3 第三节 函数的奇偶性、周期性(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第三节　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．　2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．　3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且 F(－x)＝F(x) 关于y轴对称 奇函数 F(－x)＝－F(x) 关于原点对称 微提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 【记牢常用结论】 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D．若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期 答案：ABC 2．(用结论)若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 解析：偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确． 3．[多选题]下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ C．y＝|ln x| D．y＝2|x| 答案：BD 解析：A选项，f(x)为奇函数，C选项，f(x)的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数．故选BD. 4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选B. 5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________. 答案：－1 解析：由题意知f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 023)＝f(674×3＋1)＝f(1)＝－1. 学生用书↓第23页 考点一　函数奇偶性的判断基础练 [判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)由得－2<x<2，即函数f(x)的定义域是{x|－2<x<2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg(4－x2)， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)法一：(定义法)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 法二：(图象法)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 规律方法 判断函数奇偶性的三种常用方法 1．定义法 2．图象法 3．性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 对点练1．[多选题]下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |1＋x| 答案：AC 解析：对于A，函数的定义域为，且f(－x)＝tan (－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意．故选AC． 考点二　函数奇偶性的应用多维练 角度1　已知函数的奇偶性求参数 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为f(x)为偶函数，且由题意可知f(x)的定义域为，关于原点对称，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝x ln ，f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝x ln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. (2)因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x) ＝－＝＝0， 又因为x不恒为 0，可得ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)(2024·河北保定模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(　　) A．－2 B．2 C．－6 D．6 (2)(2023·山西吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　) 学生用书↓第24页 A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1 C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－2)＝－f(2)＝－2.故选A． (2)当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.故选D. 角度3　利用奇偶性解不等式 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[－1，3] C．[0，2] D．[1，3] 答案：B 解析：因为f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1. 又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3.故选B. 规律方法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 对点练2．(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． (2)(2024·山东青岛模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x)≤2的解集是________． (3)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)＝________． 答案：(1)1　(2)[－2，2]　(3)5 解析：(1)法一：(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 法二：(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－， 解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1. 法三：(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数， 所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1. (2)因为当x≥0时，f(x)＝2x－2，所以偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，所以f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，所以|x|≤2，解得－2≤x≤2. (3)根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1， 即sin a＋a3＋＝－2，所以f(－a)＝sin (－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5. 考点三　函数的周期性综合练 (1)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为______________． 答案：(1)C　(2)f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析：(1)法一：由f(1＋x)＝f(－x)，且f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(1＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，则f ＝f ＝f ＝.故选C． 法二：(赋值法)由题意可得f ＝f ＝f ＝－f ，而f ＝f(1＋)＝f ＝－，所以f ＝.故选C． (2)根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 规律方法 函数周期性的判定及应用 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 对点练3.(1)[多选题]已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2 023)＝0 B．f(x)的值域为[－1,2] C．f(x)在[4,6]上单调递减 D．f(x)在[－6,6]上有8个零点 (2)(2024·山东枣庄模拟)设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1]时，f(x)＝其中m∈R.若f ＝f ，则m＝________. 答案：(1)AB　(2)1 解析：(1)f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．故选AB. (2)因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1]时，f(x)＝所以f ＝f ＝2＋2×＋m＝－＋m，f ＝＝，所以＝－＋m⇒m＝1. 课时测评8　函数的奇偶性、周期性 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 答案：B 解析：y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选B. 2．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 答案：A 解析：依题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A. 3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 答案：A 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A. 4．(2024·广西南宁模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝(　　) A．0 B．6 C．8 D．16 答案：C 解析：因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8.故选C. 5．[多选题]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x 答案：BD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，对于A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确． 6．[多选题](2024·广东湛江检测)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|≥2 B．当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3 C．x＝1是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)在(－∞，－1)上单调递增 答案：ABD 解析： 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3， 所以f(x)＝作出f(x)的图象如图所示．由图可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知x＝1显然不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确．故选ABD. 7．(新设问)写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________. 答案：cos 2x(答案不唯一) 解析：y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求． 8．(2024·广东潮州模拟)已知函数f(x)＝ln＋m＋1(其中e是自然对数的底数，e＝2.718…)是奇函数，则实数m的值为________． 答案：－1 解析：对于函数f(x)＝ln＋m＋1，>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，即ln＋ln＋2m＋2＝ln＋ln＋2m＋2＝2m＋2＝0，解得m＝－1. 9．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________． 答案：(，＋∞) 解析：因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)>f(1－ln x)，也即ln x>1－ln x，整理得ln x>，解得x>，故不等式的解集为(，＋∞)． 10．(13分)已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． 11．(14分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4) ＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0. (每小题6分，共12分) 12．(2024·安徽马鞍山模拟)函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 答案：B 解析：由题意可得 解得f(x)＝，因为f(x)＝≥＝，当且仅当ex＝5e－x，即x＝ln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B. 13．[多选题]f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 024)＝1 C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0,2 023]内有1 011个零点 答案：ABC 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的一个周期为4，故A正确；f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝1，故B正确；当x∈[2,3]时，x－2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝f(2 023)＝0，于是函数f(x)在[0,2 023]内有1 012个零点，故D错误．故选ABC. (每小题8分，共16分) 14．[多选题](2024·河北廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 答案：ABD 解析：因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，故A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，故D正确．故选ABD. 15．(新考法)已知函数f(x)＝在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． 答案：2 解析：f(x)＝＝＝＋1，令g(x)＝f(x)－1＝，则g(－x)＝－＝－g(x)，所以函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，所以M＋N＝2. 学生用书↓第25页 学科网（北京）股份有限公司 $$