5 拓展视野一 基本不等式链及其应用(Word教师用书)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版2019）

若a>0，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．其几何表示及几何证明如下： 如图，在半圆O中，设AC＝a，BC＝b，且CD⊥AB，CE⊥OD，OF⊥AB， 则R＝OD＝OF＝，OC＝R－b＝，CF＝＝，在Rt△ADB中，由射影定理得CD＝，在Rt△OCD中，由射影定理得CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝，由图可知，DE≤CD≤OD＝OF≤CF(当且仅当D与F重合，即a＝b时，等号成立)，即不等式≤≤≤(a>0，b>0)成立(当且仅当a＝b时，等号成立)． [多选题](2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案：BC 解析：对于选项A，B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，又xy＝－，所以(x＋y)2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于选项C，D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，取x＝，y＝－，则x2＋y2－xy＝1满足题意，此时，x2＋y2＝<1，所以C正确，D不正确．故选BC. [多选题](2024·山东菏泽模拟)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A(a，b)＝，几 学生用书↓第13页 何平均数为G(a，b)＝.20世纪50年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp(a，b)＝，其中p为有理数．下列结论正确的是(　　) A．L0.5(a，b)≤L1(a，b) B．L0(a，b)≤G(a，b) C．L2(a，b)≤A(a，b) D．Ln＋1(a，b)≤Ln(a，b) 答案：AB 解析：对于A，L0.5(a，b)＝＝≤L1(a，b)＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0(a，b)＝＝≤＝＝G(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于C，L2(a，b)＝＝≥＝＝＝A(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n＝1时，由C可知，L2(a，b)≥＝L1(a，b)，故D不正确．故选AB. 规律方法 利用不等式链求最值、证明不等式等，其关键是要对其灵活变形． 对点练．(1)[多选题]已知x>0，y>0，且x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　) A．＋的最小值为3 B．＋的最大值为6 C．xy的最大值为 D．2x＋1＋4y≥8 (2)[多选题](2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 答案：(1)ACD　(2)ABD 解析：(1)因为x>0，y>0，x＋2y＝3，＋＝(x＋2y)＝≥＝3，当且仅当＝，即x＝y＝1时，等号成立，故A正确；由2≤x＋2y得(＋)2≤2(x＋2y)＝6，所以＋≤，当且仅当x＝2y＝时，取等号，故B错误；3＝x＋2y≥2，xy≤，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故C正确；2x＋1＋4y＝2x＋1＋22y≥2＝2＝8，当且仅当2x＋1＝22y，即x＝1，y＝1时，等号成立，故D正确．故选ACD. (2)对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，故A正确；对于选项B，易知0<a<1,0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于选项C，因为1＝a＋b≥2，所以ab≤，所以log2a＋log2b＝log2ab≤－2，故C错误；对于选项D，因为＝，所以2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$