专题01 空间向量及其运算（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题1 空间向量及其运算 一、单选题 1．（21-22高二上·重庆开州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 5．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·广东湛江·期中）若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 12．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 二、多选题 13．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（    ） ①；    ②； ③；    ④． A．① B．② C．③ D．④ 15．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 三、填空题 17．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 18．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 19．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，则在上的投影向量的模为 ． 21．（22-23高二上·广东东莞·期中）在空间直角坐标系中，若点，则 . 22．（23-24高二下·甘肃·期中）已知向量，且，则 ． 23．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 24．（23-24高二下·湖南张家界·开学考试）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 . 25．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线的方向向量为，则 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．圆与的位置关系为内切 27．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 29．（2024高二·全国·专题练习）设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 31．（23-24高二上·广东清远·期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B．，则四点共面 C．四边形是矩形 D．若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成角的余弦值为 32．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为 33．（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 34．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 35．（24-25高二上·上海·单元测试）已知空间向量，，，则 ． 36．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 37．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 38．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 39．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 40．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知三棱锥的棱、、两两垂直，，，为的中点，在棱上，且平面，则下列说法错误的是（  ）. A． B．与平面所成的角为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 41．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直 B．为直角三角形的充要条件是 C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D． 43．（2024·江西·模拟预测）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 44．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选题）在正四棱柱中，，，其中，，，则下列命题正确的是（    ） A．当，时，平面 B．当且⊥时，平面平面 C．当，时，二面角正切的最大值为2 D．当时，三棱锥体积的最大值为 45．（18-19高二下·上海宝山·期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ． 46．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 空间向量及其运算 一、单选题 1．（21-22高二上·重庆开州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断. 【详解】A. 向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度，故正确； B. 空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故错误； C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； D.互为相反向量的两个向量不相等，但两个空间向量的模相等，故错误； 故选：A 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得. 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 5．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 6．（24-25高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 7．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 8．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 9．（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 10．（23-24高二上·新疆昌吉·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：A 11．（21-22高二上·广东湛江·期中）若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求出向量，再由向量模的公式求出. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A． 12．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误； 故选：C 二、多选题 13．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意； B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意； C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意； D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意； 故选：BCD. 14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（    ） ①；    ②； ③；    ④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】①； ②； ③； ④． 故选：ABCD. 15．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 16．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 三、填空题 17．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 18．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 19．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以 . 故答案为： 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，则在上的投影向量的模为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，将投影向量的模转化为运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， ，则， 则在上的投影向量的模为， 故答案为：.    21．（22-23高二上·广东东莞·期中）在空间直角坐标系中，若点，则 . 【答案】 【分析】直接利用空间两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 22．（23-24高二下·甘肃·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 23．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 24．（23-24高二下·湖南张家界·开学考试）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 25．（24-25高二下·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可得到结论． 【详解】空间向量共面定理，，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是； 对于A选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误； 对于B选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误； 对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确； 对于D选项，由得， 而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误． 故选：C. 26．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线的方向向量为，则 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．圆与的位置关系为内切 【答案】C 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断；对于B，由方程表示的直线斜率为,即可判断；对于C，由空间向量的基底的定义分析判断；对于D，求出两圆的圆心距，等于半径差的绝对值，可知两圆内切，即可判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，故A正确； 对于B，方程表示的直线斜率为,故B正确； 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，故C错误； 对于D，圆的圆心，半径， 圆可化为，则圆心，半径， 所以，所以两圆内切，故D正确. 故选：C. 27．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理求解即可. 【详解】取中点，连接，，由底面为正三角形， 知过点，且. 于是， 故选：D. 28．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 29．（2024高二·全国·专题练习）设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，分析各向量组是否共面即可. 【详解】如图所示，令，，， 则，，，， 由于四点不共面，可知向量也不共面， 同理四点不共面，可知向量不共面， 又四点不共面，可知向量也不共面， 而四点共面，所以向量共面， 又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底. 故选：C. 30．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C 31．（23-24高二上·广东清远·期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B．，则四点共面 C．四边形是矩形 D．若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成角的余弦值为 【答案】B 【分析】根据向量的模及向量的夹角可判断A，根据四点共面可转化为，且，求解即可判断B，根据向量的数量积判断向量是否垂直可判断C，根据异面直线所成角为锐角或直角判断D. 【详解】对于A选项，，则有， 又，则为钝角，为等腰三角形，A错误； 对于B选项，若要四点共面，则存在，使得成立，且，又，， 则，解得，， 为的中点，则四点共面，B正确． 对于C选项，， ，，所以四边形是平行四边形． ，与不垂直． 四边形不是矩形，C不正确； 对于D选项，， 异面直线与所成角的余弦值为，故D不正确． 故选：B 32．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，计算可判定A选项；利用正弦定理计算三角形的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项. 【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，   ，，，，， ，，则，， 则， 故选项A正确； ， 所以， 则， ， 故选项B正确； ， ， ， 点F到直线的距离， 故选项C正确； ,则, 则令异面直线与所成角，可得， 故选项D错误. 故选：D. 33．（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 34．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 35．（24-25高二上·上海·单元测试）已知空间向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的减法化简，再应用向量的数量积公式计算即可. 【详解】因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 36．（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【答案】9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 37．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 38．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出的坐标，由此得到关于的方程组，解出方程组则结果可知. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为：##. 39．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题. 40．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知三棱锥的棱、、两两垂直，，，为的中点，在棱上，且平面，则下列说法错误的是（  ）. A． B．与平面所成的角为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】C 【分析】由线面平行的性质可得，再由向量的线性运算可判断A；由线面垂直的判定定理可得平面，得与平面所成的角为，求出角可判断B；三棱锥可补形得到一个以、、为相邻三条棱的长方体，长方体与三棱锥有相同的外接球可判断C；由面面垂直的判定定理、性质定理可得点到平面的距离即点到的距离，在中计算边上的高可判断D. 【详解】对于A，如下图，∵平面，平面， 平面平面，∴， ∵为的中点，∴为的中点， 则，A选项对；    对于B，如下图，∵、、两两垂直，，、平面， ∴平面，得与平面所成的角为， 又，∴，B选项对；    对于C，如下图，由题意可知三棱锥可补形得到一个以、、为相邻三条棱的长方体， ∵，，∴三棱锥外接球的半径， ∴三棱锥外接球的表面积为，C选项错；    对于D，∵、、两两垂直，，、平面， ∴平面，又，∴平面，平面， ∴平面平面， ∵平面平面，∴点到平面的距离即点到的距离， 在中，、，∴，则边上的高为， 即点到平面的距离为，D选项对.    故选：C. 【点睛】方法点睛：利用长方体求三棱锥外接球半径，根据球的几何性质，到几何体各个顶点距离相等的点即为其外接球球心，因此长方体的两条体对角线交点即为其外接球球心,体对角线长即为其外接球直径.若三棱锥的各个顶点与长方体的顶点重合，则他们的外接球相同，故可利用长方体求三棱锥外接球半径，此类三棱锥大体上可以分为三类：墙角三棱锥、鳖臑、对棱相等型. 41．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心. 【详解】如图所示： 先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点， 利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心， 从而，即， 不妨设垂心，坐标原点为， 则， 所以有，即垂心的坐标满足, 又四点共面， 从而由四点共面的充要条件可知， ， 从而，结合， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例. 42．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直 B．为直角三角形的充要条件是 C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D． 【答案】C 【分析】利用垂直的向量表示判断A；利用三角形中不一定为直角，结合充要条件概念判断B；利用共面向量基本定理及基底的概念判断C；根据数量积的运算律判断D. 【详解】A：因为，，所以，与不垂直，故A错误； B：由，知，即. 而为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是， 所以无法推出，故B错误； C：因为为空间的一个基底，设，即，无解， 所以不共面，则构成空间的另一基底，故C正确； D：，当时，，故D错误. 故选：C. 43．（2024·江西·模拟预测）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】由时，得到为的中点，可判定A错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定B正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定C正确；求得点的轨迹在内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定D错误． 【详解】对于A中，由于时，则，此时为的中点， 在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以A错误； 对于B中，在上取点，使，在上取点，使， 因为，即，可得点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示， 连接交于，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，所以，则， 所以，所以， 即此时的最小值为，所以B正确； 对于C中，当时，可得点的轨迹在平面内（包括边界）， 在正方形中，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以，又由， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，当时，可得点的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，可得， 又因为平面，故平面， 因为平面，可得，同理可证， 又因为平面，所以平面， 设与平面交于点，由于， 为边长为的正三角形，则点到平面的距离为， 若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上， 此时点到三边的距离均为， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 44．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选题）在正四棱柱中，，，其中，，，则下列命题正确的是（    ） A．当，时，平面 B．当且⊥时，平面平面 C．当，时，二面角正切的最大值为2 D．当时，三棱锥体积的最大值为 【答案】ABC 【分析】A选项，推出点在线段上，证明线线平行，得到线面平行，面面平行，进而证明出结论；B选项，推出点在长方形内，由线线垂直得到线面垂直，进而证出面面垂直；C选项，推出点在线段上，作出辅助线，找到二面角的平面角，得到，由于，故，C正确；D选项，推出点在三角形内（包含边界），找到当点与重合时，三棱锥体积的最大，利用锥体体积公式求出最大值. 【详解】A选项，当，时，，， 故点在线段上， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证，故平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面，A正确； B选项，当时，， 因为，，所以点在长方形内， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面，B正确； C选项，当，时，， 故，即，， 故点在线段上， 过点作交于点，过点作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 又平面，故⊥， 故为二面角的平面角， ， 由于，故， 二面角正切的最大值为2，C正确； D选项，当时，， 故， 即，故四点共面， 又，，， 所以，故， 所以点在三角形内（包含边界）， 故当点与重合时，三棱锥体积的最大， 最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 45．（18-19高二下·上海宝山·期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值. 【详解】间的球面距离为         同理可得：      所在小圆的半径： 设    四点共面 若取最大值，则需取最小值 最小值为球心到所在平面的距离 本题正确结果： 【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题. 46．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【答案】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$