专题04 圆的方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题4 圆的方程 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（　 　） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东江门·期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．． 4．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（    ） A．4 B．6 C． D． 5．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知圆C：，过点向圆C作切线，切点为B，则（    ） A． B． C． D． 6．（17-18高一下·河北张家口·期末）若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 二、多选题 9．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 10．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 三、填空题 11．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是 ． 12．（22-23高三上·北京·期中）已知圆C过点A（，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为 13．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 14．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是 ． 四、解答题 15．（22-23高二·全国·课堂例题）已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 16．（22-23高二上·广东广州·期末）圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求. 17．（22-23高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求直线被圆截得的弦的长． 18．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知的三个顶点为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 19．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知点是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（    ） A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25 22．（23-24高二上·贵州·阶段练习）（多选题）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 23．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E是边AB上的一动点，交EC于点P，且直线FG平分正方形的周长，则当线段BP的长度最小时，点A到直线BP的距离为 ． 24．（23-24高三上·海南·期末）已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为 ． 25．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 26．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 27．（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 28．（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 29．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（13-14高三下·上海虹口·阶段练习）如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是 A． B． C． D． 31．（19-20高三上·河北·阶段练习）关于下列命题，正确的个数是（　　） （1）若点在圆外，则或； （2）已知圆，直线，则直线与圆恒相切； （3）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，则四边形的最小面积是； （4）设直线系，中的直线所能围成的正三角形面积都等于． A． B． C． D． 32．（17-18高二下·江西抚州·期末）在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的取值范围为 A． B． C． D． 33．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选题）已知方程，下面四个命题是真命题的是（    ） A．当时，（*）表示一个圆 B．当时，（*）的曲线关于直线对称 C．当时，（*）的曲线具有中心对称性 D．当时，的最大值为1 34．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选题）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．对任意正实数，曲线恒过2个定点 B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴 C．星形线围成的封闭图形的面积大于2 D．星形线与圆有四个公共点 35．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在凸四边形中，为线段上一点，，，，记的面积为，的面积为，则的取值范围为： . 36．（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 圆的方程 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程即得. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心坐标为. 故选：B. 2．（22-23高二上·广东江门·期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值. 【详解】将代入，得， 所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径， 所以， 则的最大值为：， 故选：D. 3．（21-22高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 4．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心. 【详解】圆C：的标准方程为， 要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 则直线经过圆心，即，解得， 故选：B 5．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知圆C：，过点向圆C作切线，切点为B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以勾股定理即可求得线段的长. 【详解】圆的圆心，半径，又， 则， 则. 故选：C 6．（17-18高一下·河北张家口·期末）若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将P点代入圆可得m的不等式，结合圆的一般方程构成圆的条件，可得m的取值范围. 【详解】解：若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部， 有，且由x2+y2-x+y+m=0构成圆的条件可知：， 可得：且，即：， 故选C. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆的一般方程，相对简单. 7．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 8．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【详解】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 三、填空题 11．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程满足的条件求解即可. 【详解】因为表示圆， 所以， 即，化简得， 解得， 故答案为： 12．（22-23高三上·北京·期中）已知圆C过点A（，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为 【答案】 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，原点到线段的垂直平分线的距离即为所求最小值． 【详解】由题意圆心在线段的垂直平分线上， ，线段的垂直平分线的斜率为1， 的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 原点到这条直线的距离为， 所以圆心C到原点距离的最小值为． 故答案为：． 13．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 14．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是 ． 【答案】 【分析】 先将圆的方程化为标准方程，得到圆心，由于圆的弦被点平分，故，得到，由点斜式求解即可. 【详解】因为圆：， 所以化为标准方程为：，所以圆心. 又圆的弦被点平分，故， 而直线斜率不存在，所以， 由于过点，故直线的方程为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高二·全国·课堂例题）已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆的一般式列方程求解. 【详解】设所求圆的方程为, 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得， 故所求圆的方程是． 16．（22-23高二上·广东广州·期末）圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出. 【详解】（1）设圆的半径为，则， 故圆的标准方程为：； （2）设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得：， 即，解得：或. 17．（22-23高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求直线被圆截得的弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用垂直平分得出圆C2的圆心坐标的方程组，即可写出圆的方程 （2）利用垂径定理直接求解 【详解】（1）设则由题意得，解得， 圆的方程为． （2）圆心到直线的距离故直线被圆截得的弦 18．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知的三个顶点为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)10 (2). 【分析】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【详解】（1）， 直线的方程为， 点到直线距离为， 因此面积 （2）线段中点为，因此其中垂线的方程为 直线的斜率为，线段中点为，则中垂线方程， 联立求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 19．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的半径，再求出相关长度即可. 【详解】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：D. 20．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，结合题意计算可得直线的斜率，由直径所对的圆周角是直角可得，即可解出直线的方程，从而可表示出直线的方程，联立即可得其交点的坐标，结合点坐标即可得解. 【详解】令，即有，可得、， 由是上第一象限内的点，故可设， 又，故，则，则有， 由为直径，则，即，又，解得， 即，则，即， 联立两直线，解得，即，又， 则直线的方程为， 整理得. 故选：D. 21．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知点是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（    ） A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25 【答案】BD 【分析】A.由，当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立求解判断；B.由求解判断；C.由若以线段为直径的圆过坐标原点，则由直径所对的圆周角为直角可得求解判断；D.设点，易知，再利用数量积运算求解判断. 【详解】解：由题意知：圆的圆心，半径，点，如图所示．    易知，当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立， 故以线段为直径的圆周长最小值为，故选项A错误；，所以当时，的面积最大，最大值为，故选项B正确； 若以线段为直径的圆过坐标原点，则由直径所对的圆周角为直角可得，易知当点在轴上时，满足题意，所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故选项C错误； 设点，易知，则，所以，即的最大值为25，故选项D正确， 故选：BD． 22．（23-24高二上·贵州·阶段练习）（多选题）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D. 【详解】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确； 设的中点为，则 因为，所以， 即线段的中点的轨迹方程为，故B正确； 圆心，半径为，当时，直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确； 设关于直线的对称点为，则解得即， 因为，所以， 所以的最小值为，故D不正确. 故选：BC. 23．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E是边AB上的一动点，交EC于点P，且直线FG平分正方形的周长，则当线段BP的长度最小时，点A到直线BP的距离为 ． 【答案】 【分析】适当建系，求出点P的轨迹及对应方程，再利用圆的性质得出当BP的长最小时，B，P，M三点共线，进而求解即可． 【详解】依题意，由FG平分正方形的周长，得FG恒过正方形的中心， 设正方形的中心为点O，由知，点P的轨迹是以OC为直径的圆， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系， 则， 以OC为直径的圆的方程为，设M为圆心，则M坐标为， 当BP的长最小时，B，P，M三点共线，此时直线BP的方程为， 则点A到直线BP的距离为. 故答案为： 24．（23-24高三上·海南·期末）已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线平分圆的面积，所以直线经过，先求出直线的斜率，然后由点斜式求出方程即可. 【详解】因为直线平分圆的面积， 所以直线经过圆心，又经过点， 所以，所以直线的方程为：. 故答案为：. 25．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 26．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由直线方程联立求交点，由边上的中线联立求得的中点，进而由中点坐标公式得点坐标； （2）联立边上的中线得点坐标，设出圆的一般方程，由三点坐标代入待定系数即得. 【详解】（1）由，得， 所以A点的坐标为， 由，得，即边AC的中点为， 所以C与A关于点M对称， 设，则，得， 所以C点的坐标为． （2）由，得， 故B点的坐标为， 设的外接圆方程为，且， 则，得， 则所求圆的方程为． 27．（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1) (2)可以从桥下通过，理由见解析 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船可以从桥下通过． 28．（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为，. (2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 【分析】 （1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可； （2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可. 【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.    设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为，. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 29．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】    由得,由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 30．（13-14高三下·上海虹口·阶段练习）如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，且，用表示出向量的结果，然后利用三角函数的性质可求得范围. 【详解】如图所示： 连接OM，由题意圆的半径为，则正方形的边长为2，可得，，设，且，所以由，由，可得，所以，则. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量和平面几何知识以及三角函数知识的综合应用，属于中档题. 31．（19-20高三上·河北·阶段练习）关于下列命题，正确的个数是（　　） （1）若点在圆外，则或； （2）已知圆，直线，则直线与圆恒相切； （3）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，则四边形的最小面积是； （4）设直线系，中的直线所能围成的正三角形面积都等于． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（1）根据一般方程表示圆和点列不等式组可解出实数的取值范围，可判断出命题（1）的真假；（2）计算圆心到直线的距离的取值范围，可判断出命题（2）的真假；（3）找出当切线、的长取得最小值时点的位置，计算出的长，并计算出此时四边形的面积，可判断出命题（3）的真假；（4）由直线系方程可知，中所有直线都是定圆的切线，易知中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断出命题（4）的真假. 【详解】对于命题（1），由于方程表示圆，则， 整理得，由于点在该圆外，则，所以， 解得或，命题（1）为假命题； 对于命题（2），直线过原点，圆的圆心的坐标为，且，所以，圆心到直线的距离，则直线与圆相交或相切，命题（2）为假命题； 对于命题（3），圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，圆心到直线的距离为，，则，四边形的面积的最小值为，命题（3）为真命题； 对于命题（4），直线系的方程为，由于点到直线的距离为，直线系中所有的直线都是圆的切线， 如下图，中的直线所能围成的正三角形和面积不相等，故（4）错误. 如下图所示： 因此，真命题的个数为1. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法，属于难题. 32．（17-18高二下·江西抚州·期末）在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：求出的方程和过的圆的方程，两圆内切时，取得最大值，两圆外切时，取得最小值，利用圆与圆的位置关系进行求解即可. 详解： 若，则， 即，则， 由题意，是上一点， 折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点，（异于点）重合， 两次折痕方程分别为和， 设关于对称的点为， 则 可得，同理关于对称的点为， 直线和互相垂直，， 的中点为圆心，半径为， 的方程为圆心， 圆上存在点，使得， 则过圆的方程为，（设），与圆有交点， 若两圆内切时，取得最大值， 此时为， 即，则， 两圆外切时取得最小值， ， 所以的取值范围为，故选B. 点睛：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用数形结合以及对称性是解决本题的关键，有一定的难度. 解析几何中的对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 33．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选题）已知方程，下面四个命题是真命题的是（    ） A．当时，（*）表示一个圆 B．当时，（*）的曲线关于直线对称 C．当时，（*）的曲线具有中心对称性 D．当时，的最大值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，将代入（*）得，即可判断；对于B，将代入（*）得，将与交换位置判断即可；对于C，将代入（*）得，用待定系数法求解对称中心即可判断；对于D，将代入（*）得，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】对于A：当时，则方程为， 若，则方程化为，一条直线，故A不正确； 对于B：当时，则方程为， 即， 将与交换位置得，方程没有变化， 故方程（*）的曲线关于直线对称，故B正确； 对于C：当时，则方程为， 易知当时，（*）的曲线具有中心对称性， 当时，设（*）曲线的对称中心为，则， 展开得， 与对照得， 所以曲线关于点对称， 即（*）的曲线具有中心对称性，故C正确； 对于D：当时，方程化为， 则 ，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为1，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于D选项中式子的变形，要观察式子结构，巧妙选择基本不等式及其变形公式求解. 34．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选题）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．对任意正实数，曲线恒过2个定点 B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴 C．星形线围成的封闭图形的面积大于2 D．星形线与圆有四个公共点 【答案】ABD 【分析】易知曲线过定点和，可判断A；当为正偶数时，曲线关于轴、轴及对称，可得B正确；根据表达式可判断出星形线围成的封闭图形曲线的内部，可判断C错误；联立星形线方程与圆，并解方程可判断D正确. 【详解】选项A，曲线过定点和，且与只有两个交点和，即A正确； 选项B，当，时，曲线至少有4条对称轴，，，可得B正确； 选项C，对于方程，用“”替换“”，方程依然成立，用“”替换“”，方程依然成立， 所以星形线既关于轴对称，也关于轴对称. 考虑星形线在第一象限内的图形，因为，所以图形在线段的下方， 再根据对称性，星形线的图形在曲线的内部， 因为曲线所围成的图形面积为2，所以星形线围成的图形面积小于2，可得C错误； 选项D，根据对称性，考虑星形线第一象限内的任意一点， 则， 当且仅当时取等号，所以在第一象限有一个交点， 再根据对称性另外三个象限各有一个交点，共4个交点，即D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在判断星形线围成的封闭图形的面积时，关键是要与熟悉的图形进行比较，再结合过定点和，可联想到曲线，即可判断出面积小于2. 35．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在凸四边形中，为线段上一点，，，，记的面积为，的面积为，则的取值范围为： . 【答案】 【分析】设，利用正弦定理进行边角转为，把边转为角，可得，，换元令，利用图形求其范围，进而可得的取值范围. 【详解】设，过A作（垂足为）， 在中，由正弦定理：， 即，则， 可得，， 因为，可得， 在中，，，， 在中，， 所以， ， 可得， 令，则：， 设：， 可知点在以为圆心，1为半径的左半圆上， 结合图形可知：直线的斜率， 且在内单调递增，当时，可得， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.设角，利用正弦定理进行边角转化，进而把面积问题转化为角的问题； 2.求分式的范围，常常转化为斜率问题，结合图形求其范围. 36．（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式计算即可得第一空，设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$