专题01 空间向量及其运算（九大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题1 空间向量及其运算 知识点1：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)、定义：在空间，具有______和______的量叫做空间向量． (2)、长度或模：空间向量的大小． (3)、表示方法： ①几何表示法：空间向量用____________表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：______，其模记为______或|______. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 单位向量 相反向量 a的相反向量：－a 的相反向量：______ 相等向量 相等 a＝b 知识点2：空间向量的线性运算 1、向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝____________＝a＋b 减法 ＝____________＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2、空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向____________；当λ<0时，λa与向量a方向____________； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|______倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝______，λ(a＋b)＝______． 知识点3：共线问题 共线向量 (1)、定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)、方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)、共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使___________． (4)、如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点4：向量共面问题 共面向量 (1)、定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)、共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________． (3)、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 知识点5：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)、常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点6：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点7：空间向量的长度 1. 定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 知识点8、 空间向量的坐标运算 （1）、空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）、空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）、向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①; ②;③; （4）、向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 重难点题型（一） 空间向量的概念 例1.（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 例2.（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 例3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 1.（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 2.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 重难点题型（二） 空间向量的线性运算 例4.（15-16高二上·贵州遵义·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 例5．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24高二下·全国·课后作业）（多选题）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 例7．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）（多选题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型（三） 空间向量的基本定理 例8．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选题）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例9．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 例10．（24-25高二下·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选题）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 重难点题型（四） 共线向量或共面问题 例11．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 例12．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列结论中，其中正确的是（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面 D．已知空间的两个不共线向量，，对于空间的一个向量，存在实数x，y，使得，则向量与向量，共面 例13．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选题）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 例14．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2.（24-25高二下·上海·单元测试）在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，空间的一点满足.若、、共面，则λ＝ . 4．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型（五） 空间向量的坐标运算 例15．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知向量，，则 例16．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选题）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．共面 1.（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型（六） 空间向量的数量积运算 例17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 例18．（23-24高二下·福建宁德·期末）在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 例19．（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 1.（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 重难点题型（七） 平行与垂直 例20．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量、，若，则 ． 例21．（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 例22．（22-23高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 例23．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 1.（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 2．（18-19高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则 ． 3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难点题型（八） 距离问题 例24．（23-24高二上·北京顺义·期中）若向量，，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 例25．（23-24高二上·北京·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．5 例26．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 例27．（2020高二·全国·专题练习）（多选题）已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 1.（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D．12 2.（20-21高二上·辽宁大连·阶段练习）设，向量，，，且，，则 . 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 4．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 重难点题型（九） 夹角问题 例28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，，则向量与的夹角为 ． 例29．（19-20高二·全国·课后作业）已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 例30．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 例31．（22-23高二下·浙江杭州·期中）向量，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 1.（20-21高二·全国·课后作业）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数x的值为 ． 2．（21-22高二上·广东·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·福建泉州·阶段练习）（多选题）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．与夹角余弦值为 C．与平行的单位向量的坐标为或 D．在方向上的投影向量的坐标为 4．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知，且，则的值为（　　） A．5 B． C．3 D．4 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）对于任意非零向量，，以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若（），则 C． D．若，则为单位向量 9．（21-22高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．6 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 12．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）（多选题）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 15．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）（多选题）下列说法错误的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 16．（23-24高二上·青海西宁·期中）（多选题）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山东·期中）（多选题）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为 D．可以作为空间的一组基底 18．（23-24高二上·宁夏固原·期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 20．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 21．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，，，若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 空间向量及其运算 知识点1：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)、定义：在空间，具有______和______的量叫做空间向量． (2)、长度或模：空间向量的大小． (3)、表示方法： ①几何表示法：空间向量用____________表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：______，其模记为______或|______. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 单位向量 相反向量 a的相反向量：－a 的相反向量：______ 相等向量 相等 a＝b 知识点2：空间向量的线性运算 1、向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝____________＝a＋b 减法 ＝____________＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2、空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向____________；当λ<0时，λa与向量a方向____________； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|______倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝______，λ(a＋b)＝______． 知识点3：共线问题 共线向量 (1)、定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)、方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)、共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使___________． (4)、如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点4：向量共面问题 共面向量 (1)、定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)、共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________． (3)、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 知识点5：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)、常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点6：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点7：空间向量的长度 1. 定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 知识点8、 空间向量的坐标运算 （1）、空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）、空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）、向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①; ②;③; （4）、向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 重难点题型（一） 空间向量的概念 例1.（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 例2.（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 例3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 1.（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题； 对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：ABC 2.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 重难点题型（二） 空间向量的线性运算 例4.（15-16高二上·贵州遵义·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量加法定义的运用. 例5．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】因为平行六面体中，分别为的中点， 可得， 又因为，可得，即. 故选：A. 例6．（23-24高二下·全国·课后作业）（多选题）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 例7．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 1.（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解. 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）（多选题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 重难点题型（三） 空间向量的基本定理 例8．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选题）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 例9．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 例10．（24-25高二下·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的共面和空间基底的条件即可解答. 【详解】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作为基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 1.（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选题）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 2.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知 BCD 选项中的向量共面, 无法作为一组基底; 假设 A 中向量共面, 可知不存在满足条件的实数 , 由此知假设错误, 则 A 中向量可以作为基底. 【详解】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 3．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 重难点题型（四） 共线向量或共面问题 例11．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可得到结论． 【详解】空间向量共面定理，，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是； 对于A选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误； 对于B选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误； 对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确； 对于D选项，由得， 而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误． 故选：C. 例12．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列结论中，其中正确的是（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面 D．已知空间的两个不共线向量，，对于空间的一个向量，存在实数x，y，使得，则向量与向量，共面 【答案】D 【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可. 【详解】选项A，向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故A错误； 选项B，根据空间向量的意义知，空间任意两个向量都共面，故B错误. 选项C，由于三个向量两两共面，但是不一定共面，故C错误； 选项D，已知向量是空间的一个基底，若，则向量共面，D选项正确. 故选：D. 例13．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选题）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 例14．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论. 【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D 1.（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算得出参数值. 【详解】由已知得， ． 所以，故有． 故选：A. 2.（24-25高二下·上海·单元测试）在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间向量共线，共面的性质及定理逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量两两都共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系中分别在轴上的向量两两共面，但是显然轴不共面，三个向量也不共面，故③错误； 对于④，若， 则成立，此时； 又还可以写成的形式，此时， 即表示形式并不唯一； 若，当不与向量共线时，不存在使，故④错误. 综上可知，四个命题都不正确. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，空间的一点满足.若、、共面，则λ＝ . 【答案】 【分析】依题意可得，，，四点共面，根据空间四点共面的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为、、共面，所以，，，四点共面， 又， 根据四点共面的充要条件可得，解得. 故答案为： 4．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 重难点题型（五） 空间向量的坐标运算 例15．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知向量，，则 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 例16．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选题）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．共面 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 1.（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 重难点题型（六） 空间向量的数量积运算 例17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 例18．（23-24高二下·福建宁德·期末）在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，再利用投影公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以在上的投影为. 故选：D. 例19．（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 1.（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由空间向量的数量积运算及模运算求解． 【详解】解：对于A项，，则，则与不平行，故A项错误； 对于B项，， 则， 则不成立，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确， 故选：CD 重难点题型（七） 平行与垂直 例20．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量、，若，则 ． 【答案】1 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可. 【详解】因为、且， 所以，则，即，解得， 所以. 故答案为： 例21．（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 例22．（22-23高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解. 【详解】根据题意，由， 设， 即 解得：， 则有， 由此得． 故选：B. 例23．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，∴，解得， 故选：A． 1.（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 2．（18-19高二下·四川成都·阶段练习）已知，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据垂直得到，得到方程，求出. 【详解】， 因为，所以， 即， 解得. 故答案为：2 3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得. 故选：B 4．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 重难点题型（八） 距离问题 例24．（23-24高二上·北京顺义·期中）若向量，，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据空间向量共线定理计算即可. 【详解】因为， 所以存在唯一实数，使得，即， 所以，解得， 所以，所以. 故选：A. 例25．（23-24高二上·北京·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】利用向量模的坐标公式求出，即可得到答案. 【详解】， 故，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B 例26．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【答案】9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 例27．（2020高二·全国·专题练习）（多选题）已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 1.（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D 2.（20-21高二上·辽宁大连·阶段练习）设，向量，，，且，，则 . 【答案】3 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 【答案】 【分析】应用空间向量加法和模的坐标公式计算即可. 【详解】根据题意，， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 重难点题型（九） 夹角问题 例28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角. 【详解】由，，， 则， 则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 例29．（19-20高二·全国·课后作业）已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【分析】两向量，的夹角为钝角时，但时，，的夹角为钝角或平角，故在解题时应注意排除，的夹角为的情况． 【详解】由题意得且不共线， 所以，解得：且． 故实数t的取值范围为． 故答案为：. 例30．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的数量积、模长、夹角公式可判断ACD；设，代入解方程即可判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 例31．（22-23高二下·浙江杭州·期中）向量，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程求解即可. 【详解】因为， 所以， ，， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：D. 1.（20-21高二·全国·课后作业）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数x的值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可求解. 【详解】根据题意得， 即，且，解得（舍去）或． 故答案为： 2．（21-22高二上·广东·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可. 【详解】由，得， 当时，，即，得，解得， ∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为． 故选：D. 3．（22-23高二下·福建泉州·阶段练习）（多选题）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．与夹角余弦值为 C．与平行的单位向量的坐标为或 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABC 【分析】A选项先算出，然后根据向量的数量积计算是否为来判断；B选项先算出与，然后根据夹角公式计算；C选项根据向量的单位化方法求解；D选项根据投影向量的坐标公式求解. 【详解】，， 根据向量的数量积运算，，故，A选项正确； ，又， 根据夹角公式，，B选项正确； 与平行的单位向量为：，即单位向量的坐标为或，C选项正确； 根据投影向量的坐标公式，在方向上的投影向量的坐标为：，D选项错误. 故选：ABC 4．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据给定条件，借助向量的夹角公式计算即可. 【详解】设，由，得 则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可） 故答案为：.（答案不唯一） 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 【答案】C 【分析】先假设与共线即，从而得，进而推出矛盾，与同理，从而可判断选项ABD，再由向量共面的充要条件结合已知条件、和即可判断C. 【详解】假设与共线，则， 所以即，又、， 所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立， 则A不正确，同理B不正确，则D不正确； 因为、，，所以与，共面，故C正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 5．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知，且，则的值为（　　） A．5 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得，代入坐标计算可得答案． 【详解】由题意可得，则，解之可得. 故选：D． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为， 故选：C. 8．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）对于任意非零向量，，以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若（），则 C． D．若，则为单位向量 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；根据向量共线定理可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确； 对于B选项，设（），其中为实数， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确； 对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误. 故选：D. 9．（21-22高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求. 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：B. 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案. 【详解】，，且， ， 解得：， 故选：B. 12．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）（多选题）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D. 【详解】对于A，若点P在直线上，则，则， 由于三点共线，故，A错误； 对于B，若点P在直线上，则，而， 结合，得，B正确； 对于C，若点P在平面内，即四点共面， 则由，可知，C正确， 对于D，若点P在平面内，则， 则， 又，则，D正确， 故选：BCD 15．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）（多选题）下列说法错误的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BCD 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，不存在，B错误； 对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误； 对于D，当时，四点不共面，D错误. 故选：BCD 16．（23-24高二上·青海西宁·期中）（多选题）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 17．（23-24高二上·山东·期中）（多选题）空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为 D．可以作为空间的一组基底 【答案】ABD 【分析】求出，结合空间向量模长公式计算A；计算，即可证明，从而判断B；利用计算即可判断C；由，，是否共面即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以，选项A正确； 又因为，所以， 所以，所以是直角三角形，选项B正确； 因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误； 假设，，共面，则存在唯一的有序数对使， 即， 所以，此方程组无解，故，，不共面， 故可作为空间一组基底，选项D正确. 故选：ABD. 18．（23-24高二上·宁夏固原·期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C正确；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D错误. 【详解】由可知，即A正确； 当时，则，满足，因此，即B正确； 当时，易知，所以，可知C错误； 当时，可得，满足， 可知不垂直，即D错误. 故选：AB. 19．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量共面列出线性关系得出坐标计算即可. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数x，，使得， 即， 则，解得. 故答案为：. 20．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算、模的坐标运算公式求解即可得出结果. 【详解】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 21．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知向量，，，若，则 ． 【答案】 【分析】求出向量的坐标，由已知条件可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为向量，，， 则， 因为，则，解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$