′(x)<0，得cos x<－，即2kπ＋<x<2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的增区间为(k∈Z)，减区间为(k∈Z)． 规律方法 确定函数单调区间的步骤 第一步：确定函数y＝f(x)的定义域； 第二步：求f′(x)； 第三步：解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为函数的单调递增区间； 第四步：解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为函数的单调递减区间．　　 对点练1.(2024·吉林长春质检)已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为f(x)＝excos x，所以f′(x)＝(cos x－sin x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在(0，π)上的增区间为.故选C. 考点二　含参数的函数的单调性综合练 [已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝.①当0<a<1，即>1时，若x∈(0,1)和，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减． ②当a＝1，即＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当a>1，即0<<1时，若x∈和(1，＋∞)，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0.所以函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 规律方法 讨论含参函数单调性的方法 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 提醒：个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．　　 对点练2.已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间． 解：函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R， 求导得f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立， 即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)＝ex－a<0，解得x<ln a， 即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． 学生用书↓第56页 考点三　函数单调性的应用多维练 角度1　比较大小或解不等式 (1)[多选题]下列不等式成立的是(　　) A．2ln<ln 2 B．ln<ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π (2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，π) D．(－π，0) 答案：(1)AD　(2)A 解析：(1)设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<2<e，所以f<f(2)，即2ln<ln 2.故选项A正确；因为<<e，所以f()<f()，即ln>ln.故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5.故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π.故选项D正确．故选AD. (2)对函数f(x)求导得f′(x)＝ex＋e－x＋cos x，因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f′(x)>0，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，又因为f(0)＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f(x)>0的解集为(0，＋∞)．故选A. 规律方法 利用导数比较大小或解不等式的方法 利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题．比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较；解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f ”．　 角度2　根据函数的单调性求参数 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 答案：C 解析：依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. [变式探究] 1．(变条件、变问法)在本例中，若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递增区间，求a的取值范围． 解：因为f(x)在(1,2)内存在单调递增区间， 所以∃x∈(1,2)，使f′(x)>0有解， 即x∈(1,2)时，不等式aex－>0有解， 即a>，x∈(1,2)有解， 由例5解析可知，∈，所以a>， 即a的取值范围为． 2．(变条件、变问法)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调，求a的取值范围． 解：因为f(x)在(1,2)上不单调， 所以当x∈(1,2)时，f′(x)＝0有解， 即方程aex－＝0有解， 即a＝在x∈(1,2)上有解， 由例5可知，∈， 所以a的取值范围为． 规律方法 已知函数单调性求解参数范围的步骤 第一步：对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)． 第二步：若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围． 第三步：验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值．　　 对点练3.(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为(　　) A．(－∞，1) B． C． D．(1，＋∞) (2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是______________． 答案：(1)D　(2)[0,1) 解析：(1)根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，此时有f′(x)＝ex＋sin x>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数．f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞)．故选D. (2)由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4(舍去)或x＝1，因为f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)，所以解得t∈[0,1)． 课时测评19　函数的单调性与导数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1,4]，则a＝(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 答案：A 解析：易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1,4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.故选A. 2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合．故选D. 3．已知函数f(x)＝ln x，且a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 答案：B 解析：由f(x)＝ln x，得f′(x)＝ln x＋，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为c＝f，0<<<<1，所以f>f>f，故c>a>b.故选B. 4．若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞) D．[－4，＋∞) 答案：A 解析：f′(x)＝4x＋a＋，由x>0，可得f′(x)＝4x＋a＋≥2＋a＝4＋a，所以f′(x)的最小值为4＋a.若要函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则4＋a<0，解得a<－4.故选A. 5．(新设问)[多选题]若函数f(x)·ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的函数为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 答案：AD 解析：令g(x)＝f(x)·ln x，x∈(0，＋∞)，对于A，g(x)＝·ln x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝>0恒成立，符合题意；对于B，g(x)＝(x－1)ln x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ln x－＋1，又′＝＋>0，g′(1)＝0，所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于C，g(x)＝·ln x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝，又′＝－－<0，所以g′(x)在定义域上单调递减，且g′(e)＝<0，不符合题意；对于D，g(x)＝ex·ln x，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex·，令h(x)＝ln x＋，则h′(x)＝－＝，所以当x>1时，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增；当0<x<1时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减．所以h(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，h(x)min＝h(1)＝1>0，所以g′(x)＝ex·>0恒成立，符合题意．故选AD. 6．[多选题]若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．2 答案：BD 解析：依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a>－3且a≠0.故选BD. 7.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 答案：∪ 解析：由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f′(x)<0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)． 8．(2023·四川绵阳模拟)设函数f(x)＝aln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数f(x)的单调递增区间为________． 答案： 解析：f′(x)＝＋2bx， 由题意得即解得 所以f′(x)＝－＋2x＝(x>0)，由f′(x)>0，得x>，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为. 9．已知函数f(x)的定义域为D，给出下列三个条件：①∀x∈D，有f(x)＋f(－x)＝0；②∀x∈D，有f′(x)≤0；③∃x1，x2∈D且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．试写出一个同时满足条件①②③的函数f(x)，则f(x)＝________. 答案：(答案不唯一) 解析：由①可得，f(x)在定义域内为奇函数，由②可得f′(x)≤0恒成立，由③可得f(x)不是在整个定义域上单调递减，故可有f(x)＝. 10．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的单调递减区间是，求a的值． 解：(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＝3x， 当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，没有单调递减区间； 当a>0时，令f′(x)>0可得x∈∪(0，＋∞)，令f′(x)<0可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为； 当a<0时，令f′(x)>0，可得x∈(－∞，0)∪，令f′(x)<0，可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为. (2)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＝0的两根为－，0，所以－＝－， 解得a＝1. 11．(14分)已知函数f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，讨论函数f(x)的单调性． 解：因为f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，所以f′(x)＝a－＋＝＝，x>0. 当a≤0时，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，令f′(x)>0，得0<x<1或x>，令f′(x)<0，得1<x<，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f′(x)＝≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，令f′(x)>0，得0<x<或x>1，令f′(x)<0，得<x<1，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (每小题6分，共12分) 12．[多选题]已知函数f(x)＝ex＋e－x－2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，＋∞)上不单调 B．函数y＝f′(x)是奇函数，且在(－∞，＋∞)上不单调递增 C．函数y＝f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，且f(m)≥0 答案：AD 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex－2cos(－x)＝ex＋e－x－2cos x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在(－∞，＋∞)上显然不单调，故A正确；又f′(x)＝ex－e－x＋2sin x，所以f′(－x)＝e－x－ex－2sin x＝－f′(x)，所以函数y＝f′(x)是奇函数，因为f ″(x)＝ex＋e－x＋2cos x≥2＋2cos x≥0恒成立，所以y＝f′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B错误；当x∈时，sin x<0，ex－e－x<0，所以f′(x)＝ex－e－x＋2sin x<0在上恒成立，所以f(x)在上单调递减，故C错误；因为函数f(x)为偶函数，所以对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，当x>0时，f′(x)>f′(0)＝1－1＋0＝0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝1＋1－2＝0，所以f(m)≥0，故D正确．故选AD. 13．(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 答案： 解析：由函数的解析式可得f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，即x≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，故0＝1≥－，而1＋a∈(1,2)， 故ln(1＋a)>0，故即故≤a<1，所以实数a的取值范围是. (每小题8分，共16分) 14．[多选题]已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是(　　) A．f(ln 2)＝ln B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2 答案：ACD 解析：f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln，故A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，故B错误；f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D正确．故选ACD. 15．(2024·湖南怀化模拟)已知函数f(x)＝＋x＋sin x－1，若f(a－1)＋f(2a2)≤－2，则实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案：A 解析：令h(x)＝f(x)＋1＝＋x＋sin x，因为h(－x)＝－x－sin x＝－x－sin x＝－－x－sin x＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，原不等式化为f(2a2)＋1≤－f(a－1)－1，即h(2a2)≤－h(a－1)，即h(2a2)≤h(1－a)．h(x)＝＋x＋sin x＝＋x＋sin x＝1－＋x＋sin x，因为y＝3x为增函数，所以y＝为减函数，所以y＝－为增函数，又因为y＝x＋sin x，y′＝1＋cos x≥0，所以y＝x＋sin x为增函数，所以h(x)在x∈R上单调递增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得a∈.故选A. 学生用书↓第57页 学科网（北京）股份有限公司 $$