专题03 直线方程（八大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题3 直线方程 考点1．直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. (2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在． 当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大． 当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大． 2.求直线斜率的公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）、当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）、斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）、当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 考点2. 直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线 考点3. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0) 都不为0) 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线. 考点4. 直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 考点5. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即 考点6. 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 考点7. 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点8.两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 考点9.点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 考点10.两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 考点11.对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点 ； ②点关于y轴的对称点 ； ③点关于直线y=x的对称点 ； ④点关于直线y=−x的对称点 ； ⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点； ⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点. 重难点题型1 直线的倾斜角与斜率的基本概念 例1.（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 例2.（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例3．（21-22高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 1.（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 重难点题型2 求直线方程 例4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）（多选题）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选题）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 例7．（23-24高二下·全国·课后作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 1.（23-24高二下·全国·课后作业）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 重难点题型3直线与坐标轴围成的三角形问题 例8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 例9．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 重难点题型4 与平行与垂直的直线方程中的参数问题 例10．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 例11.（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 1.（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高二下·四川南充·期末）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点题型5 直线的交点问题 例12.（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 例13．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高二上·全国·期中）（多选题）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 重难点题型6 距离公式的应用 例14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 例15．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 例16．（23-24高二上·福建福州·期末）（多选题）已知直线，点，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 1.（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 . 2.（22-23高二上·浙江·阶段练习）（多选题）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．当时，是直线的方向向量 D．原点到直线的最大距离为 3.（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 重难点题型7 对称问题 例17．（15-16高一上·广西河池·期末）直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为 ． 例18．（18-19高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 A． B． C． D． 例19．（18-19高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 1.（18-19高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（17-18高二上·四川内江·期末）已知A（﹣1，4）关于直线l的对称点为B（3，6），则直线l的方程是（　　） A．x﹣2y﹣9＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y+3＝0 D．x+2y﹣11＝0 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ）    A． B． C． D． 重难点题型8 直线方程的综合问题 例20．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）（多选题）已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 例21．（19-20高二上·安徽芜湖·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 . 1.（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）（多选题）直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 例22．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 例23.（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点. (1)求的最小值； (2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围. 1.（20-21高二上·江西景德镇·期中）如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 2.（18-19高一下·江苏苏州·期中）设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 1．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 7．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 8．（19-20高二上·安徽合肥·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 9．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 10．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 11．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 13．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 14．（22-23高二上·四川广安·期中）已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·浙江舟山·期末）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 16．（23-24高二上·山东日照·期中）（多选题）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）（多选题）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高二·全国·课后作业）（多选题）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 19．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）下列说法正确的是 . ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 20．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 21．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 22．（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 23．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 24．（19-20高三下·北京顺义·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与的终边（始边为轴正半轴）交于点，为坐标原，若点横坐标为，，则直线的方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 直线方程 考点1．直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. (2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在． 当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大． 当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大． 2.求直线斜率的公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）、当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）、斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）、当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 考点2. 直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线 考点3. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0) 都不为0) 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线. 考点4. 直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 考点5. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即 考点6. 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 考点7. 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点8.两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 考点9.点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 考点10.两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 考点11.对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点 ； ②点关于y轴的对称点 ； ③点关于直线y=x的对称点 ； ④点关于直线y=−x的对称点 ； ⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点； ⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点. 重难点题型1 直线的倾斜角与斜率的基本概念 例1.（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 例2.（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 例3．（21-22高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 1.（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得. 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 2．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系列方程求解即得. 【详解】由直线的倾斜角为可得，， 解得，， 故答案为：． 重难点题型2 求直线方程 例4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以求出直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可. 【详解】∵直线l的倾斜角为，∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点，∴直线l的方程为 故选：B. 例5．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）（多选题）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 1.（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程写出即可. 【详解】由点斜式可得直线的方程为， 化为. 故选：C. 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选题）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则 或.分类讨论，代点计算即可. 【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故D正确； 故选：ABD． 例6．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 例7．（23-24高二下·全国·课后作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 1.（23-24高二下·全国·课后作业）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； （4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 重难点题型3直线与坐标轴围成的三角形问题 例8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 例9．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 1.（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】代入点坐标得到，利用均值不等式得到，计算面积得到答案. 【详解】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 重难点题型4 与平行与垂直的直线方程中的参数问题 例10．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 例11.（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：B 1.（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 2．（21-22高二下·四川南充·期末）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】依题意，，解得或， 所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 重难点题型5 直线的交点问题 例12.（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 例13．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 1．（22-23高二上·全国·期中）（多选题）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 2．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 【答案】 1 【分析】根据两条直线互相垂直求得，设，根据中点坐标公式求出，然后求得直线的一般式方程. 【详解】由题意得，得． 设，由得 即，则直线的方程为，即． 故答案为：1；. 重难点题型6 距离公式的应用 例14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 例15．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【答案】B 【分析】对于A，由斜率关系判定即可；对于B，由直线平行的性质验算，并注意检验；对于C，联立方程组验算即可；对于D，将直线方程变形即可求解. 【详解】因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 例16．（23-24高二上·福建福州·期末）（多选题）已知直线，点，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【分析】A选项，根据直线斜率求出倾斜角；B选项，利用点到直线距离公式得到方程，求出；C选项，设出平行直线，代入点，求出答案；D选项，设出垂直直线的方程，代入，求出答案. 【详解】A选项，直线斜率，故倾斜角为，故正确； B选项，由点到直线的距离公式得，得，所以，故B错误； C选项，设与直线平行的直线方程为， 因为平行直线方程经过点，所以，解得， 即平行直线方程为，故C正确； D选项，设与直线垂直的直线方程为， 因为垂直直线方程经过点，所以，解得， 即垂直直线方程为，故D错误. 故选：AC. 1.（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】把直线化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由，且，所以直线与不垂直， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 2.（22-23高二上·浙江·阶段练习）（多选题）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．当时，是直线的方向向量 D．原点到直线的最大距离为 【答案】AD 【分析】 根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，解得，正确； 对选项B：当时，两条直线重合，错误； 对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误； 对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确. 故选：AD 3.（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 重难点题型7 对称问题 例17．（15-16高一上·广西河池·期末）直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为 ． 【答案】3x+y﹣2=0． 【详解】试题分析：由题意求出直线l的斜率，再求出直线3x﹣y+2=0所过的定点，由直线方程的斜截式得答案． 解：由题意可知，直线l的斜率与直线3x﹣y+2=0斜率互为相反数， ∵3x﹣y+2=0的斜率为3，∴直线l的斜率为﹣3， 又直线3x﹣y+2=0过点（0，2）， ∴直线l的方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0． 故答案为3x+y﹣2=0． 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 例18．（18-19高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于y＝1的对称点的坐标，代入已知直线方程化简即可． 【详解】设直线2x﹣y+1＝0关于直线y＝1对称的直线上任意点的坐标为（x，y），则（x，y）关于y＝1的对称点的坐标为：（x，2-y）代入直线2x﹣y+1＝0可得所求对称直线方程：2x+y﹣1＝0； 故选B 【点睛】本题是基础题，考查直线关于直线对称的直线方程的求法，本题采用相关点法解答，也可以利用两点式、点斜式等直线方程的方法求解． 例19．（18-19高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 【答案】A 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 1.（18-19高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【详解】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题. 2．（17-18高二上·四川内江·期末）已知A（﹣1，4）关于直线l的对称点为B（3，6），则直线l的方程是（　　） A．x﹣2y﹣9＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y+3＝0 D．x+2y﹣11＝0 【答案】B 【分析】根据的坐标可求出，及中点坐标，由关于对称，知的斜率，且过的中点，即可求出. 【详解】因为，AB的中点为， 所以的斜率，且过点， 则直线l的方程，即， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程，对称问题，属于中档题. 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长. 【详解】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：B.    重难点题型8 直线方程的综合问题 例20．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）（多选题）已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】BC 【分析】利用两条直线垂直建立的关系，再利用基本不等式逐项求解即得. 【详解】由直线，，且，得，即，又， 对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，， 当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D错误. 故选：BC 例21．（19-20高二上·安徽芜湖·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出直线过定点的坐标和直线过定点的坐标，与交于点，根据两条直线的斜率不难发现有则有，可得，再利用基本不等式的性质可得的最大值． 【详解】对于直线，令，可得，故它过定点， 且它的斜率为． 对于动直线：，即， 令，求得，，过定点， 且它的斜率为，故与垂直． 与交于点（异于点，）， ． ， ， ， 当且仅当时，的最大值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． 1.（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）（多选题）直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据两角和的正切及正切函数单调性得到倾斜角的范围． 【详解】联立两直线方程得： 当时，两直线平行，不满足题意. 当时解得 ，所以两直线的交点坐标为 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 解得： ， 设直线的倾斜角为，则， 又， 因为，正切函数在单调递增，所以. 故选：BC 2.（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 例22．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程； （2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求. 【详解】（1）设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 （2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 例23.（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点. (1)求的最小值； (2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2). 【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点， 如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为， 则，所以， 可得， 所以当时，即时，取得最小值. （2）接：根据题意，设直线的方程为，即， 可得，所以， 整理得， 因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根， 则满足，解得，所以的取值范围是. 1.（20-21高二上·江西景德镇·期中）如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）时 ，时 . 【解析】（1）设MN方程为：，与y＝x 和x＝1联立得和，结合图像列可得解； （2）由可得坐标关系可得，从而得解； （3）由S△AMN＝＝，进而由函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∵， ∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 【点睛】本题解题的关键是设MN方程为，进而得和，从而可解范围. 2.（18-19高一下·江苏苏州·期中）设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) ，，，， 【分析】(1)将原式变形为，由可得直线必过一定点； (2)由题可得，，则，求出最值，并找到最值的条件，进而可得的周长； (3) ，均为整数，变形得，只要是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出，进而可得直线的方程. 【详解】解：(1)由得， 则，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点； (2)由得， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号. ，， 的周长为； (3) 直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， ，， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，，. 【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题. 1．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得. 【详解】由题知，， 解得. 故选：C 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 5．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 【答案】C 【分析】根据两线垂直求解即可； 【详解】解：因为直线与互相垂直， 所以， 即：， 解得：或 . 故选:C. 7．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 8．（19-20高二上·安徽合肥·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 9．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 10．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 11．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 13．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 14．（22-23高二上·四川广安·期中）已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点与点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：C. 15．（23-24高二上·浙江舟山·期末）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 16．（23-24高二上·山东日照·期中）（多选题）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 【答案】BD 【分析】根据题意，由两直线平行垂直的关系即可判断AB，将点代入直线方程即可判断C，分别讨论，以及即可判断D. 【详解】若，则，解得或（舍），故A错误； 若，则，解得或（舍），故B正确； 将点代入直线，可得，故不过点，故C错误； 若不经过第一象限，当时，此时，则， 解得且；当时，即，此时不经过第一象限；当时，即，此时不经过第一象限；综上所述，当且时，不经过第一象限，故D正确； 故选：BD 17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）（多选题）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案. 【详解】令、分别在直线：与：上， 设AB的中点M的坐标为，则有： ，两式相加得：， 所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能. 故选：CD 18．（21-22高二·全国·课后作业）（多选题）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 【答案】AD 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n）， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，， 故选：AD 19．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）下列说法正确的是 . ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 【答案】①③ 【分析】利用直线过定点判断①，利用截距的定义判断②，利用直线与斜率与倾斜角判断③，利用直线的截距式判断④，从而得解. 【详解】对于①，因为，所以，所以直线过定点，故①对； 对于②，令得，所以直线在轴上的截距为，故②错； 对于③，直线可变形为，设其倾斜角为，所以斜率， 因为，所以，故③对； 对于④，当直线的截距为0时，可设， 代入可得，解得，此时直线，即； 当直线的截距不为0时，因为直线在轴上的截距相等，可设， 代入得，解得，此时直线，即，故④错. 故答案：①③ 20．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 【答案】 【分析】由题可得直线所过定点为，则设直线为，其中，则问题转化为已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案. 【详解】 ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 故答案为： 21．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 22．（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系，利用待定系数法求直线方程. 【详解】联立，得， 设与直线垂直的直线方程为， 得，得， 所以直线方程为. 故答案为： 23．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 24．（19-20高三下·北京顺义·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与的终边（始边为轴正半轴）交于点，为坐标原，若点横坐标为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线方程和点横坐标为，求得，进而得到，再根据斜率公式，求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意知，直线的终边，交于点，为坐标原，即， 又由点横坐标为，可得，所以， 又因为，则，所以，即， 又由，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中涉及到直线的极坐标系的应用，以及直线的点斜式方程的应用，着重考查了推理与计算能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$