8 第八节 对数与对数函数(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第八节　对数与对数函数 【课程标准】　1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点．　3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 (1)如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)对数的基本恒等式 logaa＝1，loga1＝0． (3)常用对数与自然对数 常用 对数 将以10为底的对数叫作常用对数 把log10N 记为lg N 自然 对数 将以无理数e＝2.718_28…为底的对数叫作自然对数 把logeN 记为ln_N 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 续表 y＝logax a>1 0<a<1 值域 (－∞，＋∞) 性质 函数图象过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是递增 在(0，＋∞)上是递减 微提醒　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧． 4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【记牢常用结论】 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝. (2)logambn＝logab. (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数图象的特点 (1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 1．[多选题]下列结论正确的是(　　) A．若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN B．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数 C．函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同 D．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限 答案：CD 学生用书↓第36页 2．计算：2lg－lg 4－＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 答案：B 解析：原式＝lg()2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 3．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 答案：A 解析：因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2<π<，所以c>b>1.又a＝log32<1，所以a<b<c.故选A. 4．(用结论)已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(4，－1) 5．函数y＝的定义域是________． 答案： 解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1，所以<x≤1.所以函数y＝的定义域是. 考点一　对数式的运算基础练 [(1)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　) A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710 (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________. 答案：(1)C　(2)4 解析：(1)因为2a＝5b＝10，所以log210＝a，log510＝b，所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选C. (2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1＝4. 规律方法 解决对数运算问题的常用方法 1．将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． 2．将同底对数的和、差、倍合并． 3．利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 4．利用lg 2＋lg 5＝1. 对点练1.(1)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． (2)log23·log38＋()log34＝________. 答案：(1)C　(2)5 解析：(1)2a＝5,8b＝3,2a－3b＝＝＝，4a－3b＝(2a－3b)2＝.故选C. (2)原式＝·＋log34＝3＋3log32＝3＋2＝5. 考点二　对数函数的图象及应用综合练 [(1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) (2)(2024·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________． 答案：(1)A　(2)(3，＋∞) 解析：(1)当a>1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1，选项B，D中的图象都不符合要求；当0<a<1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1，只有选项A中的图象符合要求．故选A. (2) f(x)＝|ln x|的图象如图， 因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)． 规律方法 对数函数图象的识别及应用方法 1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 对点练2.(1)[多选题]已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　) A．－1<b<0 B．a＋b>0 C．0<a<1 D．loga|b|<0 (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． 答案：(1)ABD　(2) 解析：(1)由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，故C错误；令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1，结合函数图象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，故A正确；因此a＋b>0，故B正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正确．故选ABD. (2) 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0<a≤. 考点三　对数函数的性质及应用多维练 角度1　比较对数式的大小 (2024·河南开封模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案：D 解析：法一：(中间量法)因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e>1，所以c>a>b.故选D. 法二：(图象法)log＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c>a>b.故选D. 学生用书↓第37页 规律方法 比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 角度2　解对数方程、不等式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为________． 答案：∪ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(log(2x－5))>f(log38)可化为|log(2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或<x<. 规律方法 求解对数不等式的两种类型及方法 1．logax>logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． 2．logax>b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 角度3　对数函数的性质及应用 [多选题]已知函数f(x)＝ln，下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：ACD 解析：f(x)＝ln，令>0，解得x>或x<－，所以f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln＝ln，令t＝1＋，t>0且t≠1，所以y＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；所以y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．故选ACD. 规律方法 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论； 二是底数与1的大小关系； 三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数”同增异减“原则确定函数的单调性． 对点练3.(1)(2024·辽宁沈阳调研)已知a＝log2.57，b＝log415，c＝－1，则下列判断正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a (2)(2024·广东深圳联考)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3] B．(1,3) C．(0,1) D．(1，＋∞) (3)已知a>0，且a≠1，loga<1，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)D　(2)A　(3)∪(1，＋∞) 解析：(1)因为a＝log2.57>log2.52.52＝2，b＝log415<log416＝2，c＝－1＝2，所以b<c<a.故选D. (2)令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3.故选A. (3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，则loga<0<1恒成立，当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，由loga<1，可得loga<logaa，解得0<a<.综上，使loga<1成立的a的取值范围是∪(1，＋∞)． 课时测评13　对数与对数函数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2023·重庆模拟)函数f(x)＝ln(2x－1)＋的定义域为(　　) A．[0,1] B． C． D． 答案：C 解析：由题意可得解得<x≤1，所以函数f(x)＝ln(2x－1)＋的定义域为.故选C. 2．已知函数y＝loga(x－b)的大致图象如图，则幂函数＝x在第一象限的图象可能是(　　) 答案：B 解析：由题中y＝loga(x－b)的图象可知，所以解得a>1,0<b<1，所以0<<1，所以幂函数y＝x在第一象限的图象可能为B中的图象．故选B. 3．(2024·广东广州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案：D 解析：a＝＝＝log2e，b＝＝log23，c＝＝log22＝log2，因为3>>e，所以b>c>a.故选D. 4．已知函数f(x)＝|log2x|，则不等式f(x)<2的解集为(　　) A．(－4,0)∪(0,4) B．(0,4) C． D． 答案：C 解析：f(x)＝|log2x|<2⇒－2<log2x<2⇒2－2<x<22⇒x∈.故选C. 5．[多选题](2024·山东烟台模拟)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)，下列说法正确的是(　　) A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增 答案：BC 解析：由题意得f(x)＝log2x，则h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，故A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log21＝0，故C正确．故选BC. 6．[多选题]已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2] 答案：ACD 解析：将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．故选ACD. 7．(2024·安徽淮北模拟)计算：－2＋4log2＋log4＝________. 答案：10 解析：－2＋4log2＋log4＝22＋22log2＋log()4＝4＋2＋4＝10. 8．(新设问)(2024·广东韶关模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________. 答案：ln |x|(答案不唯一) 解析：f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，因此f(x)＝ln |x|符合题意． 9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是________． 答案：(0,1) 解析： 不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)． 10．(13分)已知f(x)＝log(x2－ax＋5a)． (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝log(x2－2x＋10)， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， 所以t≥9，f(x)≤log9＝－2， 所以f(x)的值域为(－∞，－2]． (2)令u(x)＝x2－ax＋5a， 因为y＝logu(x)为减函数， 所以u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， 所以解得－≤a≤2， 所以a的取值范围是. 11．(14分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝，解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)，所以f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]． (每小题6分，共12分) 12．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ 答案：A 解析：由2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，而2×3＝6，所以＋＝.故选A. 13．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________． 答案：(0,1) 解析： 由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，所以－lg a＝lg b，即ab＝1,0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0,1)． (每小题8分，共16分) 14．[多选题](2024·辽宁沈阳模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，y＝f(x＋2)为偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log3(x＋a2)，则(　　) A．a＝1 B．f(1)＝f(3) C．f(2)＝f(6) D．f(2 022)＝－ 答案：BD 解析：由y＝f(x＋2)是偶函数，得y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x＋4)＝f(2＋(2＋x))＝f(2－(2＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，f(0)＝log3a2＝0，解得a＝±1，故A错误；f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，故B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝log3(2＋1)＝≠0，所以f(2)≠f(6)，故C错误；f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－，故D正确．故选BD. 15．(新定义)(2024·湖南岳阳模拟)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为________． 答案：∪ 解析：f(x)的定义域为R，当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，f(x)仍为R上的增函数，所以f(x)在定义域R上为增函数，因为函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是”半保值函数“，所以方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，所以ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，令u＝ax，u>0，则u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$