专题03 基本不等式（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题3 基本不等式 一、单选题 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 2．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 10．（2024高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最小值 11．（2024·河北保定·二模）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 13．（2024高二下·云南·学业考试）已知，则的最小值是 . 14．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 15．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 16．（23-24高三下·江西·阶段练习）设，，若，则的最小值为 . 四、解答题 17．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. 19．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 21．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 22．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 24．（2022高三上·河南·专题练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 25．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（23-24高三下·广东·阶段练习）（多选题）若，，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）设正实数满足，且，则的最小值为 . 28．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 29．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 30．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 31．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 32．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 基本不等式 一、单选题 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案. 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 2．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 3．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式及题中条件建立不等式，解出即可. 【详解】，，， ，即，， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8. 故选：D. 4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即，时，等号成立， 所以的最小值为9， 故选：C． 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知为正数，且， 所以，化简得，解得， 当且仅当时取等号，所以，故A正确. 故选：A. 8．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据基本不等式的“一正”即可判断A是假命题；利用“1”的代换可求出的最小值为16，B是假命题；直接利用基本不等式“”可计算C，D为真命题. 【详解】对A：当为负数时时，不成立，故A是假命题； 对B：因为都是正数，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值是16，故B为假命题； 对C：由题意可知，所以，当且仅当即时取等号，故C是真命题； 对D：若，则，，所以， 当且仅当即时取等号，故D是真命题. 故选：AB. 10．（2024高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得． 【详解】正实数，满足，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项A正确； ， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故选项C错误； ， 当且仅当时取等号，所以有最小值，故选项D正确. 故选：ABD. 11．（2024·河北保定·二模）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为， 令，则，解得，即， 则，其中所有不等式等号成立均当且，所以A错误，B正确； 对两边同除以可得，由，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以C正确； 由可得， 则， 当且仅当即时，等号成立，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 13．（2024高二下·云南·学业考试）已知，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】根据基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题意知，， 当，即时，等号成立， 所以最小值是6. 故答案为：6 14．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 15．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】可通过基本不等式将等式转化为不等式，然后解不等式即可. 【详解】因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 16．（23-24高三下·江西·阶段练习）设，，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】运用基本不等式求出的范围，再对的分子运用基本不等式，放缩为，再根据等号成立条件，运用不等式的传递性求解即可. 【详解】由，，，得，所以， 当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号， 所以，两个不等式等号成立条件相同， 所以，当且仅当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到求解； （2）由，得到求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以直角三角形面积的最大值为； （2）因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以正方形面积的最小值为. 19．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 20．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 21．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 22．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 23．（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】已知条件化简可得：，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意得， 令，则，当且仅当时，等号成立． 故选:C． 24．（2022高三上·河南·专题练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】由化简可得且，然后利用基本不等式求解，从而可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为． 又因为，且，所以的最小值是，故D正确. 故选：D. 25．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误； 对于B选项，， 由于，故，，故， 即，故B选项正确； 对于C选项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，，根据基本不等式， ， 当且，即时取得等号， 此时，故D选项正确． 故选：BCD． 26．（23-24高三下·广东·阶段练习）（多选题）若，，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题设结合基本不等式，可判断A；将平方后，结合基本不等式，即可判断B；化为，结合基本不等式，即可判断C；将化为，展开后结合基本不等式，即可判断D. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，，， 又，则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，，则， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，，，则 ，当且仅当，即时取等号，D正确， 故选：ACD 27．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）设正实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】化简，利用基本不等式得 可得答案. 【详解】， 由于是正实数，且， 所以 ， 当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为2，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 28．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 29．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 30．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 31．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 32．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 【答案】 【分析】由，得，设，则，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 设，则， 由 ， 当且仅当时，取等号， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$