专题03 直线方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题3 直线方程 一、单选题 1．（2022高二下·贵州·学业考试）若角的终边在直线上，则＝（    ） A． B．－ C． D．－ 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 4．（17-18高二上·北京海淀·期中）在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 6．（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·河南·期中）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高一下·新疆乌鲁木齐·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 10．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 11．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 13．（23-24高二上·云南昆明·期中）两平行直线与之间的距离为 . 14．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 15．（22-23高二下·上海静安·期中）已知直线，，若，则实数 ． 16．（23-24高二上·上海杨浦·期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是 . 四、解答题 17．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 18．（9-10高一下·河南郑州·期末）三角形三个顶点是，， (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 19．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 20．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 21．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 22．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 25．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 27．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 28．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）（多选题）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点 29．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 30．（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 31．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 32．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 33．（18-19高二上·上海·期中）已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 34．（21-22高二·全国·课后作业）在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程； (2)求△OAB面积的最小值． 35．（21-22高二上·吉林白城·阶段练习）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（   ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 36．（19-20高二下·上海·课后作业）设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（    ）． ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过点的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（19-20高一上·甘肃兰州·期末）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为. A． B．， C．， D． 38．（19-20高二上·湖北恩施·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为． A． B． C． D． 39．（21-22高二·江苏·单元测试）（多选题）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（　　） A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个 B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个 C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个 D．若，则点M在一条过点O的直线上 40．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．已知空间向量，且，则实数 B．直线与直线之间的距离是. C．已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 41．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 42．（22-23高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 43．（21-22高二·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，现有下列命题： ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点； ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点； ④直线经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 其中，真命题有 ．（选填序号） 44．（21-22高三上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系内，设M（x1，y1）、N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c=0，设．有下列四个说法： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若δ=1，则过M、N两点的直线与直线l平行； ③若δ=﹣1，则直线l经过线段MN的中点； ④若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述说法中，所有正确说法的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 直线方程 一、单选题 1．（2022高二下·贵州·学业考试）若角的终边在直线上，则＝（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】A 【详解】角的终边在直线上，不妨设角的终边上一点的坐标为，则. 所以. 故选：A 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算直线斜率，再确定倾斜角即可. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：A. 3．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，根据判别式以及韦达定理可得到结果. 【详解】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根， 所以与相交．又，所以与不垂直． 故选：C 4．（17-18高二上·北京海淀·期中）在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，直线的斜率，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1） 根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为， 即， 故选：． 5．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 【答案】C 【分析】根据两线垂直求解即可； 【详解】解：因为直线与互相垂直， 所以， 即：， 解得：或 . 故选:C. 6．（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知点，，若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点， 则，， 若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 7．（22-23高二上·河南·期中）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点是所求直线上任意一点，进而求得其关于对称的点为，再代入已知直线方程即可得答案. 【详解】解：设点是所求直线上任意一点， 则关于直线对称的点为，且在直线上， 所以，代入可得，整理得． 所以，所求直线方程为. 故选：B 8．（20-21高一下·新疆乌鲁木齐·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得． 【详解】由题意两直线平行，则，， 又，而，所以． 所以． 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 10．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. 11．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】CD 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】由已知可得. 故答案为：. 13．（23-24高二上·云南昆明·期中）两平行直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由两平行线间的距离求解即可. 【详解】对直线两边同时乘以可得： 所以两平行直线与之间的距离为： . 故答案为：. 14．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】求出两直线交点坐标后可得． 【详解】由得，所以， ， 故答案为：3. 15．（22-23高二下·上海静安·期中）已知直线，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线，，且, 所以，解得或， 当直线，，两直线重合，故舍去. 故答案为： 16．（23-24高二上·上海杨浦·期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线方程为，代入已知点计算即可. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 带入点得，得， 所以直线的方程是. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】第一问运用直线垂直的定义得到斜率，结合点斜式方程求解即可，第二问通过联立直线得到关键点的坐标，求出圆的半径和圆心后用标准方程求解即可. 【详解】（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是 直线过点，故直线方程为 方程为 （2）联立方程组解得 故，，由中点坐标公式得中点坐标为 由两点间距离公式得， 故所求圆方程为 18．（9-10高一下·河南郑州·期末）三角形三个顶点是，， (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出AB边上的高的斜率，用点斜式方程即可求得； （2）求出BC边上的中点，利用两点式方程即可求得. 【详解】（1）因为，，所以. 所以AB边上的高的斜率为. 所以AB边上的高所在直线为：，即 （2）因为，，所以BC边上的中点 所以BC边上的中线所在直线，即. 19．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)存在理由见详解. 【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可. 【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即 所以 （2）若，由（1）得，所以 设存在点满足题意，则： 点到的距离是点到的距离的2倍有 即   ① 点到的距离与点到的距离之比是        ②              ③ 联立①②③解的： 故存在满足上述三个条件的点 20．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程． 【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率，又因为的顶点， 所以直线的方程为，即； 所以直线的方程为. （2）解：直线边上的中线所在的直线方程为， 由方程组，解得，所以点， 设点，则的中点在直线上，所以，即， 又点在直线上，，解得，所以， 所以的斜率，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 21．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 22．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 23．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 24．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【答案】B 【分析】对于A，由斜率关系判定即可；对于B，由直线平行的性质验算，并注意检验；对于C，联立方程组验算即可；对于D，将直线方程变形即可求解. 【详解】因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 25．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【详解】由，解得， 可得， 则到直线的距离， 因为，所以，所以. 故选：C. 26．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）. 【详解】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 27．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【答案】BC 【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D. 【详解】若，由题意可知，令， 则，作出其图象如图． 易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度， 再上移1个单位长度得到，故B正确； 对于A， ， 结合图象可得的最小值即为点到 直线（即点）的距离， 此时取得最小值3，故A错误； 对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值 ，故的最大值为15，故C正确； 若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为， 故D错误． 故选：BC． 28．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）（多选题）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点 【答案】BC 【分析】 选项A，当时和重合；选项B：当时，，，故；选项C，当，平行时，，根据平行线间的距离公式可得；选项D，： 定点坐标为可判断错误. 【详解】选项A：当时，：即，：即， 故和重合，A错误； 选项B：当时，：即，：即， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因，故，B正确； 选项C：当，平行时，可得，得或， 当时，由A选项知和重合， 当时，：，：， 故两平行的距离为，故C正确； 选项D：直线：即，故当时，， 故直线的定点坐标为， ：即，故当时，得， 故直线过定点，故D错误； 故选：BC 29．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【分析】求出点关于的对称点为，设，则，求出关于轴的对称点为，表达出直线的方程，由对称性可得在直线上，代入方程，求出，求出直线的方程，联立直线与直线，求出，从而得到的值. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 30．（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解. 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以， 因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以， 点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则， 令，的，所以， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 31．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 32．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 33．（18-19高二上·上海·期中）已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线；   ②时，3条直线；   ③时，4条直线. 【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 34．（21-22高二·全国·课后作业）在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程； (2)求△OAB面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用中点坐标公式分别求得，，再代入直线的两点式方程即可解决； （2）先求得过点的直线斜率不存在时△OAB的面积，再求得过点的直线斜率存在时△OAB的面积的最小值，二者进行比较即可求得△OAB面积的最小值． 【详解】（1）由题意，设，，且． 当AB的中点为P时，有 解得，，所以，． 所以直线AB的方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，，， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，可得或 那么． 令，则，或 则， 由，或，可得或， 当，即，时， 即，则， 此时，符合题意． 综上，． 35．（21-22高二上·吉林白城·阶段练习）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（   ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【分析】A中，当时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为；B中，S中所有直线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，可判断命题错误． 【详解】当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的方程为，即，故其斜率为，故A不正确； 根据y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确； 当时，S中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为2n，C正确； 易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确； 故选：C. 36．（19-20高二下·上海·课后作业）设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（    ）． ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过点的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确. 【详解】因为中，，所以点不在直线上，故①正确 当时，根据得到，化简得， 即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上， 得到直线与直线平行 当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确 当时，得到，化简得 而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确 当时，得到，所以， 即，所以点在直线的同侧 且，可得点与点到直线的距离不等， 所以延长线与直线相交，故④正确 综上：命题正确的有4个 故选：D 【点睛】本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题. 37．（19-20高一上·甘肃兰州·期末）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为. A． B．， C．， D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，由重心的坐标公式求得该三角形的重心坐标，代入欧拉线方程得一方程，求出线段的垂直平分线方程，和欧拉线方程联立求出三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得出另一方程，两方程联立可求出点的坐标. 【详解】设点的坐标为，由重心的坐标公式可知的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得，① 线段的中点坐标为，直线的斜率为， 线段的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，所以，的外心为， 则，整理得，② 联立①②得或， 当，时，点、重合，舍去，因此，顶点的坐标是. 故答案为：. 【点睛】本题考查点的坐标的计算，涉及直线交点坐标的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 38．（19-20高二上·湖北恩施·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为， 所以， 解得，即：. ，故欧拉线方程为：， 即： 故选：A 【点睛】本题考查了直线方程，两点之间距离公式，三角形的垂心外心重心的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 39．（21-22高二·江苏·单元测试）（多选题）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（　　） A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个 B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个 C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个 D．若，则点M在一条过点O的直线上 【答案】ABC 【分析】根据点M的“距离坐标”的定义逐一判断即可. 【详解】A. 若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确. B. 若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确. C. 若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确. D. 若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确. 故选：ABC. 40．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．已知空间向量，且，则实数 B．直线与直线之间的距离是. C．已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】A选项，由空间向量共线相关结论可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误. 【详解】A选项，由于.所以，所以A选项正确； B选项，直线，因此两平行直线的距离，故B错误； C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ， 令， .因直线与与轴正半轴交于点两点， 则，. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确： D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 41．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解． 【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则， 直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形， 故，且到直线的距离等于到的距离， 设，则，解得或（舍，所以， 而，且（定值）， 故只需求出的最小值即可，显然， 故的最小值为． 故答案为：． 42．（22-23高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得． 【详解】若动点到两直线和的距离之和为， 交点为的斜率分别为，则， 在的右侧时，过分别向引垂线， 垂足分别为，那么， 过作轴的平行线，与交点为如图， 则，所以， 其它位置同理，那么点轨迹为正方形， 当在时，取得最大值，即取得最大值8. 故答案为：8． 43．（21-22高二·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，现有下列命题： ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点； ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点； ④直线经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 其中，真命题有 ．（选填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】由整点的定义，举例说明①⑤是真命题；举反例说明②④是假命题；两整点的坐标相加减得到的整点同样在直线上，以此类推可得③是真命题. 【详解】对于①，令，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，正确； 对于②，若，则直线经过点，错误； 对于③，当经过两个不同的整点时，可得，两式相减得， 两式相加得，则也在直线上且为整点， 再将相加又可得到新的整点，依此类推可得到无穷多个整点，正确； 对于④，当k与b都是有理数时，直线可能不经过任何整点，比如，错误； 对于⑤，对于只经过一个整点，正确. 故答案为：①③⑤. 44．（21-22高三上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系内，设M（x1，y1）、N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c=0，设．有下列四个说法： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若δ=1，则过M、N两点的直线与直线l平行； ③若δ=﹣1，则直线l经过线段MN的中点； ④若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述说法中，所有正确说法的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证． 【详解】解：对于①，化为：，即点，不在直线上，因此①不正确． 对于②，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故②正确； 对于③，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故③正确； 对于④，，则，则点，在直线的同侧，故④正确； 故答案为：②③④. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$