专题04 函数的概念及其表示、分段函数（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题4 函数的概念及其表示、分段函数 一、单选题 1．（18-19高三·重庆·阶段练习）已知集合，，则 A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 3．（22-23高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（22-23高一上·四川·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与； ②与； ③与. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．  B．  C．  D．   10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是 D．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 11．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 12．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 三、填空题 13．（22-23高一上·湖南·期中）已知是一次函数，且，则 ． 14．（22-23高一上·四川·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 . 15．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 四、解答题 17．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数的值域． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 19．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 23．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选题）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三上·湖南·阶段练习）（多选题）已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 25．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若函数满足，则 ． 26．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高一上·浙江·期中）函数当时，实数 . 28．（23-24高一上·天津和平·期中）已知函数，若，则 . 29．（23-24高二下·河北衡水·期末）已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 30．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知定义在R上的函数满足：. (1)求函数的表达式； (2)当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 31．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高三上·北京·期中）已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选题）已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选题）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或3 C．若，则 D．，使得 35．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 36．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）设函数存在最小值，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 函数的概念及其表示、分段函数 一、单选题 1．（18-19高三·重庆·阶段练习）已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求解集合A，再求交集即可. 【详解】∵集合，，∴. 故选B． 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A 3．（22-23高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由题可得， 所以. 故选：D. 4．（22-23高一上·四川·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与； ②与； ③与. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义判断作答. 【详解】函数定义域为R，定义域为R，且，则①是同一函数； 函数定义域为，而定义域为R，则②不是同一函数； 函数与定义域均为R，并且法则相同，则③是同一函数， 所以①③是同一函数. 故选：C 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式运算求解. 【详解】由题意可得：， 且， 所以. 故选：D. 6．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时直接代入；时利用可得答案． 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 8．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在段运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，（定值），即可结合选项求解. 【详解】当点在段运动时，随的增大而匀速增大， 点在弧上运动时，（定值）， 点在上运动时，随着的增大而减小． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数. 故选：ABC 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是 D．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据同一函数的条件即可判断A；由抽象函数的定义域的求法即可判断B；利用二次不等式恒成立的条件计算即可判断C；利用二次不等式的解集与对应方程的根的关系即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以函数的定义域为， 因为，所以函数的定义域为，所以两个函数的定义域相同， 又，所以两个函数的解析式相同，故两个函数表示同一函数，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，由，得，所以，即，所以的定义域为，故B正确； 对于C，当时，不等式恒成立，故C错误； 对于D，的解集为，， ，，， ，即， 解得：或，即不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD. 11．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案. 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 12．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，则，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B错误； 在中，，解得，因此的定义域为，C正确； 显然，，于是，因此 的值域为，D正确. 故选：CD 三、填空题 13．（22-23高一上·湖南·期中）已知是一次函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据待定系数法设，代入整理得，对比系数列式求解. 【详解】设， 因为， 则， 可知，解得，故． 故答案为：. 14．（22-23高一上·四川·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题可得在R上恒成立，根据二次不等式的解法即得. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以在R上恒成立， 则， 解得：. 故答案为：. 15．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】使用换元法求函数的解析式，然后代值计算即可. 【详解】由题意，， 令，则， 所以函数解析式为， 所以， 则． 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据反比例型函数的单调性可判断出函数在上的单调性，然后任取且，作差，并判断的符号，由此可得出结论； （2）根据（1）中的结论结合不等式性质求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数在上的为增函数，理由如下： 任取且， 则， 因为，则， 可得，即， 故函数在上为增函数. （2）因为，即，则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 19．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 20．（23-24高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域可知对任意恒成立求解即可. 【详解】若函数的定义域为R， 则对任意恒成立． 当时，不等式化为，恒成立； 当时，需，解得． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：B． 21．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 22．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由倒序相加法求解即可. 【详解】由可得：， 所以，， 所以设 ， 则两式相加可得：． 故选：B. 23．（23-24高一上·四川眉山·期中）（多选题）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】的对称轴为，当时，， 令，解得或， 要使定义域为时，值域为，故. 故选：ABC. 24．（23-24高三上·湖南·阶段练习）（多选题）已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD. 【详解】函数中的x需满足，解得， 故函数的定义域为，故A正确； 函数中的x需满足解得， 故函数的定义域为，故B正确； 函数和的值域都为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 25．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若函数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】取，得到方程组，解得答案. 【详解】， 取，，取，，解得. 故答案为： 26．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 27．（23-24高一上·浙江·期中）函数当时，实数 . 【答案】 【分析】由所给的分段函数以及函数值，对其分类讨论即可. 【详解】令，则， 当时，有，解得或（舍去）， 即， 当时，有即， 因为，此时无实数解， 当，有满足题意， 当时，，不满足题意， 故实数， 故答案为：8. 28．（23-24高一上·天津和平·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数，分类讨论，由已知列出方程，求解即可求出的值，代入函数即可得出答案. 【详解】当，即时， 则由可得，，无解； 当，且，即时， 由可得，，所以， 整理可得，，解得（舍去）或； 当，即时， 由可得，，无解. 综上所述，. 所以，. 故答案为：. 29．（23-24高二下·河北衡水·期末）已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】(1)用方程组法求 ，用待定系数法求 ； (2)先将不等式化为 ，根据 分类求解即可. 【详解】（1）①，用代替上式中的x， 得②， 联立①②，可得； 设（）， 所以， 即 所以，解得，， 又，得， 所以. （2）因为， 即，化简得，， ①当，即，即时，不等式的解为或； ②当，即，即，当时，不等式的解为或， ③当，即时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为且； 当时，不等式的解为或. 30．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知定义在R上的函数满足：. (1)求函数的表达式； (2)当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)最小值为1，最大值 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得出函数解析式； （2）根据已知得出.根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系可知，判定得，为一元二次方程的两个解，求根得出，表示出，结合的范围，即可得出答案. 【详解】（1）将的替换为， 得， 联立 解得. （2）由（1）结合已知可将不等式化为， 即. 又一元二次方程， 恒成立， 可得方程两根为. 又，所以，， 所以. 又，所以， 所以当时，的最小值为1，当时，最大值. 31．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 32．（23-24高三上·北京·期中）已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，将问题转化为函数上的点到直线的距离，在区间上的最大值问题，然后观察图象可得. 【详解】作出函数的图象如图： 因为， 因为，所以， 表示函数上的点到直线的距离， 由图可知，当时，取得最大值，最大值为； 当时，， 结合图象可知，在区间上总有， 所以，此时的最大值为； 当时，由图可知，， 且. 综上，在区间上的最大值的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线的距离的最值问题. 33．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选题）已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举反例判断A；结合的含义以及利用数形结合，可判断B；讨论x是否为整数，分类说明，判断C；利用作差法，结合的基本性质，可判断D. 【详解】对于A，不妨取，则， 则此时，A错误； 对于B，由定义表示不超过的最大整数，可知成立， 如图，作出的图象，可知成立， 故，B正确； 对于C，若x为整数，则，成立； 若x为有小数部分的数，不妨设， 由于， 故成立等价于成立， 等价于成立， 当时，上式左边=0，右边=0，成立， 当，上式左边=1，右边=1，成立，故成立，C正确； 对于D，，当时等号成立， 故，而后面等号在x为整数时取到，故等号不同时成立，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查取整函数的知识点，解答的关键是要理解取整函数的含义，明确其基本的性质，由此结合各选项，即可判断答案. 34．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选题）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或3 C．若，则 D．，使得 【答案】AC 【分析】由根与系数、判别式得，且或，结合各项条件判断正误即可. 【详解】由题设，，且，则或， A：若，则且，根据对勾函数性质有，对； B：若，则，可得，故或， 当，则，不满足题设；当，则，不满足题设，错； C：若，则，可得， 所以满足题设，对； D：若，则，显然不满足判别式，故不存在，使得，错. 故选：AC 35．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可. 【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减; 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意; 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意; ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立; 综上，的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 36．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）设函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》 【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值； ②当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③当时，，故函数在上单调递减， 当时，；当时，. 若，则不存在最小值，故，解得. 此时满足题设； ④当时，，故函数在上单调递减， 当时，；当时，. 因为，所以， 因此不存在最小值. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$