1 第一节 函数的概念及其表示(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

第一节　函数的概念及其表示 【课程标准】　1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．　2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．　3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，记作y＝f(x)(x∈A，y∈B). 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称它们是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 微提醒　若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2(x≥0)与y＝x2. 4．分段函数 (1)一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 微提醒　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 【记牢常用结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B．函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C．y＝x0与y＝1是同一个函数 D．函数f(x)＝的定义域为R 答案：ABC 2．在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 答案：D 3．[多选题]下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 答案：AC 解析：f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确． 4．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a的值为________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　1 解析：要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1. 5．已知函数f(x)＝则f(f(－))＝________. 答案：1 解析：f(－)＝3，则f(f(－)＝f(3)＝log33＝1. 学生用书↓第17页 考点一　求函数的定义域基础练 [(1)(2024·湖北武汉模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] (2)(2024·陕西西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2,3] B．(－8，－2)∪(－2,1] C．∪(－2,0 D． 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)要使函数有意义，则需解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈(－1,0)∪(0,2]．故选B. (2)因为f(x)的定义域为[－8，1]，所以解得－≤x≤0，且x≠－2. 所以g(x)的定义域为∪(－2,0.故选C. 规律方法 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 对点练1.(1)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(0，a) C．[0，＋∞) D． (2)已知函数f(2x＋1)的定义域为[1,2]，则函数f(4x＋1)的定义域为(　　) A．[3,5] B． C．[5,9] D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)矩形的一条边长为x>0，则另一条边长为>0，得x<，所以0<x<，故f(x)的定义域为.故选D. (2)在f(2x＋1)中，x∈[1,2]，所以2x＋1∈[3,5]，所以在f(4x＋1)中，4x＋1∈[3,5]，所以x∈.故选B. 考点二　求函数的解析式综合练 [(1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝______________. (2)已知f ＝lg x，则f(x)＝________. (3)已知f ＝x4＋，则f(x)＝________. (4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ·－1，则f(x)＝________. 答案：(1)2x＋或－2x－8　(2)lg(x>1)　(3)x2－2，x∈[2，＋∞)　(4)＋ 解析：(1)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (2)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝， 所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)． (3)(配凑法)因为f ＝2－2， 所以f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)． (4)(构造法)在f(x)＝2f ·－1中，将x换成，得f ＝2f(x)·－1， 由 解得f(x)＝＋. 规律方法 求函数解析式的四种方法 学生用书↓第18页 对点练2.(1)若f ＝，则f(x)＝________. (2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________. 答案：(1)(x≠0且x≠1)　(2)3x 解析：(1)f(x)＝＝(x≠0且x≠1)． (2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x①，将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②，由①②得f(x)＝3x. 考点三　分段函数多维练 角度1　分段函数求值 (1)已知函数f(x)＝若f(f ＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________. (2)已知函数f(x)＝则f(5)＝________. 答案：(1)－5　－6　(2) 解析：(1)由题意得，f ＝3×＋1＝3， 所以f(f )＝f(3)＝9＋3a＝－6， 所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6. (2)由题意得f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝. 规律方法 求分段函数函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 角度2　分段函数与方程、不等式 (1)已知函数f(x)＝若f(a－2)＝f(a)，则f ＝(　　) A．11 B．6 C．4 D．2 (2)(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意得函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数，因为f(a－2)＝f(a)，所以解得0<a≤2，所以a2＋a＝5(a－2)＋6，即a2－4a＋4＝0，解得a＝2，符合题意，所以f ＝f(1)＝12＋1＝2.故选D. (2)当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0；当0<x≤1时，x＋1>1， 此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， 所以当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为． 规律方法 解决分段函数与不等式问题的基本策略 1．分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． 2．数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 对点练3.(1)(2024·四川成都模拟)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则方程x2sgn x＝2x－1的解是(　　) A．1 B．－1－ C．1或－1－ D．1或－1＋或－1－ (2)(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝则f(－4)的值为________． (3)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)　(3)(－∞，0) 解析：(1)当x>0时，方程x2sgn x＝2x－1可化为x2＝2x－1，化简得(x－1)2＝0，解得x＝1；当x＝0时，方程x2sgn x＝2x－1可化为0＝－1，无解；当x<0时，方程x2sgn x＝2x－1可化为－x2＝2x－1，化简得x2＋2x－1＝0，解得x＝－1＋(舍去)或x＝－1－.综上，方程x2sgn x＝2x－1的解是1或－1－.故选C. (2)因为f(x)＝则f(－4)＝f(－4＋6)＝f(2)＝log42＝. (3) 根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x＋1)<f(2x)时，则或所以x<0. 课时测评6　函数的概念及其表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A．(2，＋∞) B．(2,3) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 答案：D 解析：因为f(x)＝lg(x－2)＋，所以解得x>2，且x≠3，所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选D. 2．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(－2)＋1)的值为(　　) x x≤0 0<x<2 x≥2 y 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为f(－2)＝1，所以f(－2)＋1＝2，所以f(f(－2)＋1)＝f(2)＝3.故选C. 3．已知函数f(x)＝则f(f(－3))等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：因为f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f(f(－3))＝f(8)＝log28＝3.故选D. 4．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：令x3＝10，则x＝10，所以f(10)＝lg 10＝.故选C. 5．已知f ＝＋，则f(x)＝(　　) A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1) C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1) 答案：C 解析：f ＝＋＝2－＋1，令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故选C. 6．(2024·山东东营模拟)已知函数f(x)＝若f(x0)>3，则x0的取值范围是(　　) A．x0>8 B．x0<0或x0>8 C．0<x0<8 D．x0<0或0<x0<8 答案：A 解析：由题意知，当x0≤0时，因为3x0＋1≤2，所以不存在f(x0)>3；当x0>0时，由log2x0>3＝log28，解得x0>8.故选A. 7．[多选题]下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝ C．y＝ln |x| D．y＝ 答案：ABD 解析：对于A，函数的定义域和值域都是R；对于B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对于C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；对于D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD是定义域和值域相同的函数．故选ABD. 8．[多选题]已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f ＝－f(x) C．f ＝f(x) D．f ＝－f(x) 答案：BD 解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝＝f(x)，即不满足A；f ＝＝，f ＝－f(x)，即满足B，不满足C；f ＝＝，f ＝－f(x)即满足D.故选BD. 9．[多选题]已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝则下列选项正确的有(　　) A．f(g(2))＝2 B．g(f(1))＝1 C．f(g(－1))＝2 D．g(f(－1)＝ 答案：ABD 解析：由题意知g(2)＝log22＝1，f(g(2))＝f(1)＝2，故A正确；g(f(1))＝g(2)＝1，故B正确；f(g(－1))＝f ＝＋2＝，故C错误；g(f(－1)＝g(－2)＝2－2＝，故D正确．故选ABD. 10．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋(x－1)0的定义域为________． 答案：[0,1) 解析：由题意得即所以g(x)的定义域为[0,1)． 11．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是________． 答案：(－12,0] 解析：由题意得ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，满足Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为－12<a≤0. 12．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：当x<0时，<0，当x≥0时，2x－1＋≥＋.因为函数f(x)的值域为R，所以＋≤0，解得a≤－. (每小题8分，共16分) 13．(2024·安徽皖东联考)已知函数f(x)＝若f(2 024)＝1，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：D 解析：因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－f(－1)＝－1＝1，则a＝4.故选D. 14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 答案：B 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，所以当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①， 当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②， ②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.故选B. (每小题12分，共24分) 15．(新定义)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有”数学王子“的称号，用其名字命名的”高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2} 答案：D 解析：f(x)＝＝＝1＋， 因为2x>0，所以1＋2x>1,0<<1， 则0<<2,1<1＋<3，即1<f(x)<3. 当1<f(x)<2时，[f(x)]＝1，当2≤f(x)<3时，[f(x)]＝2.综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．故选D. 16．(2023·江苏苏州模拟)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大值，设函数f(x)＝max(x>0)，若f(x)≥m－1恒成立，则m的最大值是________． 答案：2 解析：f(x)＝max(x>0)，当0<x<1时，>|x|＝x；当x＝1时，＝|x|＝x；当x>1时，<|x|＝x. 所以f(x)＝画出f(x)的图象如图所示． f(x)在(0,1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)下下下min＝f(1)＝1，则1≥m－1，即m≤2，m的最大值是2. 学生用书↓第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$